【高考A计划】2014高考数学第一轮复习 第85课时 复数的代数形式及其运算学案 新人教A版

1 高考高考 A A 计划计划 2014 2014 高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第第 8585 课时课时 复数的代数形式及复数的代数形式及 其运算学案其运算学案 新人教新人教 A A 版版 课题 复数的代数形式及其运算 一 教学目标 一 教学目标 掌握复数的基本题型 主要是讨论复数的概念 复数相等 复数的几何表示 计算复数模 共轭复数 解复数方程等 二 教学重点 二 教学重点 复数的几何表示 计算复数模 共轭复数 解复数方程等 三 教学过程 三 教学过程 一 主要知识 一 主要知识 1 共轭复数规律 2 复数的代数运算规律 1 i 1 i i i 1 i i 4n41n 42n 43n 3 i i i i 1 i i i i 0 n1n 2n 3n n1n 2n 3n 3 辐角的运算规律 1 Arg z z Argz Argz 1212 3 Arg nArgz n N n z n1 或 z R 要条件是 z a 2 6 z z 0 则 12 4 根的规律 复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根 实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出 现 5 求最值时 除了代数 三角的常规方法外 还需注意几何法及不等式 z z z z z z 的运用 1 21212 即 z z z z 等号成立的条件是 z z 所对应的向量共线且同向 121212 z z z z 等号成立的条件是 z z 所对立的向量共线且异向 121 212 二 范例分析 二 范例分析 2004 2004 年高考数学题选年高考数学题选 1 2004 高考数学试题 浙江卷 6 已知复数z1 3 4i z2 t i 且是实数 则实数t 12 z z A A B C D 4 3 3 4 3 4 4 3 2 2004 年北京春季卷 2 当时 复数在复平面上对应的点位于 1 3 2 mimmz 1 23 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 2004 年北京卷 2 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是 C zi 34z A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆 主要的思想方法和典型例题分析 主要的思想方法和典型例题分析 1 化归思想 复数的代数 几何 向量及三角表示 把复数与实数 三角 平面几何和解析几何有机地联 系在一起 这就保证了可将复数问题化归为实数 三角 几何问题 反之亦然 这种化归的思想 方法应贯穿复数的始终 分析 这是解答题 由于出现了复数和 宜统一形式 正面求解 zz 解法一 设 z x yi x y R 原方程即为 22 331 3xyyxii 用复数相等的定义得 3 1 1 3i 1 z 2 z 两边取模 得 代入 式得原方程的解是 1 1 3i 1 z 2 z 例 2 1993 全国 理 设复数 z cos isin 0 解 z cos isin cos4 isin4 4 z cos 2 sin 2 22 tan2 cos2sin2 i i tan2cos 4 sin 4 22 i 即 又 0 当时 或 3 tan2 3 3 tan2 3 12 7 12 4 说明 此题转化为三角问题来研究 自然 方便 例 3 设 a b x y R 且 r 0 222 xyr 求证 分析令 ax byi bx ayi a b x y R 则问题化归为证明 1 z 2 z r a b 1 z 2 z 证明设 ax byi bx ayi a b x y R 则 1 z 2 z a b x a b yi a b x yi a b r 解如图所示 设点 Q P A 所对应的复数为 5 即 x3a y i i x3a yi 0 0 由复数相等的定义得 而点 x y 在双曲线上 可知点 P 的轨迹方程为 00 说明 将复数问题化归为实数 三角 几何问题顺理成章 而将实数 三角 几何问题化归 为复数问题 就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力 善于根据题设构造恰到好处的复数 可 使问题迎刃而解 2 分类讨论思想 分类讨论是一种重要的解题策略和方法 在复数中它能使复杂的问题简单化 从而化整为零 各个击破 高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法 