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第 11 讲 角 考点 方法 破译 1 进一步认识角 会比较角的大小 会计算角度的和差 认识度 分 秒 会进行简 单的换算 2 了解角平分线及其性质 了角余角 补角 知道等角的余角相等 等角的补角相 等 经典 考题 赏析 例例 1 如图 AOE 是直线 图中小于平角的角共有 A 7 个 B 9 个 C 8 个 D 10 个 解法指导 公共端点的两条射线组成的图形叫做角 数角注意抓住概念 表示角用 大写字母表示或希腊字母及数字表示 故选择 B 变式题组 01 在下图中一共有几个角 它们应如何表示 02 下列语句正确的是 A 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 B 两条直线相交组成的图形叫做角 C 从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 D 两条线段相交组成的图形叫做角 03 关于平角和周角的说法正确的是 A 平角是一条直线 B 周角是一条射线 C 反向延长射线 OA 就是成一个平角 D 两个锐角的和不一定小于平角 例例 2 38 33 可化为 A 38 30 3 B 38 33 C 38 30 30 D 38 19 48 解法指导 注意度 分 秒是 60 进制的 把度转化成分要乘 60 把分转化成秒要 乘 60 反之把秒化成分要除以 60 把分化成度要除以 60 把秒化成度要除以 3600 故选 择 D 变式题组 01 把下列各角化成用度表示的角 15 24 36 36 59 96 50 65 60 02 3 76 度 分 秒 3 76 分 秒 钟表在 8 30 时 分针与时针的夹角为 度 03 计算 23 45 36 66 14 24 180 98 24 30 15 50 42 3 88 14 48 4 例例 3 若 的余角与 的补角的和是平角则 解法指导 两个角的和等于 90 叫做余角 两个角的和等于 180 叫做互补 同角或 等角的余角相等 同角或等角的补角相等 解 根据题意得 90 180 180 所以 45 变式题组 01 如图所示 那么 2 与 1 2 之间的关系是 1 2 A 互补 B 互余 C 和为 45 D 和为 22 5 02 55 角的余角是 A 55 B 45 C 35 D 125 03 如果 和 互补 且 则下列表示 的余角的式子中 90 90 1 2 1 2 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 例例 4 如图 点 O 是直线 AB 上的点 OC 平分 AOD BOD 30 则 AOC 解法指导 注意找出图中角的和 差 倍 分关系 图中有 AOD BOD 180 AOD 2 AOC 解 因为 AOD 180 BOD 180 30 150 又因为 OC 平分 AOD 所以 AOC AOD 150 75 1 2 1 2 变式题组 01 如图 已知直线 AB CD 相交于点 O OA 平分 EOC EOC 100 则 BOD 等于 A 20 B 40 C 50 D 80 02 如图直线 a b 相交于点 O 若 1 40 则 2 等于 A 50 B 60 C 140 D 160 03 一束光线垂直照射水平地面 在地面上放一个平面镜 欲使这束光线经过平面镜反射 后成水平光线 则平面镜与地面所成锐角的度数为 A 45 B 60 C 75 D 80 例例 5 如图是一块手表早点 9 时 20 分的时针 分针位置关系示意图 此时时针和分针 所成的角的度数是 A 160 B 180 C 120 D 150 解法指导 角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图 并准确地把握时针 分 针的旋转一圈 12 小时 则它 1 小时转的角度为 360 30 1 分钟转过的角度为 30 1 12 0 5 分针转一圈是 1 个小时 分针每分钟转过的角度为 360 6 故选择 A 1 60 1 60 变式题组 01 钟表上 12 时 15 分 时针与分针的夹角为 A 90 B 82 5 C 67 5 D 60 02 由 2 点 15 分到 2 点 30 分 时钟的分针转过的角度是 例例 6 考点办公室设在校园中心 O 点 带队老师休息室 A 位于 O 点的北偏东 45 某 考室 B位于O 点南偏东 60 请在图中画出射线 OA OB 并计算 AOB 的度数 解法指导 此类问题紧扣方位角的概念作出射线 OA OB 是关键 解 如图 以 O 为顶点 正北方向线为始边向东旋转 45 得 OA 以 O 为顶点 正 南方向线为始边向东旋转 60 得 OB 则 AOB 180 45 60 75 变式题组 01 如图所示 某测绘装置有一枚指针 原来指向南偏西 50 把这枚指针按顺时针旋转 周 1 4 指针所指方向为 图中互余的角有 对 与 BOC 互补的角是 