推理与证明——以几何教学为例第二节

第二节 几何教学的案例 下面我们以几何教学为例 通过案例 看一看关于围绕推理与证明能力培下面我们以几何教学为例 通过案例 看一看关于围绕推理与证明能力培 养的一些问题 养的一些问题 案例案例 1 1 北京昌平阳坊中学 谷长征老师的 北京昌平阳坊中学 谷长征老师的 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 2626 分分 1616 秒的视频材料 的课堂实录片断 秒的视频材料 的课堂实录片断 教学过程设计教学过程设计 问题与情境师生行为设 计 意 图 情境导入 情境导入 观察下列图片 你发现这些图片中的几何 图形有什么特点 复习提问 复习提问 1 叫做等腰三角形 2 如图 1 在 ABC 中 AB AC 则 ABC 中 三角形 是 腰 是底边 是顶角 是底角 实践探究 实践探究 1 什么叫等腰三角形 知道等腰三角形你 能得到什么结论 2 等腰三角形还有别的特点吗 请同学 们通过动手折叠等腰三角形 纸片 进行 探究 3 说说你的发现 并向大家展示一下 你是怎样发现这个结论的 4 同学们通过实践得到的结论是不是等腰 看图 观察思 考回答 完成学案第一 题 学生动手折叠 等腰三角形对 等腰三角形性 质进行探究 对折叠等腰三 角形出现的种 种现象进行观 察 思考 归 纳 猜想 有实际生活引出 等腰三角形 激 发学生的求知欲 望 激发学生的学习 兴趣 问题分层 设计 满足不同 层次学生的需求 通过动手 加深 学生对知识形成 过程的理解 发 展学生的思维能 力 动手操作能 力和数学语言表 达能力 激发学 生的求知欲 培 养学生的探索意 识和创新精神 三角形的性质 为什么 5 如何证明 6 猜想 1 等腰三角形的底角是什么关系 2 折痕是等腰三角形中的什么线段 回答问题 并 简述理由 性质证明性质证明 性质 1 等腰三角形的两个底角相等 1 分析命题的条件 结论 A 结合图形写出已知 求证 C B 思考 1 证明两个角相等的方法有哪些 2 在实践与探究中 你是如何得到 等腰三角形两个底角相等这个结论的 3 在这道题中 通过什么方法证明两个角 相等 4 如何把这个等腰三角形转化为两个全等 的三角形 5 怎样作辅助线 学生思考 回答问题 总结所学知 识 回顾实 践与探究的 过程 寻求 定理的证明 方法 由一名学生 口述定理证 明过程 教 师板书 结合图形 掌握定理的 符号语言 加强知识形成过 程的教学 不断 完善知识体系 教给学生分析问 题的方法 引导学生把实践 操作与逻辑证明 结合起来 培养 学生从实践中获 取知识的能力 注重对一题多解 的练习 为学习 基础较好的学生 留出发展的空间 2 小结证明过程 指出辅助线的作法不唯一 性 提示这个定理还能不能通过别的方法来证 明 留作课下练习 3 性质定理的符号语言 强调 等边对等角 指的是在同一个三角形 中 性质 2 三线合一 1 结合定理证明过程 帮助学生证明 三线 合一 的性质 2 结合图形 讲清条件 结论 3 帮助学生掌握 三线合一 的符号语言 A 4 课件验证 强调 三线合一 是在等腰三 角形中 等腰三角形性质的应用等腰三角形性质的应用 试一试 试一试 C B 1 如图在 ABC 中 E D 证明 三线 合一 的性 质 看课件 演示 加深 对 三线合 一 性质的 理解 结合图形 积极思考 回答问题 分析并实践 例题 逻辑证明加上课 件演示 帮助学 生完成了由特殊 到一般这一认识 过程 加深学生 对知识的理解 1 题短小灵活 是对所学知识的 直接应用 照顾 了学习有困难的 学生 AB AC 已知 