甘肃省白银十中2017届高三期中数学试卷(解析版).doc

2016 2017 学年甘肃省白银十中高三 上 期中数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设全集 U R A x y lg 2x x2 B y y cos x 则图中阴影部分表示的区间是 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 考点 Venn 图表达集合的关系及运算 分析 根据定义得到阴影部分的集合为 U A B 求出集合 A B 的等价条件 结合集 合的基本运算进行求解即可 解答 解 由题意知 A x 2x x2 0 x 0 x 2 B y 1 y 1 A B x 1 x 2 则 U A B 即图中阴影部分所表示的区间 区间为 1 2 故选 C 2 若点 P 在角的终边上 且 P 的坐标为 1 y 则 y 等于 A B C D 考点 任意角的三角函数的定义 分析 由条件利用任意角的三角函数的定义 诱导公式 求得 y 的值 解答 解 点 P 在角的终边上 且 P 的坐标为 1 y tan tan tan y 故选 B 3 给出以下四个判断 其中正确的判断是 A 命题 p R 使幂函数 y x 图象经过第四象限 命题 q 在锐角 ABC 中 sinA cosB 则 p q 为真 B 命题 正切函数 y tan x 在定义域内为增函数 的逆否命题为真 C 在区间 a b 连续的函数 f x f a f b 0 是 f x 在区间 a b 内有零 点的充要条件 D 命题 p 函数 f x x2 2x仅有两个零点 则 p 是真命题 考点 命题的真假判断与应用 分析 通过幂函数的性质判断 A 的正误 正切函数的单调性判断 B 的正误 零点判定定 理以及充要条件判断 C 的正误 函数的零点个数判断 D 的正误 解答 解 对于 A 因为幂函数 y x 图象恒不过第四象限角 命题 p 是假命题 命题 q 是真命题 则 p q 为假命题 对于 B 正切函数 y tan x 在每个周期内为增函数 故命题为假 对于 C f a f b 0 是 f x 在区间 a b 内有零点的充分不必要条件 对于 D 做出 y x2和 y 2x 可知 x 0 时 02 20 0 x 1 时 1 x2 2 1 0 可知 x 1 0 x 2 x 4 也是函数的零点 有三个交点 故命题 p 为假 p 是真命题 故选 D 4 一个扇形 OAB 的面积是 1cm2 它的周长是 4cm 则弦长 AB A 2B 2sin 1C 2sin 2D sin 1 考点 扇形面积公式 分析 由已知利用扇形面积公式 可求扇形的半径和弧长 过 O 作 OH AB 于 H 解三 角形即可得解 AB 的值 解答 解 设扇形的半径为 r cm 弧长为 l cm 则 解得 圆心角 2 如图 过 O 作 OH AB 于 H 则 AOH 1 rad AH 1 sin 1 sin 1 cm AB 2sin 1 cm 故选 B 5 已知 sin 则 A B C D 考点 两角和与差的正弦函数 分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos 的值 进而利用诱导公式 可求的值 解答 解 sin cos sin cos 故选 C 6 关于函数 y tan 2x 下列说法正确的是 A 最小正周期为 B 是奇函数 C 在区间上单调递减 D 为其图象的一个对称中心 考点 正切函数的奇偶性与对称性 分析 根据正切函数的图象与性质 求出函数 y tan 2x 的最小正周期 判断它的 奇偶性以及单调性 对称中心 解答 解 函数 y tan 2x 最小正周期为 T A 错误 令 2x k k Z 解得 x k Z f x 的定义域为 x x k Z 其定义域不关于原点对称 是非奇非偶函数 B 错误 又周期函数在其定义域内无单调减区间 f x 无单调减区间 C 错误 令 2x k Z 解得 x k Z f x 的对称中心为 0 k Z 当 k 1 时 f x 的对称中心为 0 D 正确 故选 D 7 已知 x1 dx x2 e 1 1 其中 e 为自然对数的底数 实数 x3满足 则 x1 x2 x3的大小关系为 A x1 x2 x3B x2 x1 x3C x3 x2 x1D x3 x1 x2 考点 定积分 分析 分别计算三个数的大小 x1利用定积分计算 x2结合指数函数判断 x3结合函数 y 与函数 y lgx 的交点进行判断 解答 解 x1 dx x2 e 1 1 实数 x3是为函数 y 与函数 