高三数学《一题多解_一题多变》试题及详解答案

1 高三高三 一题多解一题多解 一题多变一题多变 题目题目 一题多解一题多解 一题多变 一 一题多变 一 原题 原题 的定义域为的定义域为 R 求 求 m 的取值范围的取值范围48 2 xmxxf 解 由题意解 由题意在在 R 上恒成立上恒成立048 2 xmx 且且 得 得0 m0 4 m 变变 1 的定义域为的定义域为 R 求 求 m 的取值范围的取值范围48 2 3 xmxxflog 解 由题意解 由题意在在 R 上恒成立上恒成立048 2 xmx 且且 得 得0 m0m 变变 2 的值域为的值域为 R 求 求 m 的取值范围的取值范围 log 48 2 3 xmxxf 解 令解 令 则要求 则要求 t 能取到所有大于能取到所有大于 0 的实数 的实数 t48 2 xmx 当当时 时 t 能取到所有大于能取到所有大于 0 的实数的实数 0 m 当当时 时 且且 0 m0 m0 4 0 m 40 m 变变 3 的定义域为的定义域为 R 值域为值域为 求 求 m n 的的 1 8 2 2 3 x nxmx xflog 20 值值 解 由题意 令解 由题意 令 得 得 91 1 8 2 2 x nxmx y0 8 2 nyxxmy 时 时 my 0 016 2 mnynmy 1 和和 9 时时的两个根的两个根 016 2 mnynmy 5 nm 当当时 时 也符合题意 也符合题意 my 0 8 mn x Rx 5 nm 2 一 题 多 解 解不等式解不等式 523 3 x 解法一 根据绝对值的定义 进行分类讨论求解解法一 根据绝对值的定义 进行分类讨论求解 1 1 当 当时 不等式可化为时 不等式可化为03 x253 x2343 x 2 2 当 当时 不等式可化为时 不等式可化为03 x20 x 1 53 2x 3 综上 解集为综上 解集为 0 x1 4 3xx 解法二 转化为不等式组求解解法二 转化为不等式组求解 原不等式等价于原不等式等价于 014353232 xxxx 3 综上 解集为综上 解集为 0 x1 4 3xx 解法三 利用等价命题法解法三 利用等价命题法 原不等式等价于原不等式等价于 即 即 33 2x5 53 x230 x1 4 3x 解集为解集为 0 x1 4 3xx 解法四 利用绝对值的集合意义解法四 利用绝对值的集合意义 原不等式可化为原不等式可化为 不等式的几何意义时数轴上的点 不等式的几何意义时数轴上的点的距离大于的距离大于 2 5 2 3 2 3 x 2 3 x 且小于 且小于 由图得 由图得 解集为解集为 2 3 2 5 0 x1 sin 若是第一象限角 则若是第一象限角 则 3 4 5 3 tan cos 若是第二象限角 则若是第二象限角 则 3 4 5 4 tan cos 变变 2 已知 已知求求 sin0 mm tan 解 由条件解 由条件 所以 所以10 m 当当 时 时 是第一或第二象限角是第一或第二象限角10 故不符合题意 故选故不符合题意 故选 D5 0 x 3 25 0 x8 解解法法八八 11 设圆方程为 设圆方程为 9 22 yx 椭圆方程为 椭圆方程为 1 1625 22 yx 两者联立解方程组得 两者联立解方程组得 9 725 72592516259 1625 9 2516 16252516 2 2 22 22 x x xx yx 不可能不可能 故圆故圆与椭圆与椭圆无交点无交点9 22 yx1 1625 22 yx 即即 不可能垂直不可能垂直 1 PF 2 PF 故选故选 D 一题多解一题多解 一题多变 六 一题多变 六 一变题 课本一变题 课本 P110 写出数列写出数列的前的前 5 项 项 n a 1 1 11 1 4 n n aa a 变题 已知函数变题 已知函数 设 设的反函数为的反函数为 1 22 1 2 f xxx xf xgy 121 1agaa 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 1 nn aga n a 解 由题意得 解 由题意得 xxgy 2 1 1 1 nn aa 2 1 1 12 令 令 则 则是以是以 为首项 为首项 为公为公 1 212 323 nn aa 3 2 nn ab n b 3 1 2 1 比的等比数列 