高二数学选修2-1知识点总结(精华版)

1 高二数学选修高二数学选修 2 1 知识点知识点 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句 真命题 判断为真的语句 假命题 判断为假的语句 2 若 则 形式的命题中的称为命题的条件 称为命题的结论 pqpq 3 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 则这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为原命题 另一个称为原命题的逆 命题 若原命题为 若 则 它的逆命题为 若 则 pqqp 4 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定 则这两个命题称为互否命题 中一个命题称为原命题 另一个称 为原命题的否命题 若原命题为 若 则 则它的否命题为 若 则 pqp q 5 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定 和条件的否定 则这两个命题称为互为逆否命题 其中一个命题称为原命题 另 一个称为原命题的逆否命题 若原命题为 若 则 则它的否命题为 若 则 pqq p 6 四种命题的真假性 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真真 假假假假 四种命题的真假性之间的关系 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 1 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 2 7 若 则是的充分条件 是的必要条件 pq pqqp 若 则是的充要条件 充分必要条件 pq pq 8 用联结词 且 把命题和命题联结起来 得到一个新命题 记pq 作 pq 当 都是真命题时 是真命题 当 两个命题中有一个命题是假pqpq pq 命题时 是假命题 一假必假 一假必假 pq 用联结词 或 把命题和命题联结起来 得到一个新命题 记作 pqpq 当 两个命题中有一个命题是真命题时 是真命题 一真必真 一真必真 当pqpq 两个命题都是假命题时 是假命题 pqpq 对一个命题全盘否定 得到一个新命题 记作 pp 若是真命题 则必是假命题 若是假命题 则必是真命题 pp pp 9 短语 对所有的 对任意一个 在逻辑中通常称为全称量词 用 表 示 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题 对中任意一个 有成立 记作 x p xx p x 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常称为存在量词 用 表 2 示 含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题 存在中的一个 使成立 记作 x p xx p x 10 全称命题 它的否定 全称命题px p xp x p x 的否定是特称命题 11 平面内与两个定点 的距离之和等于常数 大于 的点的轨 1 F 2 F 12 F F 迹称为椭圆 这两个定点称为椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距 12 椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围且axa byb 且bxb aya 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 b 2 0 b 1 0 aA 2 0 aA 1 0b 2 0b 轴长短轴的长 长轴的长2b 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于轴 轴 原点对称xy 离心率 2 2 101 cb ee aa 准线方程 2 a x c 2 a y c 13 设是椭圆上任一点 点到对应准线的距离为 点到对应准 1 F 1 d 2 F 线的距离为 则 2 d 12 12 FF e dd 14 平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 小于 1 F 2 F 12 F F 3 的点的轨迹称为双曲线 这两个定点称为双曲线的焦点 两焦点的距离称为双 曲线的焦距 15 双曲线的几何性质 焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y 图形 标准方程 22 22 10 0 xy ab ab 22 22 10 0 yx ab ab 范围或 xa xa yR 或 ya ya xR 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 aA 2 0 aA 轴长虚轴的长 实轴的长2b 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于轴 轴对称 关于原点中心对称xy 离心率 2 2 11 cb ee aa 准线方程 2 a x c 2 a y c 渐近线方程 b yx a a yx b 16 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 17 设是双曲线上任一点 点到对应准线的距离为 点到对应 1 F 1 d 2 F 准线的距离为 则 2 d 12 12 FF e dd 18 平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物Fl 线 定点称为抛物线的焦点 定直线 称为抛物线的准线 Fl 19 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 两点的线段 称A A 4 为抛物线的 通径 即 2pA 20 焦半径公式 若点在抛物线上 焦点为 则 00 xy 2 20ypx p F 0 2 p Fx 若点在抛物线上 焦点为 则 00 xy 2 20ypx p F 0 2 p Fx 若点在抛物线上 焦点为 则 00 xy 2 20 xpy p F 0 2 p Fy 若点在抛物线上 焦点为 则 00 xy 2 20 xpy p F 0 2 p Fy 21 抛物线的几何性质 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点 0 0 对称轴轴x轴y 