线段的垂直平分线(一)教学设计李洁

1 第一章第一章 证明 二 证明 二 3 3 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 一一 李李 洁洁 一 学生知识状况分析一 学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难 这是因为在七年级学习 生活 中的轴对称 中学生已经有了一定的基础 二 教学任务分析二 教学任务分析 本节课的教学目标是 1 知识目标 经历探索 猜测过程 能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里 和判定定理 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线 2 能力目标 经历探索 猜测 证明的过程 进一步发展学生的推理证明意识和能力 体验解决问题策略的多样性 发展实践能力和创新精神 学会与人合作 并能与他人交流思维的过程和结果 3 3 情感与价值观要求 能积极参与数学学习活动 对数学有好奇心和求知欲 在数学活动中获得成功的体验 锻炼克服困难的意志 建立自信心 4 教学重点 难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题 难点是两者的应用上的区别及各自的 作用 三 教学过程分析三 教学过程分析 本节课设计了七个教学环节 第一环节 创设情境 引入新课 第二环节 探究新课 第三环节 想一想 第四环节 做一做 第五环节 随堂练习 第六环节 课时小结第七 环节 课后作业 第一环节 创设情境 引入新课第一环节 创设情境 引入新课 教师用多媒体演示 如图 A B 表示两个仓库 要在 A B 一侧的 2 河岸边建造一个码头 使它到两个仓库的距离相等 码头应建在什么位置 其中 到两个仓库的距离相等 要强调这几个字在题中有很重要的作用 在七年级时研究过线段的性质 线段是一个轴对称图形 其中线段的垂直平分线就是它 的对称轴 我们用折纸的方法 根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 所以在这个问题中 要求在 A B 一侧 的河岸边建造一个码头 使它到两个仓库的距离相等 利用此性质就能完成 进一步提问 你能用公理或学过的定理证明这一结论吗 教师演示线段垂直平分线的性质 定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 同时 教师板演本节的题目 1 3 线段的垂直平分线 一 第二环节 探究新知第二环节 探究新知 第一环节提出问题后 有学生提出了一个问题 要证 线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等 可线段垂直平分线上的点有无数多个 需一个一个依次证明吗 何况 不可能呢 教师鼓励学生思考 想办法来解决此问题 通过讨论和思考 有学生提出 如果一个图形上每一点都具有某种性质 那么只需在 图形上任取一点作代表 就可以了 教师肯定该生的观点 进一步提出 我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可 因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质 已知 如图 直线 MN AB 垂足是 C 且 AC BC P 是 MN 上的点 求证 PA PB 分析 要想证明 PA PB 可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等 证明 MN AB PCA PCB 90 AC BC PC PC PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的对应边相等 教师用多媒体完整演示证明过程 同时 用多媒体呈现 N A P BC M 3 第三环节 想一想第三环节 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 这个命题不是 如果 那么 的形式 要写出它的逆命题 需分析原命题的条件和结论 将原命题写成 如果 那 么 的形式 逆命题就容易写出 鼓励学生找出原命题的条件和结论 原命题的条件是 有一个点是线段垂直平分线上的点 结论是 这个点到线段两个端点 的距离相等 此时 逆命题就很容易写出来 如果有一个点到线段两个端点的距离相等 那么这个 点到线段两个端点的距离相等 写出逆命题后时 就想到判断它的真假 如果真 则需证明它 如果假 则需用反例说 明 请同学们自行在练习册上完成 学生给出了如下的四种证法 证法一 已知 线段 AB 点 P 是平面内一点且 PA PB 求证 P 点在 AB 的垂直平分线上 证明 过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC PA PB PC PC Rt PAC Rt PBC HL 定理 AC BC 即 P 点在 AB 的垂直平分线上 证法二 取 AB 的中点 C 过 PC 作直线 AP BP PC PC AC CB APC BPC SSS PCA PCB 全等三角形的对应角相等 又 PCA PCB 180 PCA PCB 90 即 PC AB P 点在 AB 的垂直平分线上 证法三 过 P 点作 APB 的角平分线 AP BP 1 2 PC PC APC BPC SAS CB P A A P BC 21 4 AC BC PCA PCB 全等三角形的对应角相等 对应边相等 又 PCA PCB 180 PCA PCB 90 P 点在线段 AB 的垂直平分线上 证法四 过 P 作线段 AB 的垂直平分线 PC AC CB PCA PCB 90 P 在 AB 的垂直平分线上 四种证法由学生表述后 有学生提问 前三个同学的证明是正确的 而第四个同学的 证明我有点弄不懂 师生共析 如图 1 PD 上 AB D 是垂足 但 D 不平分 AB 如图 2 PD 平分 AB 但 PD 不垂直于 AB 这说明一般情况下 过 P 作 AB 的垂直平分线 是不可能实现的 所以 第四个同学的证法是错误的 从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题 我们把它称做线段垂直平分线的判定定理 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平 分线 现在我们学习了线段垂直平分线的性质 定理和判定定理 能否用尺规作图的方法作出 已知线段的垂直平分线呢 第四环节 做一做第四环节 做一做 活动内容 活动内容 用尺规作线段的垂直平分线 活动目的 活动目的 探索尺规方法作线段垂直平分线的思路与过程以及体验其中的演绎思维过程 活动过程 活动过程 用尺规作线段的垂直平分线 要作出线段的垂直平分线 根据垂直平分线的判定定理 到线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点 这样才 能确定已知线段的垂直平分线 下面我们一同来写出已知 求作 作法 体会作法中每一步的依据 师生共析 C 21 B P A P D ABDB P A 1 2 5 已知 线段 AB 如图 求作 线段 AB 的垂直平分线 作法 1 分别以点 A 和 B 为圆心 以大于 AB 的长为半径作 1 2 弧 两弧相交于点 C 和 D 2 作直线 CD 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 师 根据上面作法中的步骤 请你说明 CD 为什么是 AB 的垂直平分线吗 请与同伴进行 交流 生 从作法的第一步可知 AC BC AD BD C D 都在 AB 的垂直平分线上 线段垂直平分线的判定定理 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 两点确定一条直线 师 我们曾用刻度尺找线段的中点 当我们学习了线段垂直平分线的作法时 一旦垂直 平分线作出 线段与线段垂直平分线的交点就是线段 AB 的中点 所以我们也用这种方法作 线段的中点 活动效果及注意事项 活动效果及注意事项 活动时可以先让学生讨论 然后点名学生板演 下面学生可以模 仿着做 最后教师进行归纳和总结 第五环节 随堂练习第五环节 随堂练习 课本 P26 1 如图 已知 AB 是线段 CD 的垂直平分线 E 是 AB 上的一点 如果 EC 7cm 那么 ED cm 如果 ECD 60 那么 EDC 解 AB 是线段 CD 的垂直平分线 EC ED 又 EC 7 cm ED 7 cm EDC ECD 60 2 已知直线 l 和 l 上一点 P 利用尺规作 l 的垂线 使它经过点 P 已知 直线 l 和 l 上一点 P 求作 PC l 作法 l 以点 P 为圆心 以任意长为半径作弧 直线 L 相交于点 A 和 B D C BA C A D BE 6 2 作线段 AlB 的垂直平分线 PC 直线 PC 就是所求的垂线 第六环节 课时小结第六环节 课时小结 本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理 并学会用尺规作线 段的垂直平分线 第七环节