在 ADE 中 AD AE 已知 ADB AEC 2 等腰三角形的顶角等于 40 则 它的每个底角等于 3 等腰三角形的一个底角等于 80 则它 的顶角等于 4 等腰三角形的一个角等于 40 则它 的顶角等于 5 等腰三角形的一个角等于 100 则它 的每个底角等于 等腰三角形性质应用 分层测试 等腰三角形性质应用 分层测试 学生完成分层测试 教师边巡视 边指导 边批改 反馈学生完成分层测试的情况 及时进行 讲解 课后小结 1 我们这节课学习了什么知识 2 我们是怎样发现等腰三角形性质的 3 通过本节课的学习 你有哪些收获 完成练习 并 口述理由 完成分层测试 根据问题进行 小结 练习分层设计 照顾不同层次学 生的发展 为学习较好的学 生留出发展的空 间 通过分层测试使 学生掌握等腰三 角形的性质 并 能初步运用 满 足不同学生的需 求 促进全体学 生健康发展 帮 助学生反思学习 过程 使学生树 立成功者的自信 附 学案 等腰三角形 反思学习过程 抓住重点 加 强理解 不断 地总结并完善 知识体系 加 强师生间的沟 通 树立成功 者的自信 分析 这是一节传统内容的课 谷老师也是有着分析 这是一节传统内容的课 谷老师也是有着 1919 年教龄的老教师 可以说年教龄的老教师 可以说 课上得非常流畅 教师经验丰富 能够很敏锐地发现学生思维上的特点 课上得非常流畅 教师经验丰富 能够很敏锐地发现学生思维上的特点 我想问几个问题 就是您是我想问几个问题 就是您是 1 1 您是如何对待新课程中传统几何内容的处理方式的 您是如何对待新课程中传统几何内容的处理方式的 2 2 结合这个案例 请您谈一谈在初中阶段培养学生的推理与证明能力的主要困 结合这个案例 请您谈一谈在初中阶段培养学生的推理与证明能力的主要困 难是什么 难是什么 案例案例 2 2 北京市十一学校 葛莉老师的 北京市十一学校 葛莉老师的 地板砖的奥秘地板砖的奥秘 1717 分分 5757 秒的视频材秒的视频材 料 的课堂实录片断 料 的课堂实录片断 教学设计教学设计设计思路 创设情境创设情境 直奔主题直奔主题 生活中 在许多地 方 我们 都可以看 到由各种 各样的多边形拼出的漂亮 的 多姿多彩的图案 其 中隐藏着许多数学奥秘 这节课我们运用所学过的 数学知识 探索其中的奥 秘 展示学生收集到的一些精美的图案 观察 拼装的特点 学生通过观察与讨论可知 选择不同的多 边形按照一定的拼装要求 就可拼装出丰 富多彩的图案 提出拼装具体要求 任意 两块图形不能重叠 也不能留有空隙 而 且 多边形的顶点只能与顶点重合 生活中最常见的是用正多边形拼装的 因 从实际生活入手 设 计问题情景引发学生 的思考与对本节课的 兴趣 使学生感受到 生活中处处有数学 思考将现实问题数学 化的过程 体验到数 学的应用价值 使学 生学会用数学的眼光 看待多姿多彩的世 界 此我们从正多边形开始研究 实践探索师 生互动 探求奥秘 一 拼一拼 动手 拼一拼 动手 某广场要铺设地砖 请你根据已有知识 帮助设计按要求的铺设方案 限用一种正多边形 用两种正多边形组合拼装 学生四人一组分工合作 按要求拼装 二 想一想 动脑 二 想一想 动脑 为什么有的图形能铺满地面 有的 图形却不能 究竟有什么规律呢 如果只用一种正多边形 能否铺满 地面的关键是什么 哪几种正多边形能铺 满平面 能用数学知识解释吗 3 以正方形和正三角形组合拼图为例 引导学生思考 围绕一点周围有几个正方 形和正三角形 分别有三个正三角形和 两个正方形 对于正多边形个数能用数学 方法分析推导出来吗 先独立思考 然后小组进行交流 讨论 在交流中达成共识 三 