比的等比数列 故故 1 1 2 1 3 1 nb n n 从而 从而 23 1 n 1 1 12 3 2 nba nn nn 二 一题多解二 一题多解 已知函数已知函数 1 2 2 x x axx xf 1 当 当时 求函数时 求函数的最小值 的最小值 2 1 a xf 2 若对于任意 若对于任意恒成立 试求实数恒成立 试求实数 的取值范围 的取值范围 01 xfxa 解 解 1 当 当时 时 当且仅当 当且仅当 2 1 a222 2 1 2 x xxf 时取等号时取等号 2 2 x 由由性质可知 性质可知 在在上是增函数上是增函数 0 k x k xxf xf 2 2 所以 所以在在是增函数 是增函数 在区间在区间上上 1x xf 1 xf 1 的最小值为的最小值为 2 7 1 f 2 法一 在区间上 法一 在区间上 恒成立恒成立 10 2 2 x axx xf 恒成立恒成立02 2 axx 设设 在在axx 2 2 y 1x 112 22 yaxaxx 上增上增 1 所以所以时 时 于是当且仅当 于是当且仅当时 函数时 函数1 x3 min ay03 min ay 13 恒成立 恒成立 0 xf 故故 3 a 法二 法二 12 x x a xxf 当当时 函数时 函数的值恒为正 的值恒为正 0 a xf 当当时 函数时 函数为增函数 故当为增函数 故当时 时 于是 于是0 ay0 xf 3 a 法三 在区间法三 在区间上 上 恒成立恒成立 10 2 2 x axx xf 恒成立恒成立02 2 axx 恒成立 故恒成立 故 应大于应大于 时的最大时的最大xxa2 2 axx2 2 u 1x 值值 3 所以所以 3 a 一题多解一题多解 一题多变 七 一题多变 七 原题 原题 若若 则则 01 1 2 xxx x f xf 分析分析 用倒数换元用倒数换元 解解 令令 所以所以 t x x t 11 0 1 1 1 2 t tt tf 将将 t 换成换成 x 得到得到 0 1 1 1 2 x xx tf 变题变题 1 设 设满足关系式满足关系式求求的解析式的解析式 xf x x fxf3 1 2 xf 14 解 解 t x x t 11 t tf t f 1 32 1 将将 t 换成换成 x 得到得到 x xf x f 1 32 1 与原式联立方程组消去与原式联立方程组消去得到得到 x f 1 2 0 f xx x x 变题变题 2 已知 已知 其中 其中试求试求的解析式的解析式 af xfxbx 1 2 a xf 解 用相反数换元解 用相反数换元 令令代入到原式当中得到 代入到原式当中得到 tx xt aftf tbt 将将 t 换成换成 x 得到得到 afxf xbx 与原式联立方程组 得到 与原式联立方程组 得到 2 1 1 af xb ax 1 2 a 2 1 1 1 b ab f xxx aa 变题变题 3 已知 已知 试求 试求的解析式的解析式 22 43 34 2 afxbfxx ab xf 解 令解 令 则 则43xt 2 3 2 t x 3 2 t af tbft 1 将将 中中 t 换 换 t 得到得到 1 3 2 t aftbf t 与与联立方程组得到 联立方程组得到 1 15 22 3 22 ab abf ttab 22 ba 13 2 2 f tt abab 13 2 2 f xx abab A 变题变题 4 已知 已知求求 2 1 nn af xfxbxan 其中为奇数 xf 解 设解 设 代入原式得 代入原式得 nn txtx n af tftb t 将将 t 换成换成 t 得到得到 与上式联立方程组得到与上式联立方程组得到 n tbtftaf n tabtfa 11 2 1 2 a 2 1 1 1 nn b ab f xtt aa 的解析式为 的解析式为 xf 2 1 1 1 nn b ab f xxx aa 一题多解一题多解 题目 设二次函数题目 设二次函数满足满足 22xfxf 且函数图象且函数图象 y 轴上轴上 xf 的截距为的截距为 1 被 被 x 轴截的线段长为轴截的线段长为 求 求的解析式的解析式22 xf 分析 设二次函数的一般形式分析 设二次函数的一般形式 然后 然后 0 2 acbxaxxf 根据条件求出待定系数根据条件求出待定系数 a b c 解法一 设解法一 设 