2008浙江省数学竞赛试卷

20082008 年浙江省高中数学竞赛试卷年浙江省高中数学竞赛试卷 一 一 选择题选择题 本大题满分本大题满分 3636 分 每小题分 每小题 6 6 分分 1 已知集合 则下列正确的是 22 1 20RAy yxxBx xx A B 1 ABy y 2ABy y C D 21AByy 21ABy yy 或 2 当时 则下列大小关系正确的是 01x lg x f x x A B 22 fxf xf x 22 f xfxf x C D 22 f xf xfx 22 f xf xfx 3 设在上有定义 要使函数有定义 则 a 的取值范围为 f x 0 1 f xaf xa A B C D 1 2 1 1 2 2 1 2 11 22 4 已知 P 为三角形 ABC 内部任一点 不包括边界 且满足 2 0PBPA PBPAPC 则 ABC 一定为 A 直角三角形 B 等边三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形 5 已知是偶函数 则函数图象与轴交点的纵坐 22222 12f xxabxaabb y 标的最大值是 A B 2 C D 422 2 6 圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形 O 为底面中心 M 为 SO 的中点 动点 P 在圆锥底面内 包括圆周 若 AM MP 则 P 点形成的轨迹的长度为 A B C 3 D 7 7 2 3 2 二 填空题二 填空题 本题满分本题满分 5454 分 每小题分 每小题 9 9 分 分 7 22 cos 15756 xxxx 8 设为非负实数 满足 则 a b c d abcd bcdacdabdabc abbccdda cdadabbc 9 设 则 lglglg 111 12141 8 xxx f x 1 f xf x 10 设实系数一元二次方程有两个相异实根 其中一根在区间内 2 220 xaxb 0 1 另一根在区间内 则的取值范围是 1 2 4 1 b a 11 已知 直线与 R 1 sinsinsincos xy 1 cossincoscos xy 的交点在直线上 则 yx cossincinsso 12 在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB AC 上分别取 D E 两点 使沿线段 DE 折叠三 角形时 顶点 A 正好落在边 BC 上 AD 的长度的最小值为 三 解答题三 解答题 本题满分 本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 得分评卷人 13 已知椭圆 C 其离心率为 两准线 22 22 1 xy ab 0ab 4 5 之间的距离为 1 求之值 2 设点 A 坐标为 6 0 B 为 25 2 a b 椭圆 C 上的动点 以 A 为直角顶点 作等腰直角 ABP 字母 A B P 按顺时针方向排列 求 P 点的轨迹方程 得分评卷人 得分评卷人 四 附加题四 附加题 本大题满分 本大题满分 5050 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选考分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选考 B B 卷的卷的 学生选做本大题 不计入总分 学生选做本大题 不计入总分 16 设为 2008 个整数 且 如果存在某个 122008 19 i 1 2 2008i 使得 2008 位数被 101 整除 试证明 1 2 2008 k 1200811kkk 对一切 2008 位数 均能被 101 整除 1 2 2008 i 1200811iii 17 将 3k k 为正整数 个石子分成五堆 如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石子 而最后取完 则称这样的分法是 和谐的 试给出和谐分法的充分必要条件 并加以 证明 14 求解不等式 2 11xxa 15 设非负等差数列的公差 记为数列的前 n 项和 n a0d n S n a 证明 1 若 且 则 m n pN 2mnp 112 mnp SSS 2 若则 503 1 1005 a 2007 1 1 2008 n n S 20082008 年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案 二 二 选择题选择题 本大题满分本大题满分 3636 分 每小题分 每小题 6 6 分分 1 已知集合 则下列正确的是 22 1 20RAy yxxBx xx A B 1 ABy y 2ABy y C D 21AByy 21ABy yy 或 解 因为 所以有 1 1 2Ay yBx xx 或 1 ABy y 正确答案为 A 2 当时 则下列大小关系正确的是 01x lg x f x x A B 22 fxf xf x 22 