广东省广州市2013届高三数学二轮复习 轨迹方程专题 理

1 20132013 届高三广二模复习圆锥曲线专题三届高三广二模复习圆锥曲线专题三 轨迹方程轨迹方程 一 定义法 要求牢记各种曲线的定义及特点一 定义法 要求牢记各种曲线的定义及特点 例例 1 1 一动圆与圆 22 650 xyx 外切 同时与圆 22 6910 xyx 内切 求动圆 圆心M的轨迹方程 并说明它是什么样的曲线 分析 分析 设动圆圆心为 M x y 半径为R 设已知圆的圆心分别为 1 O 2 O 将圆方程分别配方得 22 3 4xy 22 3 100 xy 当MA与 1 OA相切时 有 1 2O MR 当MA与 2 OA相切时 有 2 10O MR 将 两式的两边分别相加 得 21 12O MO M 即 2222 3 3 12xyxy 所以点M的轨迹是焦点为 1 3 0 O 2 3 0 O 长轴长等于12的椭圆 并且椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴上 解答过程 解答过程 写法一 解 设写法一 解 设动圆圆心为 M x y 已知圆的圆心分别为 1 O 2 O 且 1 3 0 O 2 3 0 O 由题设得 2222 3 3 12xyxy 整理得 22 1 3627 xy 所以 动圆圆心的轨迹方程是 22 1 3627 xy 轨迹是椭圆 写法二 写法二 解 设解 设动圆圆心为 M x y 已知圆的圆心分别为 1 O 2 O 且 1 3 0 O 2 3 0 O 由题设得 21 12O MO M 21O O 所以点M的轨迹是焦点为 1 3 0 O 2 3 0 O 长轴长等于12的椭圆 并且椭圆的 中心在坐标原点 焦点在x轴上 26c 212a 3c 6a 2 36927b 圆心轨迹方程为 22 1 3627 xy 所以 动圆圆心的轨迹方程是 22 1 3627 xy 轨迹是椭圆 自我演练 自我演练 1 1 若点P到直线1x 的距离比它到点 2 0 的距离小 1 则点P的轨迹方程为 2 2 设圆 C 与两圆 2222 5 4 5 4xyxy 中的一个内切 另一个外切 求 C 的圆心轨迹 L 的方程 二 直接法 几何法 找出几何关系 直接利用几何关系建立式子二 直接法 几何法 找出几何关系 直接利用几何关系建立式子 例例 2 2 已知动点P到定点 2 0F的距离与点P到定直线l 2 2x 的距离之比 为 2 2 求动点P的轨迹C的方程 分析 先找出几何关系 分析 先找出几何关系 2 2 d PF 解 解 设点 P x y 依题意 有 2 2 2 2 2 2 2 xy x 整理 得 22 1 42 xy 所以动点P的轨迹C的方程为 22 1 42 xy 自我演练自我演练 1 1 已知椭圆的焦点是F1 F2 P是椭圆上的一个动点 如果延长F1P到Q 使得 PQ PF2 那么动点Q的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 2 2 已知点 直线 为平面上的动点 过点作直线 的垂线 垂足 0 1Fl1y PPl 为 且 求动点的轨迹的方程 QQP QFFP FQ PC 3 3 已知椭圆C1 1 a b 0 的离心率为 直线l y x 2 与以原点为圆心 x2 a2 y2 b2 3 3 椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切 1 求椭圆C1的方程 2 设椭圆C1的左焦点为F1 右焦点为F2 直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴 动直 线l2垂直于l1 垂足为点P 线段PF2的垂直平分线交l2于点M 求点M的轨迹C2的 方程 3 三 相关点代入法 三 相关点代入法 要求Q的轨迹方程 则先求R的轨迹方程 借用 R 的方程代入 例例 3 3 设P为双曲线 4 2 x y2 1 上一动点 O为坐标原点 M为线段OP的中点 求点M的轨迹方程 分析 点分析 点 M M 是由点是由点 P P 产生的 而题目中点产生的 而题目中点 P P 轨迹已知即为双曲线 故借用轨迹已知即为双曲线 故借用 P P 的轨迹代入的轨迹代入 解 设解 设点M x y 点 P x0 y0 2 2 00 y y x x 即x0 2x y0 2y 代入得 4 4 2 x 4y2 1 即 x2 4y2 11 4 2 0 2 0 y x 所以点M的轨迹方程为 x2 4y2 1 自我演练自我演练 1 1 已知F是抛物线y x2的焦点 P是该抛物线上的动点 则线段PF中点的轨迹方程是 1 4 A x2 y B x2 2y 1 2 1 16 C x2 2y 1 D x2 2y 2 2 2 如图 设 是圆上的动点 点 是 在轴上投影 为 PD 上一点 且 22 25xy x 4 5 MDPD 1 当 P 在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 2 求过点 3 0 且斜率为的直线被 C 所截线段的长度 4 5 4 四 交轨法四 交轨法 例例 4 4 已知双曲线的左 右顶点分别为 点 是双1 2 2 2 y x 12 A