02 轮船航行到 C 处时 观察到小岛 B 的方向是北偏西 35 同时从 B 观察到轮船 C 的方 向是 A 南偏西 35 B 北偏西 35 C 南偏东 35 D 南偏东 55 03 如图下列说法不正确的是 A OA 的方向是东偏北 30 B OB 的方向是西偏北 60 C OC 的方向是西偏南 15 D OD 的方向是西南方向 例例 7 如图 O 是直线 AB 上一点 AOD 120 AOC 90 OE 平分 BOD 则 图中彼此互补的角共有 对 解法指导 彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可 而与位置无关 从计算相 应角的度数入手 故共有 6 对 变式题组 01 如图所示 A O B 在一条直线上 AOC BOC 30 1 2 OE 平分 BOC 则 BOE 02 如图 已知 AOB BOC COD 3 2 4 AOD 108 求 AOB BOC COD 的度数 03 如图 已知 AOB AOC 180 OP OQ 分别平分 AOB AOC 且 POQ 50 求 AOB AOC 的度数 演练巩固 反馈提高 01 已知 35 则 的余角是 A 55 B 45 C 145 D 135 02 如图直线 l1与 l2相交于点 O OM l1 若 44 则 等于 A 56 B 46 C 45 D 44 03 把一张长方形的纸片按图的方位折叠 EM FM 为折痕 折叠后的 C 点落在 MB 的 延长线上 则 EMF 的度数是 A 85 B 90 C 95 D 100 04 书店 学校 食堂在同一个平面上 分别用 A B C 表示 书店在学校的北偏西 30 食堂在学校的南偏东 15 则平面图上的 ABC 应是 A 65 B 35 C 165 D 135 05 如果 3 2 则必有 A B C D 1 2 2 3 1 3 3 4 06 某校初一年级在下午 3 00 开展 阳光体育 活动 下午 3 00 这一时刻 时针上分针 与时针所夹角等于 07 已知 AOB 30 又自 AOB 的顶点 O 引射线 OC 若 AOC AOB 4 3 那么 BOC 等于 A 10 B 40 C 45 D 70 或 10 08 已知 AOB 120 OC 在它的内部 且把 AOB 分成 1 3 那么 AOC 的度数是 A 40 B 40 或 80 C 30 D 30 或 90 09 如图所示 已知 AOB 是直角 BOC 30 OM 平分 AOC ON 平分 BOC 求 MON 的度数 如果 中 AOB 其他条件不变 求 MON 的度数 你从 的结果中 能发现什么规律 10 如图 已知 OB OC 是 AOD 内部的两条射线 OM 平分 AOB ON 平分 COD 若 AOD 70 MON 50 求 BOC 的大小 若 AOD MON 求 BOC 的大小 用字母 的式子表示 11 如图所示 已知 AOE 100 DOF 80 OE 平分 DOC OF 平分 AOC 求 EOF 的度数 12 如图所示 O 是直线 AB 上的一点 OD 是 AOC 的平分线 OE 是 COB 的平分线 求 DOE 的度数 若只将射线 OC 的位置改变 其他条件不变 那么 DOE 的度数会改变吗 13 如图 根据图回答下列问题 AOC 是哪两个角的和 AOB 是哪两个角的差 14 如图 1 2 3 4 根据图形回答问题 图中哪些角是 2 的 2 倍 图中哪些角是 3 的 3 倍 图中哪些角是 AOD 的倍 1 2 射线 OC 是哪个角的三等分线 15 如图直线 AB 与 CD 相交于点 O 那么 1 2 吗 试说明理由 培优升级 奥赛检测 01 一个角的补角的是 6 则这个角是 1 17 A 68 B 78 C 88 D 98 02 用一副三角板可以画出大于 0 且小于 180 的不同角度数有 种 A 9 种 B 10 种 C 11 种 D 12 种 03 如图 AOB 180 OD 是 COB 的平分线 OE 是 AOC 的平分线 设 BOD 则与 余角相等的是 A COD B COE C DOA D COA 04 4 点钟后 时针与分针第二次成 90 共经过 分钟 答案四舍五入到整数 A 60 B 30 C 40 D 33 05 如图 OM ON OP 分别是 AOB BOC AOC 的平分线 则下列各式中成立的是 A AOP MON B AOP MON C AOP MON D 以上情况都有可能 06 如图 AOC 是直角 COD 21 5 且 OB OD 分别是 AOC BOE 的平分线 则 AOE 等于 A 111 5 B 138 C 134 5 D 178 07 下列说法不正确的是 A 角的大小与角的边画出部分的长短无关 B 角的大小与它们的度数的大小是一至的 C 角的平分线是一条线段 D 角的和 差 倍 分的度数等于它们度数的和 差 倍 分 08 和艘轮船由 A 地向南偏西 45 的方向行驶 40 海里到达 B 地 再由 B 地向北偏西 15 方 向行驶 40 海里到达 C 地 则 A