f xfxf x C D 22 f xf xfx 22 f xf xfx 解 当时 01x 0 lg x f x x 2 2 2 0 lg x f x x 2 2 0 lg x fx x 又因为 所以 选 C 2 2 2 2 2 0 lglg2lg2lg xxxxx x xxxx 22 f xf xfx 3 设在上有定义 要使函数有定义 则 a 的取值范围为 f x 0 1 f xaf xa A B C D 1 2 1 1 2 2 1 2 11 22 解 函数的定义域为 当时 应有 f xaf xa 1 1 aaaa 0a 即 当时 应有 即 因此 选 B 1aa 1 2 a 0a 1aa 1 2 a 4 已知 P 为三角形 ABC 内部任一点 不包括边界 且满足 则 ABC 一定为 2 0PBPA PBPAPC A 直角三角形 B 等边三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形 解 因为 所以已知条件可改写为 2PBPAAB PBPAPCCBCA 容易得到此三角形为等腰三角形 因此 选 D 0ABCBCA 5 已知是偶函数 则函数图象与轴交点的纵坐 22222 12f xxabxaabb y 标的最大值是 A B 2 C D 422 2 解 由已知条件可知 函数图象与轴交点的纵坐标为 22 10ab y 22 2aabb 令 则 scosinba 因此 选 A 2222 2sincossincos2sin2c s22oaabb 6 圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形 O 为底面中心 M 为 SO 的中点 动点 P 在圆锥底面内 包括圆周 若 AM MP 则 P 点形成的轨迹的长度为 A B C 3 D 7 7 2 3 2 解 建立空间直角坐标系 设 A 0 1 0 B 0 1 0 P x y 0 于是 0 0 3S 0 0 3 2 M 有由于 AM MP 所以 即 0 1 2 3 2 3 AMMPx y 0 1 33 0 22 x y 此为 P 点形成的轨迹方程 其在底面圆盘内的长度为 因此 3 4 y 2 37 1 4 2 2 选 B 二 填空题二 填空题 本题满分本题满分 5454 分 每小题分 每小题 9 9 分 分 7 22 cos 15756 xxxx 解 根据题意要求 于是有 因此 2 605xx 2 0571xx 2 715xx 因此答案为 1 22 cos 15756 cos01xxxx 8 设为非负实数 满足 则 a b c d abcd bcdacdabdabc abbccdda cdadabbc 解 显然 由于 有0abcd abcd bcdacdabdabc 于是有 故 1111 bcdacdabdabc abcd 4 abbccdda cdadabbc 9 设 则 lglglg 111 1 21 41 8 xxx f x 1 f xf x 解 lglglglglglg 1111111 3 12141 812141 8 xxxxxx f xf x 10 设实系数一元二次方程有两个相异实根 其中一根在区间内 2 220 xaxb 0 1 另一根在区间内 则的取值范围是 1 2 4 1 b a 解 根据题意 设两个相异的实根为 且 则 12 x x 12 012xx 12 13xxa 12 0222x xb 于是有 也即有 31 12ab 111 342 214 b a 故有 即取值范围为 143 212 b a 1 3 2 2 11 已知 直线与 R 1 sinsinsincos xy 1 cossincoscos xy 的交点在直线上 则 yx cossincinsso 解 由已知可知 可设两直线的交点为 且为方程 00 xx inssco 00 1 sincos xx tt 的两个根 即为方程 2 0 sinc cos sinos cos i0s nttx 的两个根 因此 cos sinsincos 即0 cossincinsso 12 在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB AC 上分别取 D E 两点 使沿线段 DE 折叠三 角形时 顶点 A 正好落在边 BC 上 AD 的长度的最小值为 解 设 作 ADE 关于 DE 的对称图形 A 的对称点 G 落在 BC 上 ADxADE 在 DGB 中 1 sinsin 2 33 xx 3 32sin 2 3 x 当时 即 sin 2 1 3 3 2 2 33 3 min x 三 解答题三 解答题 本题满分 本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 13 已知椭圆 C 其离心率为 两准线 22 22 1 xy ab 0ab 4 5 之间的距离为 1 求之值 2 设点 A 坐标为 6 0 B 为 25 2 a b 椭圆 C 上的动点 以 A 为直角顶点 作等腰直角 ABP 字母 A B P 按顺时针方向排列 