0 2 acbxaxxf 16 由由 22xfxf 得 得 又又04 ba 22 21 a xx 由题意可知由题意可知 解之得 解之得 22 84aacb 1 c 12 2 1 cba 12 2 1 xxxf 解法二 解法二 22xfxf 故函数故函数的图象有对称轴的图象有对称轴 xfy 2 x 可设可设kxay 2 2 函数图象与函数图象与 y 轴上的截距为轴上的截距为 1 则 则 14 ka 又又被被 x 轴截的线段长为轴截的线段长为 则 则 2222 21 d xx 整理得 整理得 解之得 解之得 02 ka 1 2 1 ka 12 2 1 xxxf 解法三 解法三 22xfxf 故故 17 函数函数的图象有对称轴的图象有对称轴 又 又 xfy 2 x 22 21 xx 与与 x 轴的交点为 轴的交点为 xy 0222 0222 故可设故可设 222 xay 2 1 10 af 12 2 1 xxxf 一题多解一题多解 一题多变 八 一题多变 八 原题原题 设设有反函数有反函数 又 又与与 xfy 1 xfy 2 xfy 1 1 xfy 互为反函数 则互为反函数 则 教学与测试教学与测试 P77 1 1 01ff 变题变题 设设有反函数有反函数 又 又的图象与的图象与 xfy 1 xfy 1 xfy 的图象关于的图象关于对称对称 1 1 xfyxy 1 求求及及的值 的值 01ff 1 1 01ff 2 若若均为整数 请用均为整数 请用表示表示及及ba ba f af b 1 1 bfaf 解解 1 因因的反函数是的反函数是 从而 从而 1 1 xfy 1 xfy 于是有于是有 令 令得得 11 xfxf 11 xfxf1 x 1 0 ff 1 同样 同样 得反函数为得反函数为 从而 从而 1 xfy 1 1 xfy 于是 于是 11 1 1 xfxf 11 1 1 xfxf 2 而而 故故 11 xfxf2 11 xfxf 即即 12 1 xfxf 22 xfxf nxfnxf 18 从而从而 abafabafbfaf 同理 同理 1 1 fafbba 一题多解一题多解 1 函数函数 则 则 2 1 3 f xxbxc ff A A 1 1 fcf B B 1 1 fcf C C 1 1 cff D D 1 1 cff 解法解法 1 1 由由知知的图象关于的图象关于对称 得对称 得 1 3 ff xf1 x 而而 且 且2b 22 1 1 2 11 1 1 2 1 3fccfcc 因此 因此 31ccc 1 1 fcf 解法解法 2 2 由由知知的图象关于的图象关于对称 而对称 而 1 3 ff xf1 x 而 而在在 1 1 上递减 易得答案为上递减 易得答案为 B 0fc xf y 1 1 0 0 1 1 x x 19 一题多解一题多解 一题多变 九 一题多变 九 姜忠杰姜忠杰 变变 题题 原题 若在区间原题 若在区间 在区间在区间是减函数 则是减函数 则 的取值的取值y 2 a ax 2 x 3 1 a 范围是多少 范围是多少 变变 1 1 若函数 若函数 在在上是减函数 则上是减函数 则 的取值范的取值范y 2 a ax 2 x 3 1 a 围是多少 围是多少 变变 2 2 若函数 若函数 在在上是增函数 则上是增函数 则 的取的取y a ax log 22 2 1x 3 1 a 值范围是多少 值范围是多少 变变 3 3 若函数 若函数 在在上是增函数 且函数的上是增函数 且函数的y a ax log 22 2 1x 3 1 值域为值域为 R R 则 则 的取值范围是多少 的取值范围是多少 a 解 解 函数函数的减区间为的减区间为 2 a ax 2 xy 2 a 3 1 2 a 32 2 变变 1 1 设 设 则 则 在在为减函数 且在为减函数 且在 2 a ax 2 xu u 3 1 3 1 0 0u 所以有所以有且且 的取值范围是的取值范围是3 1 2 a u3 10 a 51 1 3 5 1 1 22 3 变变 2 2 设 设 则 则 在为减函数 且在在为减函数 且在 0 0 2 a ax 2 xu u 3 1 u 所以有所以有且且 的取值范围是的取值范围是3 1 2 a u3 10 a 51 1 3 5 1 1 22 3 变变 3 3 设 设 则 则 在在减区间 减区间 在在取取 2 a ax 