C 相距 海里 A 30 B 40 C 50 D 60 09 A 的补角是 125 12 则它的余角是 A 54 18 B 35 12 C 35 48 D 54 48 10 如果一个角等于它的余角的 2 倍 那么这个角等于它补角的 A 2 倍 B 倍 C 5 倍 D 倍 1 2 1 5 11 一个角的补角与这个角的余角的度数之比为 3 1 则这个角是 度 12 中有两个锐角和一个钝角 其数值已经给出 在计算 的值时 1 15 有三位同学分别算出了 23 24 25 这三个不同的结果 其中确有一个是正确答案 则 13 已知 AOB 50 BOD 3 AOB OC 平分 AOB OM 平分 AOD 求 MOC 的度 数 第 18 讲 二元一次方程组及其解法 考点 方法 破译 1 了解二元一次方程和二元一次方程组的概念 2 解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义 3 熟练掌握二元一次方程组的解法 经典 考题 赏析 例例 1 已知下列方程 2xm 1 3yn 3 5 是二元一次方程 则 m n 解法辅导解法辅导 二元一次方程必须同时具备三个条件 这个方程中有且只有两个未知数 含未知数的次数是 1 对未知数而言 构成方程的代数式是整式 解解 根据二元一次方程的概念可知 解得 m 2 n 2 故 m n 0 13 11 n m 变式题组变式题组 01 请判断下列各方程中 哪些是二元一次方程 哪些不是 并说明理由 2x 5y 16 2 2x y z 3 3 y 21 4 x2 2x 1 0 5 2x 10 xy 5 x 1 02 若方程 2xa 1 3 y2b 5是二元一次方程 则 a b 03 在下列四个方程组 942 1034 2 yx yx 297 124 xy yx 432 02 1 yx y x 中 是二元一次方程组的有 045 587 yx yx A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例例 2 十堰中考 二元一次方程组 的解是 52 723 yx yx A B C D 2 3 y x 2 1 y x 2 4 y x 1 3 y x 解法辅导解法辅导 二元一次方程组的解 就是它的两个方程的公共解 根据此概念 此类 题有两种解法 若方程组较难解 则将每个解中的两未知数分别带入方程组 若使方程 组都成立 则为该方程组的解 若使其中任一方程不成立 则不是该方程组的解 若方 程组较易解 则直接解方程组可得答案 本例中 方程组较易解 故可直接用加减消元法求解 本题答案选 D 变式题组变式题组 01 杭州 若 x 1 y 2 是方程 ax y 3 的解 则 a 的值是 A 5 B 5 C 2 D 1 02 盐城 若二元一次方程的一个解为 则此方程可以是 只要求 1 2 y x 写一个 03 义乌 已知 A B 互余 A 比 B 大 30 设 A B 的度数分别为 x y 下 列方程组中符合题意的是 A B C D 30 180 yx yx 30 180 yx yx 30 90 yx yx 30 90 yx yx 4 连云港 若 是二元一次方程组 的解 则 a 2b 的值为 1 2 y x 2 5 2 3 byax byax 例例 3 解方程组 1753 7 yx yx 解法辅导解法辅导 当二元一次方程组的一个方程中 有一个未知数的系数为 1 或 1 时 可选用带入法解此方程 此例中 变形得 y 7 x 将 带入 可消去 y 从而求解 解 由 得 y 7 x 将 带入 得 3x 5 7 x 17 即 35 2x 17 x 9 故此方程组的解是 2 9 y x 变式题组变式题组 1 解方程组 南京 海淀 52 42 yx yx 162 14 yx yx 花都 朝阳 52 42 yx yx 2325 53 yx yx 2 方程组的解满足 x y a 0 则 a 的值为 52 5 yx yx A 5 B 5 C 3 D 3 例例 4 解方程组 1153 32 yx yx 解法辅导解法辅导 用加减法解二元一次方程组时 要注意选择适当的 元 来消去 原则上 尽量选择系数绝对值较小的未知数消去 特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时 就选择该未知数为宜 若两系数符号相同 则相减 若系数符号相反 则相加 本题中 y 的系数绝对值之比为 5 1 5 因此可以将 5 然后再与 相家 即可消 去 y 解 5 得 y 7 x 得 13x 26 x 2 将 x 2 代入 得 y 1 此方程组的解是 1 2 y x 变式题组变式题组 01 广州 以为解的二元一次方程组是 1 1 y x A B C D 1 0 yx yx 1 0 yx yx 2 0 yx yx 2 0 yx yx 02 解下列方程组 日照 宿迁 1383 32 yx yx 1223 532 yx yx 03 临汾 已知方程组的解为 则 2a 3b 的值为 2 4 byax byax 