问题解决 交流 三 问题解决 交流 围绕一点拼在一起的几个多边形的 内角加在一起恰好组成一个周角时 就拼 成一个平面图形 用规律验证刚才的拼装结果 正三角形 在每一个顶点处应有 360 60 6 个正三角形 正方形的每一个内角是 90 因此在每 一个顶点处应有 360 90 4 个正方形 正六边形的每一个内角是 120 因此 给学生一个探索的空 间 使学生能够真正 地的在 做 中学数 学 在做的过程中 注重学生经历了知识 的形成过程 注重学 生的探究学习过程 体现了学生的主体作 用 认识由感性上升到理 性 有效的学习不再是单 纯的模仿和记忆 而 是一个主动实验 积 极思考 踊跃交流和 富有个性的过程 在 实验 交流 讨论 说理 构建模型的过 程中 重点得以突出 难点得以突破 引导学生用所学过的 在每一个顶点处应有 360 120 3 个正 六边形 正五边形的每一个内角是 108 不存 在正整数 n 使 n 108 360 成立 所 以用正五边形不能拼出符合要求的图案 用一个数学表达式概括结论 正多边形个数正多边形个数 正多边形内角度数正多边形内角度数 360 360 如果只用一种正多边形铺地板 能 否铺满地面的关键是正多边形内角的度数 是否是 360 的约数 用相同的正多边形拼 地板只有三种情形 正三角形 正方形 正六边形 用两种不同的正多边形拼 正多边形正多边形1 1个数个数 正多边形正多边形1 1内角度数内角度数 正正 多边形多边形2 2个数个数 正多边形正多边形2 2内角度数内角度数 360 360 正多边形个数能用数学方法分析推导出来 即把实际问题转化为寻求二元一次方程的 正整数解的问题 方程的知识解决这个 问题 思维拓展思维拓展 引发思考 前面我们探究了用一种或两种正多边形铺 地板的问题 还可以研究什么问题呢 还可以考虑用三种不同的正多边形 用四 种不同正多边形铺地板 还可以从特殊到一般提出新问题 用一种 任意多边形能否铺满整个平面 更上层楼 课后探究作业 你能设计出用三种 甚至四种不同的 正多边形地砖铺满地面的方案吗 由四种不同的正多边形不能铺满地面 因 为边数最少的四种正多边形 正三角形 正方形 正五边形 正六边形的内角分别 为 60 90 108 120 它们的和 欲穷千里目 更上 一层楼 研究了用 正多边形铺地板 再 探索用非正多边形能 否铺地板 怎样设计 是由特殊到一般的思 维扩展 将学生引入 更高层次的知识境界 为 378 超过了 360 用形状 大小都一样的一种任意多边 形能否铺满整个平面 如果能 怎样设计 欣赏图案欣赏图案 激发创造欲激发创造欲 望望 在实际生活中 还有许多丰富 多彩的图案是 由不规则的基本图形拼成的 欣赏几幅精 美的拼图 它们是怎么铺就而成的呢 乍一看上去 这些图案令人眼花缭乱 其 实都是由常规的基本图形变换而成的 演示变换过程 欣赏美丽的镶嵌图案 将潜移默化的美学教 育推向一个新的高潮 师生共同小师生共同小 结结 通过本节课的研究 交流 有什么收获和体会 1 增长知识 学习方法 实验是发现数学规律的重要方法 数形结合的解 决问题的方法 数缺形时少直觉 形少数时难入微 从特殊到 一般可以发现提出新问题 3 感受过程 数学的美 数学的应用 合作探究的愉快 问题 1 这节课的教学目标是什么 这节课的教学目标是什么 2 2 这样的教学设计体现了新课程改革的什么理念 这样的教学设计体现了新课程改革的什么理念 现在新课程中增加了变换几何的内容 怎样设计类似这样的教学 经常是 教师面临的新问题 同时 我们在第三个专题中谈到信息技术已经被教师普遍 地应用于数学教学 这在一定程度上降低了数学学习的难度 