2 xu u 3 1 u 3 1 20 到一切正实数到一切正实数 所以 所以或或3 1 2 a 01 3 u a 2 3 5 1 1 2 51 1 3 一题多解 一题多解 设设 求 求的值 的值 10 aalg1010 b bba 解法一 构造函数 设解法一 构造函数 设 则 则xxxflg 由于 由于在在上是单调递上是单调递 lg bbbb fbaf1010101010 xf 0 增函数 所以增函数 所以 故 故 b a10 1010 bba b 解法二 图象法 解法二 图象法 因为因为 是方程是方程的一个根 也就是方程的一个根 也就是方程的一个的一个a10 xxlgxx lg10 根根 是方程是方程的一个根 也就是方程的一个根 也就是方程的一个的一个b1010 x xx 1010 x 根根 令令 在同一坐标系中作出他们 在同一坐标系中作出他们xxglg x xh10 xx 10 的图象 如图所示 的图象 如图所示 10 8 6 4 2 5510 BA AC 是方程是方程的根 即图中的根 即图中 OA OA a xxg a 21 是方程是方程的根 即图中的根 即图中 OB OB b xxh b 易得易得 OA OB 10OA OB 10 所以 所以10 ba 解法三 方程解法三 方程 的根为的根为 由由 得 得10 xxlg1010 x xab1010 x x 又 又 x x 1010 x lg 10 x10 xxlg10lgxx lg 10 10 10 x x 10 0 2 10 1010 x x 10 21 xx 0a xf 2 如果 如果时 时 试求实数 试求实数 的取值范围 的取值范围 10 x1 xfa 1 证明 略 证明 略 2 实数 实数 的取值范围是的取值范围是a 2 0 二 一题多解二 一题多解 不查表计算 不查表计算 52352 33 lglglglg 23 解法一 原式解法一 原式 3lg2lg55 lglg2lg5 2lg lg lg 22 52 5235522 22 lglglglglg lg 55222 22 lglglglg 152 2 lg lg 解法二 原式解法二 原式 322 lg2lg5 3lg 2lg5 3lg2lg 53lg2lg5 1 3lg2lg5 lg2lg5 1 1 解法三 原式解法三 原式 5235252352 3 lglg lg lglglg lg lg 5235231lglglglg 1 解法四 原式解法四 原式 52352352352352352 222233 lglglglg lglg lglglglglglg lg lglglg lg lg15252352 3 1 解法五 原式解法五 原式 152352 33 lglglglg lg lglglglglg5252352 33 3 52 lg lg 1 一题多解一题多解 一题多变 十一 一题多变 十一 一题多解一题多解 1 已知已知 求 求的值的值 2 1 2 x xf 1 x 1 2 3 f 24 解法解法 1 先求反函数先求反函数 由由得得 2 2 1x y 2 2 1 y x 1 x 且且 y 2 1 x0 y 故原函数的反函数是故原函数的反函数是 x 2 1 1 xf 0 x 2 3 2 1 f 解法解法 2 从互为反函数的函数的关系看从互为反函数的函数的关系看 令令解得解得 3 2 x 2 1 2 2 x 1x 0 xf 1 求证求证 xfxf 2 判断判断的单调性的单调性 xf 证明证明 1 令 令得得 0 yx 000fff 00 f 令令 得 得 y x0 x fxff 0 xfxf 2 设 设 则 则 21 xx 11211212 xfxxfxfxxxfxf 在在 R 上是单调函数上是单调函数 xf 变题变题 1 已知函数是定义已知函数是定义 R 在上的增函数 且满足在上的增函数 且满足 xf y x f yf 1 求求的值的值 1f 2 若若解不等式解不等式 16 f2 1 5 x fxf 解解 1 令令 得 得1 yx 111fff 01 f 3 在在中 令中 令得得 yfxf y x f 61 yx 16 6 1 ff 26 从而从而 2 6 1 636 fff 又原不等式可化为又原不等式可化为 365fxxf 且且是是上的增函数 上的增函数 xf 0 原不等式等价于原不等式等价于 