A 11 P x y 11 Q xy 曲线上不同的两个动点 求直线与交点的轨迹 E 的方程 1 A P 2 A Q 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 0 2 1 2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 11 2 2 1 2 12 1 1 2 1 1 1 2121 y x xy x y y x yxP x x y y x x y yQAx x y yPA AAAA 上上上 上上上上上上上上 上上上上上 上 上上上上上上上上上上上上上上上上 经检验 以上所得椭圆的四个顶点无法取到 故交点轨迹 E 的方程为 2 2 1 2 x y 2 0 xx且 自我演练 自我演练 已知双曲线 1 m 0 n 0 的顶点为A1 A2 与y轴平行的直线l交 2 2 2 2 n y m x 双曲线于点P Q 求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程 5 20132013 届高三广二模复习届高三广二模复习 圆锥曲线专题三圆锥曲线专题三 轨迹方程轨迹方程 2013 4 72013 4 7 变式 变式 设圆 C 与两圆 2222 5 4 5 4xyxy 中的一个内切 另一个外切 1 求 C 的圆心轨迹 L 的方程 2 已知点 M 3 5 4 5 5 0 55 F 且 P 为 L 上动点 求MPFP 的最大值及 此时点 P 的坐标 解 设 C 的圆心的坐标为 由题设条件知 x y 2222 5 5 4 xyxy 化简得 L 的方程为 2 2 1 4 x y 2 解 过 M F 的直线 方程为 l2 5 yx 将其代入 L 的方程得 2 1532 5840 xx 解得 1212 6 514 56 52 514 5 2 5 515551515 xxlLTT 故与交点为 因 T1在线段 MF 外 T2在线段 MF 内 故 11 2 MTFTMF 若 P 不在直线 MF 上 在中有 22 2 MTFTMF MFP 2 MPFPMF 故只在 T1点取得最大值 2 MPFP 1 1 已知点 直线 为平面上的动点 过点作直线 的垂线 垂足 0 1Fl1y PPl 为 且 求动点的轨迹的方程 QQP QFFP FQ PC 解 解 设 则 P x y 1Q x 6 QP QFFP FQ 0 1 2 1 2yxx yx 即 即 所以动点的轨迹的方程 2 2121yxy 2 4xy PC 2 4xy 2 已知椭圆C1 1 a b 0 的离心率为 直线l y x 2 与以原点为圆心 x2 a2 y2 b2 3 3 椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切 1 求椭圆C1的方程 2 设椭圆C1的左焦点为F1 右焦点为F2 直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴 动直 线l2垂直于l1 垂足为点P 线段PF2的垂直平分线交l2于点M 求点M的轨迹C2的 方程 解 1 由e 得 1 e2 3 3 b2 a2 2 3 由直线l x y 2 0 与圆x2 y2 b2相切 得 b 2 2 所以 b a 所以椭圆的方程是 1 23 x2 3 y2 2 2 由条件 知 MF2 MP 即动点M到定点F2 1 0 的距离等于它到直线l1 x 1 的 距离 由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2 4x 如图 设 是圆上的动点 点 是 在轴上投影 22 25xy x 为 PD 上一点 且 4 5 MDPD 1 当 P 在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 2 求过点 3 0 且斜率为的直线被 C 所截线段的长度 4 5 解 1 设点 M 的坐标是 P 的坐标是 x y pp xy 因为点 是 在轴上投影 x 为 PD 上一点 且 所以 且 4 5 MDPD p xx 5 4 p yy P 在圆上 整理得 22 25xy 22 5 25 4 xy 22 1 2516 xy 即 C 的方程是 22 1 2516 xy 2 过点 3 0 且斜率为的直线方程是 4 5 4 3 5 yx 设此直线与 C 的交点为 11 A x y 22 B xy 将直线方程代入 C 的方程得 4 3 5 yx 22 1 2516 xy 7 化简得 22 3 1 2525 xx 2 380 xx 1 341 2 x 2 341 2 x 所以线段 AB 的长度是 222 121212 16 1 25 ABxxyyxx 即所截线段的长度是 4141 41 255 41 5 自我演练 自我演练 已知双曲线 1 m 0 n 0 的顶点为A1 A2 与y轴平行的直线l交 2 2 2 2 n y m x 双曲线于点P Q 求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程 解 1 设P点的坐标为 x1 y1 则Q点坐标为 x1 y1 又有A1