例 5 1990 全国 理 设 a 0 在复数集 C 中解方程 z 2 z a 2 分析一般的思路是设 z x yi x y R 或 z r cos isin 若由 z 2 z a 转化 2 为 z a2 z 则 z R 从而 z 为实数或为纯虚数 这样再分别求解就方便了 2 2 总之 是一个需要讨论的问题 解 解法一 z a2 z R z 为实数或纯虚数 2 问题可分为两种情况 1 若 z R 则原方程即为 z 2 z a 0 2 2 若 z 为纯虚数 设 z yi y R 且 y 0 则原方程即为 y 2 y a 0 2 当 a 0 时 y 2 即 z 2i 当 0 a 1 时 当 a 1 时 方程无实数解 即此时原方程无纯虚数解 6 综上所述 原方程 当 a 0 时 解为 z 0 或 z 2i 解法二设 z x yi x y R 将原方程转化为 3 数形结合思想 数与形是数学主要研究内容 两者之间有着紧密的联系和互相渗透 互相转化的广阔前景 复平面的有关试题正是它的具体表现 运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一 应 引起注意 例 6 已知 z 1 且 z z 1 求 z 5 解 由 z z 1 联想复数加法的几何性质 不难发现 z z 1 所对应的三点 A B C 及原 55 点 O 构成平行四边形的四个顶点 如图所示 说明 这样巧妙地运用联想思维 以数构形 以形思数 提炼和强化数形结合的思想方法 有利于培养学生思维的深刻性 7 例 7 复平面内点A对应复数z 点B对应复数为 O为原点 AOB是面积为 的直角三 3 5z 6 5 角形 argz 0 求复数z的值 2f 3 分析分析 哪一个角为直角 不清楚 需要讨论 解解 因 OA z OB 故 A不可能是直角 因而可能 AOB 90 或 ABO 90 3 5 z 若 AOB 90 示意图如图 1 所示 因 z 与 所对应的点关于实轴对称 故 argz 45 z S AOB OA OB z z 2 于是 z 2 1 2 1 2 3 5 z 3 10 6 5 从而 z 2 cos45 isin45 i 22 若 ABO 90 示意图如图 2 所示 因 z 与 所对应的点关于实轴对称 且 z AOB 90 故 argz 45 令z r cos isin 则 cos2 sin2 S AOB OA OB sin2 OB OA 3 5 4 5 1 2 r r r2 1 2 3 5 4 5 6 25 6 5 于是 r 又 cos 5 1 cos2 2 25 5 sin 故z i 2 i 1 cos2 5 55 25 5 5 5 综上所述 z i或z 2 i 22 说明说明 解题关键点 正确地对直角的情况进行分类讨论 正确地理解复数的几何意义 作出满足条件的示意图 解题规律 复数的几何意义来源于复数 z a bi a b R 与复平面上的点 a b 之间的一一 对应 它沟通了复数与解析几何之间的联系 是数形结合思想的典型表示 解题技巧 复数 z 与它的共轭复数 在复平面内对应的向量关于实轴对称 z 这样巧妙地以形译数 数形结合 不需要计算就解决了问题 充分显示了数形结合的思想 方法在解题中的作用 4 集合对应思想 例 8 如图所示 在复平面内有三点 P P P 对应的复数 123 x O A B y 图 1 x O A B y 图 2 8 应的复数为 a 2a 3a 且它们有相同的辐角主值 如图所示 即 A P P P 共线 123 从而 2sin 2 因此有 a 2i 5 整体处理思想 解复数问题中 学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题 这样常常给解题带 来繁琐的运算 导致解题思路受阻 因此在复数学习中 有必要提炼和强化整体处理的思想方法 居高临下地把握问题的全局 完善认识结构 获得解题的捷径 从而提高解题的灵活性及变通性 例 9 已知 z 2i 求 z3z z 5z 2 的值 6 543 分析 如果直接代入 显然比较困难 将 z 用三角式表示也有一定的难度 从整体角度思考 可将条件转化为 z2 i 1 即 z4z 4 1 即 z4z 5 0 再将结论转化为 2 2 2 2 z3z z 5z 2 z4z 5 z z 2 然后代入就不困难了 6 5432 43 解 z 2i z2 i 1 2 2 即 z4z 5 0 2 9 z3z z 5z 2 z4z 5 z z 2 2 6 5432 43 例 10 已知 求 3 42 1 3log 2 xi x 解 解由条件得 说明 把题中一些组合式子视作一个 整体 并把这个 整体 直接代入另一个式子 可 避免由局部运算带来的麻烦 例 11 复平面上动点 z 的轨迹方程为 zz z z 0 另一动点 z 满足 z z 