有利于更多的学 生建立起数学学习的自信 下面我们再看一个案例 案例案例 3 3 北京市昌平五中 刘海燕老师的北京市昌平五中 刘海燕老师的 旋转过程中的规律探究旋转过程中的规律探究 2020 分分 5757 秒的视频材料 的课堂实录片断 秒的视频材料 的课堂实录片断 教学过程设计教学过程设计 问题与情境问题与情境师生行为师生行为设计意图设计意图 一引入 出示两幅图片 让学生找不同 的地方 二 探究规律 活动 1 认真观察 发现规律 教师出示问题 1 把一块半径足够 长 圆心角为直角的扇形纸板绕正方形 中心旋转观察它们重叠部分的面积 你 有什么发现 问题 2 如果这个正方形的边长为 a 那么重叠部分的面积是多少 3 写出所得结论的证明过程 归纳 1 遇到不规则图形的问题时 常常利用添加辅助线 旋转或割补的方 法转化成规则图形 2 要善于观察 在变中寻找不变元素 二推广 活动 2 展开联想 推广结论 教师出示问题 非得绕正方形旋转吗 学生先观察静止状态 想 象扇形转动的情况 教师利用几何画板演示动 态过程 学生观察 找出 规律 教师在演示过程中 注意 让学生观察特殊位置 学生回答 小组讨论证明方法 叙述 后进行证明 找一个到两个学生的证 明进行展示 教师引导学生总结 教师强调正方形的特点 边等角等 学生思考 找出和正方形 相关的图形 正三角形 正五边形等正多边形 教师用几何画板演示圆心 角为直角的扇形纸板绕正 吸引学生的注 意力 激发学 习兴趣 培养学生想象 能力 为下面的证明 做铺垫 体现小组间的 合作互助 教学过程设计教学过程设计 三角形中心旋转时的情况 通过度量面积的方法否定 结论 体现特殊到 一般的推广 问题与情境问题与情境师生行为师生行为设计意图设计意图 追问 这时的面积不等 那有没有 可能改变一下条件就相等了呢 问题 圆心角为多少度的扇形纸板绕 正五边形中心旋转时它们重叠部分的 面积相等 是正五边形面积的多少 猜想结论 把扇形纸板绕正 n 边形中 心旋转时 如果扇形的圆心角等于正 多边形的中心角时 正 n 边形被纸板 覆盖部分的面积等于正方形面积的 1 n 总结 1 从特殊情况入手 注意从特殊 到一般的推广 2 学习知识要有拓展意识 三探究实践 若把圆心角为直角的扇形纸板绕正方 形中心旋转时正方形的边被纸板覆盖 部分有什么特点 四小结 学生小组讨论 得出探 究结果 教师用几何画板进行面积 度量 学生叙述证明方法 注意 抓住特殊位置 学生思考并回答 学生进行结论猜想 培养学生的探 究意识 培养学生归纳 概括能力 问题 1 本节课的重点是什么 2 旋转的作用是什么 3 怎样在几何教学中引导学生探究规律 怎样在几何教学中引导学生探究规律 4 如何更高效地使用几何画板所制作的课件 案例案例 4 4 北京市十一学校 龙文中老师的 北京市十一学校 龙文中老师的 相似三角形的应用相似三角形的应用 2121 分分 1818 秒的秒的 视频材料 的课堂实录片断 视频材料 的课堂实录片断 教学设计 教学设计 问题提出 我们学校的旗杆给同学们或来访者留下了深刻的印象 你能应用所 学的知识来测量它的高度吗 一 准备阶段 一 准备阶段 本节课的主要任务是通过测量旗杆的高度 培养学生学数学的兴趣和用数学的 意识 探讨测量的方法 1 活动课题 利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度 2 活动方式 分组活动 全班交流研讨 学生谈收获 五作业 1 你能用一条直线把一个矩形分成相等 的两部分吗 2 一块方角形如图所示 请你用一条直 线将其分为面积相等的两部分 小组合作探究 注意结论的