y lgx 的交点的横坐标 由作图可知 x3 1 如图 所以 x3 x1 x2 故选 D 8 把函数 y sin2x 的图象向左平移个单位长度 再把函数图象上每一点的横坐标伸长 为原来的 2 倍 纵坐标不变 得到函数 y f x 的图象 则函数 y f x 的图象上最高点 与最低点之间的距离的最小值为 A B C D 考点 正弦函数的对称性 分析 由题意根据正弦函数的平移变换规律可求函数 y f x 的解析式 利用正弦函数 的图象和性质即可利用勾股定理计算得解 解答 解 把函数 y sin2x 的图象向左平移个单位长度得到 y sin 2x 的图象 再把函数 y sin 2x 图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍 纵坐标不变 得到函数 y sin x 的图象 其周期为 2 最大值为 1 最小值为 1 可得 最高点与最低点距离为 故选 A 9 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴正方向滚动 设顶点 P x y 的轨迹方程 是 y f x 设 y f x 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域为 S 则直线 x t 从 t 0 到 t 4 所匀速移动扫过区域 S 的面积 D 与 t 的函数图象大致为 A B C D 考点 函数的图象 分析 沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转 当顶点 B 落在 x 轴上时 再以顶点 B 为中心顺时针旋转 如此继续 先画出 y f x 最终构成图象 即得到其两个 相邻零点间的图象与 x 轴所围区域为 S 再由图象选出直线 x t 从 t 0 到 t 4 所匀速移动扫 过区域 S 的面积 D 与 t 的函数图象 解答 解 由题意得 从顶点 A 落在 x 轴上的时候开始计算 到下一次 A 点落在 x 轴上 这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上 而每两个顶点间距离为正方形的边长 1 下面考查 P 点的运动轨迹 知正方形向右滚动 P 点从 x 轴上开始运动的时候 首先是围绕 A 点运动个圆 该圆半径为 1 然后以 B 点为中心 滚动到 C 点落地 其间是以 BP 为半径 旋转 90 再以 C 为圆心 旋转 90 这时候以 CP 为半径 因此 y f x 最终构成图象如下 由图得 两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域 S 为曲线与 x 轴围成的封闭图形 则直线 x t 从 t 0 到 t 4 所匀速移动扫过区域 S 的面积 D 与 t 的函数变化 从 O 到 B 面积相同时间内越来越大 D 随着 t 变化得越来越快 从 B 到 D 面积相同时间内 越来越小 D 随着 t 变化得越来越慢 故 D 与 t 的函数变化图象大致为 D 中的图象 故选 D 10 已知函数 f x 的图象上恰好有两对关于原点对称的点 则 实数 a 的取值范围是 A 4 B 0 4 C 0 4 D 0 考点 分段函数的应用 二次函数的性质 分析 若函数 f x 的图象上恰好有两对关于原点对称的点 则当 x 0 时 x2 2ax 2a x 2即 x2 ax a 有两个解 解得实数 a 的取值范围 解答 解 若函数 f x 的图象上恰好有两对关于原点对称的 点 则当 x 0 时 x2 2ax 2a x 2即 x2 ax a 有两个解 所以 解得 a 4 故选 A 11 函数 f x 2ax 2a 1 图象经过四个象限的必要而不充分条件是 A x B 2 a 0C a D 1 a 考点 利用导数研究函数的单调性 分析 由 f x 求导 f x ax2 ax 2a a x 1 x 2 由题意可知 f 2 0 且 f 1 0 即可求得 a 的取值范围 根据 a 的取值范围 根据集合的关系 即可求得函数 f x 图象经过四个象限的必要而不充分条件为 2 a 0 解答 解 由 f x 2ax 2a 1 求导 f x ax2 ax 2a a x 1 x 2 若 a 0 令 f x 0 解得 x 2 或 x 1 令 f x 0 解得 2 x 1 由题意可知 f 2 0 且 f 1 0 解得 a 若 a 0 则无解 数 f x 2ax 2a 1 图象经过四个象限的充要条件为 a 丨 a 由题意可知 函数 f x 图象经过四个象限的必要而不充分条件为 2 a 0 