正五边形尺规作图的画法及其他

正五边形尺规作图的画法及其他正五边形尺规作图的画法及其他 正五边形的画法 圆内接正五边形的画法如下 1 作一个圆 设它的圆心为 O 2 作圆的两条互相垂直的直径 AZ 和 XY 3 作 OY 的中点 M 4 以点 M 为圆心 MA 为半径作圆 交 OX 于点 N 5 以点 A 为圆心 AN 为半径 在圆上连续截取等弧 使弦 AB BC CD DE AN 则五边形 ABCDE 即为正五边形 以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系 以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系 用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段 从而作用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段 从而作 出整个图形 这是尺规作图中常用的一种方法出整个图形 这是尺规作图中常用的一种方法 等线段法 即用已等线段法 即用已 知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段 知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段 正多边形的尺规作图是大家感兴趣的 正三边形很好做 正四边形稍 难一点 正六边形也很好做 正五边形就更难一点 但人们也找到了 正五边形的直规作图方法 确实 有的困难一些 有的容易一些 正 七边形的尺规作图是容易一些 还是困难一些呢 人们很久很久未找 到作正七边形的办法 这一事实本身就说明作正七边形不容易 一直 未找到这种作法 也使人怀疑 究竟用尺规能否作出正七边形来 数 学不容许有这样的判断 至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方 法来 所以断言它是不能用尺规作出的 人们迅速地解决了正三 四 五 六边形的尺规作图问题 却在 正七边形面前止步了 究竟能作不能作 得不出结论来 这个悬案一 直悬而未决两千余年 17 世纪的费马 就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余 数学家 他研究了形如 Fi i 为右下角标 22i 底数 2 指数 2 的 i 次幂 1 的数 费马的一个著名猜想是 当 n 3 时 不定方程 xn yn zn 没有正整 数解 现在他又猜测 Fi 都是素数 对于 i 0 1 2 3 4 时 容易 算出来相应的 Fi F0 3 F1 5 F2 17 F3 257 F4 65 537 验证一下 这五个数的确是素数 F5 225 1 是否素数呢 仅这么 一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论 伟大的欧拉发现它竟 不是素数 因而 伟大的费马这回可是猜错了 F5 是两素数之积 F5 641 6 700 417 当然 这一事例多少也说明 判断一个较大的数是否素数也决不 是件简单的事 不然 何以需要等近百年 何以需要欧拉这样的人来 解决问题 更奇怪的是 不仅 F5 不是素数 F6 F7 也不是素数 F8 F9 F10 F11 等还不是素数 甚至 对于 F14 也能判断它不是素 数 但是它的任何真因数还不知道 至今 人们还只知 F0 F1 F2 F3 F4 这样 5 个数是素数 由于除此而外还未发现其他 素数 于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想 形如 22i 1 的素数只有有限个 但对此也未能加以证明 当然 形如 Fi 22i 1 的素数被称为费马素数 由于素数分解的 艰难 不仅对形如 Fi 22i 1 的数的一般结论很难做出 而且具体分解 某个 Fi 也不是一件简单的事 更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现 F5 不是素数之后的 60 多 年 一位德国数学家高斯 在他仅 20 岁左右之时发现 当正多边形的 边数是费马素数时是可以尺规作图的 他发现了更一般的结论 正 n 边形可尺规作图的充分且必要的条件是 n 2k 2 的 k 次幂 或 2k p1 p2 ps 1 2 s 为右下角标 其中 p1 p2 ps 是费马素数 正 7 边形可否尺规作图呢 否 因为 7 是素数 但不是费马素 数 倒是正 17 边形可尺规作图 高斯最初的一项成就就是作出了正 17 边形 根据高斯的理论 还有一位德国格丁根大学教授作了正 257 边形 就这样 一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解 决 而这一问题解决的过程是如此的蹊跷 它竟与一个没有猜对的猜 想相关连 正 17 边形被用最简单的圆规和直尺作出来了 而正多边形可以 换个角度被视为是对圆的等分 那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆 作了 17 等分 其图形更觉完美 好看 高斯本人对此也颇为欣赏 由 此引导他走上数学道路 他早期曾在语言学与数学之间犹豫过 而且 在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正 17 边形图案 高斯把问题是解决得如此彻底 以致有了高斯的定理 我们对于 早已知道如何具体作图的正三边形 正五边形 还进而知道了它们为 什么能用尺规作图 就因为 3 和 5 都是费马素数 3 F0 5 F1 对于 很久以来未找到办法来作出的正七边形 乃至于正 11 边形 正 13 边 形 现在我们能有把握地说 它们不可能由尺规作图 因为 7 11 13 都不是费