1 2 y x A 4 B 6 C 6 D 4 04 已知 那么 x y 的值为 x y 的值为 62 52 yx yx 例例 5 已知二元一次方程组 的解满足 x y 6 求 k 的值 2434 12223 kyx kyx 解法辅导解法辅导 此题有两种解法 一中是由已给的方程组消去 k 而得一个二元一次方程 此方程与 x y 6 联立 求得 x y 的值 从而代入 或 可求得 k 的值 另一种是直接由 方程组解出 x y 其中 x y 含有 k 即用含 k 的代数式分别表示 x y 再代入 x y 6 得以 k 为未知数的一元一次方程 继而求 k 的值 解 2 得 6x 4y 4k 24 得 2x 7y 22 由 x y 6 得 2x 2y 12 得 5y 10 y 2 将 y 2 代入 x y 6 得 x 4 将 带入 得 3 4 2 2 2k 12 k 2 2 4 y x 变式题组变式题组 01 已知 与 有相同的解 则 m n 25 13 nnyx nymx 824 63 yx yx 02 方程组的解满足方程 x y a 0 那么 a 的值为 52 5 yx yx A 5 B 5 C 3 D 3 03 已知方程组的解 x 与 y 的和为 8 求 k 的值 332 23 kyx kyx 例例 6 解方程组 12 5 3 3 16 3 3 4 yxyx yxyx 解法辅导解法辅导 观察发现 整个方程组中具有两类代数式 即 x 3y 和 x y 如果 我们将这两类代数式整体不拆开 而分别当作两个新的未知数 求解则将会大大减少运算 量 当分别求出 x 3y 和 x y 的值后 再组成新的方程组可求出 x y 的值 此种方法称 为换元法 解 设 x 3y a x y b 则原方程组可变形为 1253 1634 ba ba 3 得 12a 9b 12 4 得 12a 20b 48 得 29b 0 b 0 将 b 0 代入 得 a 4 可得方程组 故原方程组的解为 0 43 yx yx 1 1 y x 变式题组变式题组 01 解下列方程组 湖北十堰 2 5 4 6 32 yxyx yxyx 5 79 10 34 yx yx 02 淄博 若方程组的解是 则方程组 9 3053 1332 ba ba 2 1 3 8 b a 的解是 9 30 1 5 2 3 13 1 3 2 4 yx yx A B C D 2 2 3 6 y x 2 1 3 8 y x 2 2 3 10 y x 2 0 3 10 y x 03 解方程组 0 12 1 22 1 1 36 2 1 1 yx xx 例例 7 第二届 华罗庚杯 香港中学邀请赛试题 已知 方程组的 22420 16 ycx byax 解应为 小明解此题时把 c 抄错了 因此得到的解是 则 a2 b2 c2 10 8 y x 13 12 y x 的值为 解法辅导解法辅导 是方程组的解 则将它代入原方程可得关于 c 的方程 由题意 10 8 y x 分析可知 是方程 ax by 16 的解 由此可得关于 a b 的又一个方程 由此 13 12 y x 三个方程可求得 a b c 的值 解 34 变式题组变式题组 01 方程组时 一学生把 a 看错后得到 而正确的解是 则 4 72 dycx yax 1 5 y x 1 3 y x a c d 的值是 A 不能确定 B a 3 c 1 d 1 C c d 不能确定 D a 3 c 2 d 2 02 甲 乙良人同解方程组 甲正确解得 乙因抄错 C 解得 23 2 yCx ByAx 1 1 y x 求 A B C 的值 6 2 y x 演练巩固 反馈提高 01 已知方程 2x 3y 5 则用含 x 的式子表示 y 是 用含 y 的式子表示 x 是 02 邯郸 已知是方程组的解 则 a b 1 1 y x 24 1 byx byax 03 若 x y 2 5x 7y 2 0 则 x y 04 已知是二元一次方程组的解 则 a b 的值为 1 2 y x 14 7 byx byax 05 若 x3m n y2n m 3 是二元一次方程 则 m n 06 关于 x 的方程 m2 4 x2 m 2 x m 1 y m 5 当 m 时 它是一元一次 方程 当 m 时 它是二元一次方程 07 苏州 方程组的解是 574 973 yx yx A B C D 1 2 y x 7 3 2 y x 7 3 2 y x 7 3 2 y x 08 杭州 已知是方程 2x ay 3 的一个解 那么 a 的值是 1 1 y x A 1 B 3 C 3 D 1 09 苏州 方程组的解是 52 1 yx yx A B C D 2 1 y x 3 2 y x 1 2 y x 1 2 y x 10 山东 若关于 x y 的二元一次方程组的解也是二元一次方程 3x 3y 6 kyx kyx 9 5 的解 则 k 的值为 A B C D 4 3 4 3 3 4 3 4 11 怀柔 已知方程组的解为 求的值为多少 4 2 byax byax 2 3 y x ba ba 2 2 12 