故选 B 12 设函数 f x x R 满足 f x f x f x f 2 x 且当 x 0 1 时 f x x3 又函数 g x xcos x 则函数 h x g x f x 在上的 零点个数为 A 6B 7C 8D 9 考点 根的存在性及根的个数判断 分析 利用函数对称性 周期性得出图象判断即可 注意特殊值的运用 解答 解 当 x 0 1 时 f x x3 当 x 1 2 时 2 x 0 1 f x f 2 x 2 x 3 当 x 0 时 函数 g x xcos x 当 x 时 函数 g x xcos x f x g x 都为偶函数 f 0 g 0 0 f 1 g 1 1 g g 0 据图象可知 函数还在 0 0 1 1 上各有一个零点 共有 8 个零点 故选 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把最终答案填在题中的横线上 13 函数 y x 与 f x 2 x2围成的封闭图形的面积为 考点 定积分 分析 首先求出两个函数的交点 然后利用定积分表示封闭图形的面积 计算定积分 解答 解 由得到 所以函数 y x 与 f x 2 x2围成的封闭 图形的面积为 故答案为 14 已知 sin cos 求 tan 的值 考点 同角三角函数间的基本关系 分析 利用平方关系和商数关系即可得出 解答 解 由 sin cos sin2 cos2 1 得 5cos2 cos 2 0 cos 或 cos cos 0 cos sin 因此 tan 2 15 函数 f x 是定义在 4 4 上的偶函数 其在 0 4 上的图象如图所示 那么不等式 0 的解集为 1 1 考点 偶函数 函数奇偶性的性质 分析 先求出不等式在 0 4 上的解集 再由偶函数的对称性求出在 4 0 上 不等式 的解集 将这 2 个解集取并集 解答 解 在 0 1 上 f x 0 cosx 0 不等式不成立 在 1 4 上 f x 0 要使不等式成立 必有 cosx 0 x 1 在 0 4 上 不等式的解集是 1 再由偶函数的对称性知 在 4 0 上 不等式的解集是 1 不等式的解集是 1 1 16 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 0 f x f y f x y 且 f 1 当 x 0 时 f x 1 关于 x 的不等式 f a f 2 xex 4 0 其中 e 为自 然对数的底数 恒成立 则实数 a 的取值范围为 考点 函数恒成立问题 分析 利用定义判断函数的单调性 根据函数的单调性把恒成立问题转化为求函数最值 问题解决 解答 解 对于 x1 x2 f x1 f x2 f x2 x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 1 又 x1 x2 0 所以 f x1 x2 1 从而 f x1 f x2 0 所以 f x 在 R 上单调递减 f 0 f 0 f 0 0 得 f 0 1 或 0 舍 f 1 f 1 f 1 1 得 f 1 2 从 而 f 2 4 所以原不等式 f a f 2 xex 4 0 等价于 f a 2 xex f 2 所以 a 2 xex 2 即 a xex恒成立 令 t xex t ex 1 x 当 x 1 时 函数递增 当 x 1 时 函数递减 所以当 x 1 时 函数取最小值为 所以 a 故答案为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答必须写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 17 1 计算 lg0 4 2lg0 5 14 2 已知 P sin cos 在直线 y x 求 2sin cos 的值 考点 运用诱导公式化简求值 分析 1 化根式为分数指数幂 然后利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化 简求值 2 由题意可得 tan 进而利用诱导公式 同角三角函数基本关系式化简求值 解答 解 1 原式 2 3 lg0 4 lg0 25 14 8 1 7 2 由题意可得 cos 可得 tan 2 2sin cos 1 18 已知函数 f x sinx cosx 2 cos2x 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 在区间上的最大值和最小值 考点 三角函数的周期性及其求法 三角函数的最值 分析 1 