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 22 空间向量的概念 在空间 具有大小和方向的量称为空间向量 1 向量可用一条有向线段来表示 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指 2 5 的方向表示向量的方向 向量的大小称为向量的模 或长度 记作 3A A 模 或长度 为的向量称为零向量 模为 的向量称为单位向量 401 与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量 记作 5a a a 方向相同且模相等的向量称为相等向量 6 23 空间向量的加法和减法 求两个向量和的运算称为向量的加法 它 1 遵循平行四边形法则 即 在空间以同一点 为起点的两个已知向量 为邻边作平行 a b 四边形 则以起点的对角线就是C A C 与的和 这种求向量和的方法 称为向量加a b 法的平行四边形法则 求两个向量差的运算称为向量的减法 它遵 2 循三角形法则 即 在空间任取一点 作 则 a A b ab A 24 实数与空间向量的乘积是一个向量 称为向量的数乘运算 当 a a 时 与方向相同 当时 与方向相反 当时 为0 a a 0 a a 0 a 零向量 记为 的长度是的长度的倍 0 a a 25 设 为实数 是空间任意两个向量 则数乘运算满足分配律及 a b 结合律 分配律 结合律 abab aa 26 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量称为共 线向量或平行向量 并规定零向量与任何向量都共线 27 向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量 的充要a 0b b ab 条件是存在实数 使 ab 28 平行于同一个平面的向量称为共面向量 29 向量共面定理 空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对 CA 使 或对空间任一定点 有 xyxy CA A A xy C A A A 6 或若四点 共面 则 A C 1xyz C xyz A 30 已知两个非零向量和 在空间任取一点 作 则a b a A b 称为向量 的夹角 记作 两个向量夹角的取值范围是 A a b a b 0 a b 31 对于两个非零向量和 若 则向量 互相垂直 记作a b 2 a b a b ab 32 已知两个非零向量和 则称为 的数量积 记a b cos a ba b a b 作 即 零向量与任何向量的数量积为零向量与任何向量的数量积为 a b cos a ba ba b 0 33 等于的长度与在的方向上的投影的乘积 a b a a b a cos ba b 34 若 为非零向量 为单位向量 则有 a b e 1cos e aa eaa e 20aba b 3 a b ab a b a b ab 与同向 与反向 2 a aa aa a 4 cos a b a b a b 5a ba b 35 向量数乘积的运算律 1 a bb a 2 aba bab 3 abca cb c 36 若 是空间三个两两垂直的向量 则对空间任一向量 存在有序i j k p 实数组 使得 称 为向量在 上 x y zpxiyjzk xi yj zk p i j k 的分量 37 空间向量基本定理 若三个向量 不共面 则对空间任一向量 a b c p 存在实数组 使得 x y zpxaybzc 38 若三个向量 不共面 则所有空间向量组成的集合是a b c 这个集合可看作是由向量 生成的 p pxaybzc x y zR a b c 7 称为空间的一个基底 称为基向量 空间任意三个不共面的 a b c a b c 向量都可以构成空间的一个基底 39 设 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量 称它们为单位 1 e 2 e 3 e 正交基底 以 的公共起点为原点 分别以 的方向为 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 e 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系 则对于空间任意一个向xyzxyz 量 一定可以把它平移 使它的起点与原点重合 得到向量 存在p p 有序实数组 使得 把 称作向量在单位 x y z 123 pxeyeze xyzp 正交基底 下的坐标 记作 此时 向量的坐标是点 1 e 2 e 3 e px y z p 在空间直角坐标系中的坐标 xyz x y z 40 设 则 111 ax y z 222 bxyz 1 121212 abxxyyzz 2 121212 abxxyyzz 3 111 axyz 4 12121 2 a bx xy yz z 若 为非零向量 则 5a b 12121 2 00aba bx xy yz z 若 则 60b 121212 ababxxyyzz 7 222 111 aa axyz 8 12121 2 222222 111222 cos x xy yz za b a b a bxyzxyz 则 9 111 x y zA 222 xyz 222 212121 dxxyyzz A A 41 在空间中 取一定点作为基点 那么空间中任意一点的位置可以用向 量来表示 向量称为点的位置向量 42 空间中任意一条直线 的位置可以由 上一个定点以及一个定方向确llA 定 点是直线 上一点 向量表示直线 的方向向量 则对于直线 上的任Ala ll 意一点 有 这样点和向量不仅可以确定直线 的位置 还可以 taA Aa l 8 具体表示出直线 上的任意一点 l 43 空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定 设这两条相交直 线相交于点 它们的方向向量分别为 为平面上任意一点 存在有 a b 序实数对 使得 这样点与向量 就确定了平面的 x yxayb a b 位置 44 直线 垂直 取直线 的方向向量 则向量称为平面的法向量 l la a 45 若空间不重合两条直线 的方向向量分别为 则aba b abab abR 0ababa b 46 若直线的方向向量为 平面的法向量为 且 则aa n a aa 0ana n aaanan 47 若空间不重合的两个平面 的法向量分别为 则 a b ab ab 0aba b 48 设异面直线 的夹角为 方向向量为 其夹角为 则有ab a b coscos a b a b 49 设直线 的方向向量为 平面的法向量为 与所成的角为 与ll n l l 的夹角为