解方程组 滨州 青岛 22 622 yx yx 4 1943 yx yx 5 3 2 5 3 18 6 3 7 3 2 6 yx xy 13 已知方程组和方程组的解相同 求代数式 3a 7b 的值 1653 652 yx yx 8 4 aybx byax 14 已知方程组的解 x 与 y 的和为 8 求 k 的值 332 23 kyx kyx 15 希望杯试题 m 为正整数 已知二元一次方程组有整数解 求 m2的 023 102 yx ymx 值 培优升级 奥赛检测 01 当 k b 为何值时 方程组 2 13 xky bkxy 有唯一一组解 无解 有无穷多组解 02 当 k m 的取值符合条件 时 方程组至少有一组解 4 12 xky mkxy 03 已知 m 是整数 方程组有整数解 求 m 的值 266 634 myx yx 04 若 4x 3y 6z 0 x 2y 7z 0 xyz 0 则式子的值等于 222 222 1032 25 zyx zyx A B C 15 D 13 2 1 2 19 05 信利杯赛题 已知 三个数 a b c 满足 ba ab 3 1 ca bc 4 1 ac ca 5 1 则的值为 cabcab abc A B C D 6 1 12 1 15 2 20 1 06 广西赛题 已知 满足方程 2x 3y 4m 11 和 3x 2y 5m 21 的 x y 满足 x 3y 7m 20 那么 m 的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 07 广西赛题 若 a b 1 与 a b 1 2互为相反数 则 a 与 b 的大小关系是 A a b B a b C a b D a b 08 华罗庚杯 竞赛题 解方程组 1999 1 1999199821 1999199819981997433221 xxxx xxxxxxxxxx 09 全国竞赛湖北赛区试题 方程组的解的组数为 6 12 yx yx A 1 B 2 C 3 D 4 10 对任意实数 x y 定义运算 x y ax by 其中 a b 为常数 符号右边的运算是通常 意义的加乘运算 已知 1 2 5 且 2 3 8 则 4 5 的值为 A 20 B 18 C 16 D 14 11 北京竞赛题 若 a b 都是正整数 且 143a 500b 2001 则 a b 12 华杯赛题 当 m 5 4 3 1 0 1 3 23 124 1000 时 从等式 2m 1 x 2 3m y 1 5m 0 可以得到 10 个关于 x 和 y 的二元一次方程 问这 10 个方程有无公共解 若有 求出这些公共解 13 下列的等式成立 x1x2 x2x3 x3x4 x99 x100 x100 x101 x101 x1 1 求 x1 x2 x100 x101的值 第 19 讲 实际问题与二元一次方程组 考点 方法 破译 1 逐步形成方程思想 进一步适应列方程 组 解决实际问题的新思路 2 学会用画图 列表等途径分析应用题的方法 3 熟练掌握各类应用题中的基本数量关系 4 学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系 并依此列出方程组 经典 考题 赏析 例 1 甲 乙两地相距 160 千米 一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行 1 小 时 20 分钟相遇 相遇后 拖拉机继续前进 汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回 在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机 这时 汽车 拖拉机各自走了多少千米 解法指导 1 画出直线型示意图理解题意 2 本题有两个未知数 汽车的行程和拖拉机的行程 有两个相等关系 相向而行 汽车行驶小时的路程 拖拉机行驶的路程 160 千米 同向而行 汽车行驶小 1 1 3 1 1 3 1 2 时的路程 拖拉机行驶 1 小时的路程 1 2 3 本题的基本数量关系有 路程 速度 时间 解 设汽车的速度为每小时 x 千米 拖拉机的速度为每小时 y 千米 根据题意 得 解这个方程组 得 1 1 160 3 11 1 22 xy xy 90 30 x y 11 90 1 165千米 32 11 30 1 1 85千米 32 答 汽车走了 65 千米 拖拉机走了 85 千米 变式题组 01 A B 两地相距 20 千米 甲从 A 地向 B 地前进 同时乙从 B 地向 A 地前进 2 小时后 二人在途中相遇 相遇后 甲返回 A 地 乙仍向 A 地前进 甲回到 A 地时 乙离 A 地 还有 2 千米 求甲 乙二人的平均速度 02 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地 如果他开车以每小时 50 千米的速度行驶 就 会迟到 24 分钟 如果以每小时 75 