利用三角恒等变换化简函数的解析式 再利用正弦函数的周期性得出结论 2 利用定义域和值域求得 f x 在区间上的最值 解答 解 1 f x sin2x cos2x 2sin xcos x cos 2x 1 sin 2x cos 2x sin 2x 1 函数 f x 的最小正周期为 T 2 由 1 的计算结果知 f x sin 2x 1 当 x 时 2x 由正弦函数 y sin t 在单调递减 在上单调递减 当 2x 即 x 时 f x 取最大值 2 当 2x 即 x 时 f x 取最小值 1 综上 f x 在区间上的最大值为 2 最小值为 1 19 已知函数 f x x3 bx2 cx 在 x 1 处的切线方程为 12x y 1 0 1 求 b c 的值 2 若方程 f x m 0 有三个解 求 m 的取值范围 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 根的存在性及根的个数判断 分析 1 根据导数几何意义 导数的几何意义 切点坐标的应用 得到关于 b c 的方 程组 解得即可 2 利用导数求出函数的单调区间 可得函数的极值 利用方程 f x m 0 有三个解 即可求 m 的取值范围 解答 解 1 f x 3x2 2bx c k f 1 3 2b c 12 又 f 1 11 11 1 b c 由 解得 b 3 c 9 2 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 f x 在 1 单调递增 在 1 3 单调递减 在 3 单调递增 f x 得极大值 f 1 5 极小值为 f 3 27 方程 f x m 0 有三个解 27 m 5 20 已知函数 f x sin x cos x 0 0 为偶函数 且函数 y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 1 求的值 2 求函数 g x f x f x 的对称轴与单调区间 考点 正弦函数的单调性 分析 1 利用两角差的正弦函数公式化简函数解析式可得 f x 2sin x 由 f x 是偶函数 可得 k k Z 结合范围 0 可求 利用周期公式 可求 即可求得函数解析式为 f x 2cos 2x 利用诱导公式 特殊角的三角函数值即 可求值得解 2 利用三角函数恒等变换的应用可得解析式 g x 2sin 2x 令 2x k k Z 即可解得对称轴方程 令 2k 2x 2k 即可解得单调递 增区间 令 2k 2x 2k 解得单调递减区间 解答 解 1 f x sin x cos x 2 sin x cos x 2sin x 因为 f x 是偶函数 则 k k Z 所以 k k Z 又因为 0 所以 所以 f x 2sin 2cos x 由题意得 2 所以 2 故 f x 2cos 2x 因此 2cos 2 g x 2cos 2x 2cos 2 x 2cos 2x 2cos 2x 2cos 2x 2sin 2x 2sin 2x 令 2x k k Z 解得对称轴 x k k Z 令 2k 2x 2k 解得 k x k k Z 令 2k 2x 2k 解得 k x k k Z 所以函数 g x 的对称轴 x k k Z 单调递增区间为 k k k Z 单调递减区间为 k k k Z 21 已知函数 f x ax2 a 2 x lnx 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 f x1 2x1 f x2 2x2恒成立 求 a 的 取值范围 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 函数恒成立问题 分析 1 a 1 时 求 f x 的导函数 计算曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线 斜率 k 写出该点处的切线方程 2 由题意设 g x f x 2x x 0 g x 应是增函数 即 g x 0 在 0 上恒成立 求出 a 的取值范围 解答 解 1 a 1 时 f x x2 3x lnx f 1 2 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率 k f 1 0 所以在点 1 f 1 处的切线方程为 y 2 2 令 g x f x 2x ax2 ax lnx x 0 由题意知 g x 在 0 单调递增 所以 g x 2ax a 0 在 0 上恒成立 即 2ax2 ax 1 0 在 0 上恒成立 令 h x