11 0101 1 求点 z 的轨迹 解由 zz z 知点 z 的轨迹为连结原点 O 和定点 z 的线段的垂直平分线 1 0110 将此式整体代入点 z1 的方程 得 的圆 除去原点 例 12 设 z c a 0 解方程 z z az i 0 10 边取模 得 说明 解复数方程 可通过整体取模 化为实数方程求解 综上所述 解答复数问题 应注意从整体上去观察分析题设的结构特征 挖掘问题潜在的特 殊性和简单性 充分利用复数的有关概念 共轭复数与模的性质 复数的几何意义以及一些变形 技巧 对问题进行整体化处理 可进一步提高灵活 综合应用知识的能力 6 有关最值问题的多角度思考 例 13 复数 z 满足条件 z 1 求 2zz 1 的最大值和最小值 2 解法一 z 1 z cos isin 2zz 1 2 cos isin cos isin 1 2 2 2cos2 cos 1 2sin2 sin i 2zz 1 2zz 2 22 zz 2 设 z 的实部为 a 则1 a 1 2zz 1 2a z1 2 2 11 2zz 1 4 2 max 解法三 设 x yi x y R z a bi a b r 且 a b 1 22 这说明 对应的点是如图所示的椭圆 问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和 最小值 时的圆的半径 12 得 8x2x 89r 0 由相内切条件知 0 2 2 解法四由模不等式 2zz 1 2 z z 1 4 等号成立的条件是 2z z 1 所对应的向量共线且同向 2 22 可知 z 是负实数 在 z 1 的条件下 z 1 当 z 1 时 2zz 1 4 2 max 但另一方面 2zz 1 2 z z 1 0 这是显然成立的 可是这不能由此确定 2z 2 2 2 z 1 0 实际上等号成立的条件应为 2z z 1 表示的向量共线且异向 由 2z 与 1 对应 min 2 2 的向量共线且异向知 z i 但是当 z i 时 2z 与z 不共线 这表明 2zz 1 的最小值不 2 2 是 0 以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误 此部分内容既为重点也为难点 应 向学生强调说明 并举例 切记取等号的条件 例 14 2001 年普通高等学校招生全国统一考试 理 18 已知复数z1 i 1 i 3 求argz1及 z 当复数z满足 z 1 求 z z1 的最大值 分析 本小题考查复数的基本性质和基本运算 以及分析问题和解决问题的能力 解 4 7 4 7 2222 1 3 1 isincosiiiz z1 4 7 1 zarg22 设 则 sincosiz izz 2 sin 2 cos 1 13 4 sin 249 2 sin 2 cos 222 1 zz 当时 取得最大值 从而得到的最大值为 1 4 sin 2 1 zz 249 1 zz 221 四 课后作业 四 课后作业 1 下列命题中正确的是 A 方程 z 5 z5i 8 的图形是双曲线 2 2 B 方程 z 5 8 的图形是双曲线 2 C 方程 z 5i z5i 8 的图形是双曲线的两支 D 方程 z 5i z5i 8 的图形是双曲线靠近焦点 F 0 5 的一支 2 方程的图形是 222zzi zi z A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 直线 3 在复平面上绘出下列图形 4 已知是虚数 是实数 z 4 z z 1 求 z 对应复平面内动点 A 的轨迹 2 设 u 3iz 1 求 u 对应复平面内动点 B 的轨迹 3 设 求对应复平面内动点 C 的轨迹 1 vz z v 5 设 A B C 三点对应的复数分别为 z z z 满足 123 1 证明 ABC 是内接于单位圆的正三角形 2 求 S ABC 6 若 求所对应的点 A 的集合表示的图形 并求其面积 12z 1uzi 7 设z1 z2是两个虚数 且z1 z2 3 z1 z2 4 若 1 argz1 2 argz2 求 cos 1 2 的最大值 8 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 上海理 17 14 已知复数z1 cos i z2 sin i 求 z1 z2 的最大值和最小值 四 专题训练参考答案 1 解 DA 的图形是直线 B 的图形是圆 C 是图形是双曲线的一去 故选 D z 5i z 5i 8 才是双曲线的两支 2 解 A 原方程即 z 2 i 7 故选 A 2 3 解 4 解 1 因为 z 是虚数 所以 2 4 444 0 zzzz zRzz zzz z 0zz 于是 即 且 因此动点 A 轨迹是中心在原点 半径等于 2 的圆 但去掉