干米的速度行驶 那么可提前 24 分钟到达乙地 求 甲 乙两地间的距离 03 某铁路桥长 1000m 现有一列火车从桥上通过 测得该火车从开始上桥到完全过桥共 用了 1min 整列火车完全在桥上的时间共 40s 求火车的速度和长度 例 2 一项工程甲单独做需 12 天完成 乙单独做需 18 天完成 计划甲先做若干天 后离去 再由乙完成 实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去 然后由乙单独承担 而乙完成任务的时间恰好是计划时间的 2 倍 则原计划甲 乙各做多少天 解法指导 由甲 乙单独完成所需的时间可以看出甲 乙两人的工作效率 设总 工作量为 1 则甲每天完成 乙每天完成 1 12 1 18 2 若总工作量没有具体给出 可以设总工作量为单位 1 然后由时间算出工作效率 最后利用 工作量 工作效率 x 工作时间 列出方程 解 设原计划甲做 x 天 乙做 y 天 则有 解方程组 得 11 1 1218 111 21 12218 xy xy 答 原计划甲做 8 天 乙做 6 天 8 6 x y 变式题组 01 一批机器零件共 1100 个 如果甲先做 5 天后 乙加入合做 再做 8 天正好完成 如果 乙先做 5 天后 甲加入合做 再做 9 天也恰好完成 问两人每天各做多少个零件 02 为北京成功申办 2008 奥运会 顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造 若请甲工程 队单独做此项工程需 3 个月完成 每月要耗资 12 万元 若请乙工程队单独做此项工程 需 6 个月完成 每月要耗资 5 万元 若甲 乙两工程队合做这项工程 需几个月完成 耗资多少万元 因种种原因 有关领导要求最迟 4 个月完成此项工程 请你设计一种方案 既保证 按时完成任务 又最大限度节省资金 时间按整月计算 例 3 古代有这样一个寓言故事 驴子和骡子一同走 它们驮着不同袋数的货物 每袋货物都是一样重的 驴子抱怨负担太重 骡子说 你抱怨干吗 如果你给我一袋 那 我所负担的就是你的两倍 如果我给你一袋 我们才恰好驮的一样多 那么驴子原来所 驮货物的袋数是多少 解法指导 找出本题中的等量关系为 骡子的袋数 1 2 驴子的袋数 1 驴子 的袋教 1 骡子的袋数 1 解 设骡子所驮货物有 x 袋 驴子有 y 袋 则依题意可得 解这个 12 1 11 xy xy 方程组 得 答 驴子原来所驮货物有 7 袋 7 5 x y 变式题组 01 第一个容器有水 44 升 第二个容器有水 56 升 若将第二个容器的水倒满第一个容器 那么第二个容器剩下的水是该容器的一半 若将第一个容器的水倒满第二个容器 那 么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一 求两个容器的容量 02 呼市 一千零一夜 中有这样一段文字 有一群鸽子 其中一部分在树上欢歌 另一 部分在地上觅食 树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说 若从你们中飞上来一只 则 树下的鸽子就是整个鸽群的 若从树上飞下去一只 则树上 树下的鸽子就一样多 1 3 了 你知道树上 树下各有多少只鸽子吗 例 4 某车间加工螺钉和螺母 当螺钉和螺母恰好配套 一个螺钉配一个螺母 时就可 以运进库房 若一名工人每天平均可以加工螺钉 120 个或螺母 96 个 该车间共有工人 81 名 问应怎样分配人力 才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房 解法指导 这里有两个未知数 生产螺钉的人数和生产螺母的人数 有两个相等关 系 1 生产螺钉的人数 生产螺母的人数 总人数 81 名 2 每天生产的螺钉数 每天生产的螺母数 解 设生产螺钉的工人有 x 名 生产螺母的工人有 y 名 根据题意 得 解方程组 得 81 12096 xy xy 36 45 x y 答 有 36 名工人生产螺钉 有 45 名工人生产螺母 才能使每天生产出来的零件及时包装 运进库房 变式题组 01 某车间有 28 名工人生产某种螺栓和螺母 每人每天能生产螺栓 12 个或螺母 18 个 为 了合理分配劳力 使生产的螺栓和螺母配套 一个螺栓套两个螺母 则应分配多少人 生产螺栓 多少人生产螺母 02 木工厂有 28 人 2 个工人一天可以加工 3 张桌子 3 个工人一天可以加工 10 把椅子 现在如何安排劳动力 使生产的一张桌子与 4 把椅子配套 03 现有 190 张铁皮做盒子 每张铁皮做 8 个盒身或做 22 个盒底 一个盒身与两个盒底配 成一个完整的盒子 问用多少张铁皮制盒身 多少张铁皮制盒底 可以正好制成一批 完整的盒子 例 5 一名学生问老师 你今年多大 老师风趣地说 我像你这样大时 你才出 生 你到我这么大时 我已经 37 岁了 请问老师今年多少岁 学生今年多少岁 解法指导 如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健 