求 P 点的轨迹方程 得分评卷人 解 1 设 c 为椭圆的焦半径 则 2 425 54 a c c a 于是有 a 5 b 3 2 解法一 设 B 点坐标为 P 点坐标为 于是有 s t x y 6 6 ABstAPxy 因为 所以有 A1 ABAP 6 6 6 6 0stxysxty 又因为 ABP 为等腰直角三角形 所以有 AB AP 即 A2 2222 66stxy 由 A1 推出 代入 A2 得 22 2 2 6 6 6 6 tyt y ss xx 22 6tx 从而有 即 不合题意 舍去 或 22 6ys 6sy 6sy 代入椭圆方程 即得动点 P 的轨迹方程 22 66 1 925 xy 解法二 设 则以 A 为圆心 r 为半径的圆的参数方程为 11 B x y P x yABr 6cos sin xr yr 设 AB 与 x 轴正方向夹角为 B 点的参数表示为 1 1 6cos sin xr yr P 点的参数表示为 0 0 6cos 90 6sin cos sin 90 xrxr yr yr 即 从上面两式 得到 1 1 6 6 xy yx 又由于 B 点在椭圆上 可得 22 6 6 1 925 xy 此即为 P 点的轨迹方程 得分评卷人 解 I 情形 此时不等式为 1x 2 2xxa 于是有 1 2 2 2 0 20 2 2 a xax xa x x x 因此 当时 有 当时 有 0a 12x 01a 12x 当时 有 当时 空集 14a 2ax 4a 2 2 2 2 0 2 0 21 2 4 a a xaxx x xa x x 此时有 当时 有 当时 有 当时 有 当0a 2x 01a 2x 14a 2x 时 4a 1 4 x a II 情形 此时不等式为 1x 2 xxa 于是有 3 2 2 2 0 0 0 a x x x x x x a a 因此 当时 有 当时 有 当时 空集 0a 01x 01a 1ax 1a 4 2 2 222 0 0 0 a xax x xa x axx x 因此 当时 有 当时 空集 0a 0 x 0a 综合 1 4 可得 14 求解不等式 2 11xxa 当时 有 当时 有 当时 0a xR 04a xa 4a 1 4 x a 得分评卷人 解 设非负等差数列的首项为 公差为 n a 1 0a 0d 1 因为 所以 2mnp 222 2mnp 2 pmn 2 mnp aaa 从而有 因为 所以有 2 pmn aa a 1 1 2 2 1 n n n aan n Snda 1 22 1 2 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2 nm p n nm m SSmn ad nmp pad pp padS 2 11 11 2 2 2 12 11 22 4 42 2 n nmmnmn p m pppp n aam aa Sa aaa mn Saa p aa p aa a aaS 于是 121 2 p mn nmnpppm S S SS SSSS SS 2 120072006100310051004 10 2007 041004 1 2 111111 2 1003 12007 11 n n SSSSSSSS SS 又因为 所以有 501004113 10031004 1004 100 100 4 2100 4 100450 5 2daaSad 1004 2007 1 120072007 10 1 04 0052008 n n SS 15 设非负等差数列的公差 记为数列的前 n 项和 n a0d n S n a 证明 1 若 且 则 m n pN 2mnp 112 mnp SSS 2 若则 503 1 1005 a 2007 1 1 2008 n n S 四 附加题四 附加题 本大题满分 本大题满分 5050 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选考分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选考 B B 卷的卷的 学生选做本大题 不计入总分 学生选做本大题 不计入总分 16 设为 2008 个整数 且 如果存在某个 122008 19 i 1 2 2008i 使得 2008 位数被 101 整除 试证明 1 2 2008 k 1200811kkk 对一切 2008 位数 均能被 101 整除 1 2 2008 i 1200811iii 解 根据已知条件 不妨设 k 1 即 2008 位数被 101 整除 只要能证明 012208 2008 位数能被 101 整除 2013082 事实上 2006 200812200 2007 7220108 101010A 2007 232 2006 2008120 8301 101010B 从而有 4 502502 111 008 1 2 10 101 10 1 9999 1 1 99991 1 ABN 即有 1 109999BAN 因为 所以 利用上述方法依次类推可以得