365 xx 49 x05 x 解得解得 40 x axx xf 恒成立 设恒成立 设在在递增递增 02 2 axxaxxy 2 2 1 当当 x 1 时时 于是当且仅当 于是当且仅当时 函时 函 ay 3 min 03 aymin 数恒成立 故数恒成立 故 a 3 29 解法二 解法二 当当 a的值恒为正的值恒为正 当当 a 时恒成立时恒成立 故故 a 3 解法三 解法三 在区间在区间上上恒成立恒成立恒恒 1 x axx xf 2 2 02 2 axx 成立成立恒成立 故恒成立 故 a 应大于应大于xxa2 2 时的最大值时的最大值 3 12 2 xxxu 11 2 xa 当当 x 1 时 取得最大值时 取得最大值 3 3 a 题目 题目 将函数将函数的图象向左平移的图象向左平移 1 个单位 再向上平移个单位 再向上平移 1 x xf 1 个单位 求所得图象的函数表达式 个单位 求所得图象的函数表达式 解 解 将函数将函数中的中的 x 换成换成 x 1 y 换成换成 y 1 得得 x xf 1 1 1 1 1 1 1 1 x x xf x xf x xf 变题变题 1 作出函数 作出函数的图象的图象 1 1 x x xf 解 解 函数函数 它是由函数 它是由函数的图象向左的图象向左 1 1 x x xf 1 2 1 xx xf 2 平移平移 1 个单位 再向上平移个单位 再向上平移 1 个单位得到 图象为 个单位得到 图象为 30 变题变题 2 求函数 求函数的单调递增区间的单调递增区间 1 1 x x xf 解 解 由图象知由图象知 函数函数的单调递增区间为 的单调递增区间为 1 1 x x xf 1 1 变题变题 3 求函数 求函数的单调递增区间的单调递增区间 1 1 x x xf 解 解 由由 得得 所以函数所以函数的单调递增区的单调递增区0 1 1 x x 11 xx或 1 1 x x xf 间为间为 1 1 变题变题 4 求函数求函数的单调递增区间的单调递增区间 1 1 log2 x x xf 解 解 由由 所以函数 所以函数的单调递的单调递110 1 1 xx x x 或 1 1 log2 x x xf 增区间增区间 为为 1 1 变题变题 5 函数函数的反函数的图象的对称中心为 的反函数的图象的对称中心为 1 3 1 ax xa xf 求实数求实数 a 解 解 由由知对称中心为 知对称中心为 a 1 1 1 1 1 1 axax xa xf 所以它的反函数的对称中心为 所以它的反函数的对称中心为 1 a 1 由题意知 由题意知 a 1 3 得得 a 2 31 变题变题 6 函数 函数的图象关于的图象关于 y x 对称求对称求 a 的值的值 ax x xf 2 解 解 因为函数因为函数的反函数是它本身 且过点 的反函数是它本身 且过点 2 0 ax x xf 2 所以其反函数的图象必过点 所以其反函数的图象必过点 0 2 即函数 即函数也也 ax x xf 2 过点 过点 0 2 代入得 代入得 a 1 变题变题 7 设 设 a b 与 与 c d 都是函数 都是函数 f x 的单调区间 的单调区间 且且则则与与的大小关系为 的大小关系为 dcba xx 21xx21 1x f 2x f A B C D 不能 不能 21xx ff 21xx ff 21xx ff 确定确定 解解 构造函数构造函数它在它在上都是增函数 但在上都是增函数 但在 x xf 1 0 0 上无单调性 故选上无单调性 故选 D 0 0 变题变题 8 讨论函数 讨论函数在在上的单调性 上的单调性 2 1 2 1 a x ax xf 2 解 解 由由的图象知的图象知 当 当 时在时在 2 1 2 21 2 1 a x a a x ax xf xf 2 1 a 上是增函数 当上是增函数 当时在上为减函数时在上为减函数 2 1 a 一题多解一题多解 一题多变 十四 一题多变 十四 已知已知 求证 求证 00 mba a b ma mb 变变 题题 1 已知数列 已知数列满足满足 试比较 试比较与与的大小的大小 n a 2 n n an Nn n a 1 n a 2 已知 已知 且 且 求证 求证 00 mba 00 mbma a b ma mb mba a b ma mb ba 0 m0 ba 0 maa bam 0 a b ma m