也是难点 本题中 老师的两句话分别蕴含着两个等量关系 其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等 师生过去的年龄差 师生现在的年龄差 师生将来的年龄差 可列表帮助分析 解 设现在老师 x 岁 学生 y 岁 依题可列方程组 37 370 xyx xy 解此方程组得答 老师今年 25 岁 学生今年 12 岁 25 13 x y 变式题组 01 甲 乙两人聊天 甲对乙说 当我的岁数是你现在的岁数时 你才 4 岁 乙对甲说 当我的岁数是你现在的岁数时 你将 61 岁 同学们 你能算出这两人现在各是多 少岁吗 试试看 02 6 年前 A 的年龄是 B 的 3 倍 现在 A 的年龄是 B 的两倍 A 现在的年龄是 A 12 岁B 18 岁C 24 岁D 30 岁 03 甲对乙风趣地说 我像你这样大岁数的那年 你才 2 岁 而你像我这样大岁数的那年 我已经 38 岁了 甲 乙两人现在的岁数分别为 例 6 威海 汶川大地震发生后 各地人民纷纷捐款捐物支援灾区 我市某企业向灾 区捐助价值 94 万元的 A B 两种账篷共 600 顶 已知 A 种帐篷每顶 1700 元 B 种帐篷每顶 1300 元 则 A B 两种帐篷各多少顶 解法指导 本题等量关系有两个 A 种帐篷数 B 种帐篷数 600 1700 A 种帐篷 数 1300 B 种帐篷数 若设 A B 两种帐篷数分别为 x y 即可得方程组 解 设 A 种帐篷有 x 顶 B 种帐篷有 y 顶 依题意可列方程组 解这个方程组可得 答 A 种帐篷 400 顶 B 600 17001300940000 xy xy 400 200 x y 种帐篷 200 顶 过去现在将来 师yx37 生0yx 差y 0 x y37 x 变式题组 01 桂林 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 104 吨 准备加工后上市销售 该公司加工该种蔬莱 的能力是 每天可以精加工 4 吨或粗加工 8 吨 现计划用 16 天正好完成加工任务 则该 公司应安排几天精加工 几天粗加工 02 济南 教师节来临之际 群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花 每 束由 4 支鲜花包装而成 其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花 同 一种鲜花每支的价格相同 请你根据第一 二束鲜花提供的信息 求出第三束鲜花的价 格 03 云南 在 家电下乡 活动期间 凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售 价 13 的财政补贴 村民小李购买了一台 A 型洗衣机 小王购买了一台 B 型洗衣机 两人一共得到财政补贴 351 元 又知 B 型洗衣机售价比 A 型洗衣机售价多 500 元 求 1 A 型洗衣机和 B 型洗衣机的售价各是多少元 2 小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元 例 7 已知有三块牧场 场上的草长得一样快 它们的面积分别为公顷 10 公 1 3 3 顷和 24 公顷 第一块牧场可供 12 头牛吃 4 个星期 第二块牧场可供 21 头牛吃 9 个星期 试 问第三块牧场可供多少头牛吃 18 个星期 解法指导 此题涉及的草量有三种 一是牧场原有生长的草量 二是每周新长出的 草量 三是每头牛每周吃掉的草量 分析相等关系时要注意草量 供 与 销 之间的关 系 第一块牧场 原有草量 4 周长出的草量 12 头牛 4 周吃掉的草量 第二块牧场 原有草量 9 周长出的草量 21 头牛 9 周吃掉的草量 第三块牧场 原有草量 18 周长出的草量 头牛 18 周吃掉的草量 解 设牧场每公顷原有草 x 吨 每公项每周新长草 y 吨 每头牛每周吃草 a 吨 依题意 得 1010 4412 33 10109921 xya xya 解这个关于 x y 的二元一次方程组 得 10 8 0 9 xa ya 设第三块牧场 18 周的总草量可供 z 头牛吃 18 个星期 则 24241824 10 80 918 36 头 1818 xyaa z aa 答 第三牧场可供 36 头牛吃 18 个星期 变式题组 01 某江堤边一洼地发生了管涌 江水不断地涌出 假定每分钟涌出的水量相等 如果用 两台抽水机抽水 40 分钟可抽完 如果用 4 台抽水机抽水 16 分钟可抽完 若想尽快 处理好险情 将水在 10 分钟内抽完 那么至少需要抽水机多少台 02 山脚下有一池塘 山泉以固定的流量 即单位时间里流入池中的水量相同 不停地向池 塘内流淌 现池塘中有一定深度的水 若用一台 A 型抽水机则 1 小时后正好能把池塘 中的水抽完 若用两台 A 型抽水机则要 20 分钟正好把池塘中的水抽完 若用三台 A 型抽 水机同时抽 则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完 演练巩固 反馈提高 一 填空 01 将一摞笔记本分给若于名同学 每个同学 6 本 则剩下 9 本 每个同学 8 本 又差了 3 本 则这一摞笔记本共 本 02 一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7 如果这个两位数加上 45 则恰好组成这 个个位数字与十位数字对调后的两位数 则这个两位数是 03 现有食盐水两种 一种含盐 12 另一种含盐 20 分别取这两种盐水 akg 和 bkg 将其配成 16 的盐水 100kg 则 a b 04 在 2006 2007 西班牙足球甲级联赛中 凭借最后几轮的优异成绩 皇家马德里队最终 夺得了冠军 已知联赛积分规则是 胜一场得 3 分 平一场得 1 分 负一场得 0 分 皇 家马德里队在最后 12 场比赛中共得到 31 分 且平 负场次相同 那么皇家马德里队 最后 12 场比赛中共胜了 场 05 重庆 含有同种果蔬但浓度不同的 A B 两种饮料 A 种饮料重 40 千克 B 种饮料重 60 千克 现从这两种饮料中各倒出一部分 且倒出部分的重量相同 再将每种饮料所倒 出的部分与另一种饮料余下的部分混合 如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同 那么从每种饮料中倒出的相同的重量是 千克 06 已知乙组人数是甲组人数的一半 若将乙组人数的调入甲组 则甲组比乙组人数多 1 3 15 人 则甲 乙两组的人数分别为 07 小明家去年节余 5000 元 估计今年节余 9500 元 并且今年收人比去年提高 15 支 出比去年降低 10 则小明家去年的收人为 元 支出为 元 二 选择题 08 某次数学知识竞赛共出了 25 道试题 评分标准如下 答对 1 题加 4 分 答错 1 题扣 1 分 不答记 0 分 已知李明不答的题比答错的题多 2 道 他的总分为 74 分 则他答对了 A 18 题B 19 题C 20 题D 21 题 09 甲 乙两地相距 120km 一艘轮船往返两地 顺流时用 5h 逆流时用 6h 这艘轮船在 静水中航行的速度和水流速度分别为 A 22km h 2km h B 20km h 4km h C 18km h 6km h D 26km h 2km h 10 看图 列方程组 上图是 龟兔赛跑 的片断 假设乌龟和兔子在跑动时 均保持匀速 乌龟的速度为 v1米 小时 兔子的速度为 v2米 小时 则下面的方程组正确的是 A B 21 2 20010 51000 vv v 12 1 20010 51000 vv v C D 21 1 20010 51000 vv v 12 2 20010 51000 vv v 11 用白铁皮做罐头盒 每张铁皮可制盒身 10 个或制盒底 40 个 一个盒身与两个盒底配 成一个罐头盒 现有 120 张白铁皮 设用 x 张制盒身 y 张制盒底 则可得方程组 A B C D 以上都 120 4016 xy xy 120 1080 xy xy 120 40210 xy yx 不对 12 甲乙两人练习跑步 如果乙先跑 10 米 甲跑 5 秒就可追上乙 如果乙先跑 2 秒 甲跑 4 秒就可追上乙 设甲的速度为 x 米 秒 乙的速度为 y 米 秒 则可列出的方程组为 A B C D 5105 46 yx yx 5510 46 xy xy 5105 46 xy xy 5510 46 yx yx 三 解答题 13 贺州 福林制衣厂现有 24 名制作服装的工人 每天都制作某种品牌的衬衫和裤子 每 人每天可制作这种衬衫 3 件或裤子 5 条 1 若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等 则应各安排多少人制作衬衫和裤子 2 已知制作一件衬衫可获得利润 30 元 制作一条裤子可获得利润 16 元 若该厂要求 每天获得利润 2100 元 则需要安排多少名工人制作衬衫 14 晋江 2010 年春季我国西南大旱 导致大量农田减产 下图是一对农民父子的对话内 容 请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克 15 长沙 5 l2 汉川大地震后 灾区急需大量帐篷 某服装厂原有 4 条成衣生产线和 5 条童装生产线 工厂决定转产 计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾区 若启用 1 条成衣生产线和 2 条童装生产线可以生产帐篷 105 顶 若启用 2 条成衣生产线和 3 条童 装生产线 一天可以生产帐篷 178 顶 1 每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶 工厂满负荷全面转产 是否可以如期完成任务 如果你是厂长 你会怎样体现你的社 会责任感 培优升级 奥赛检测 01 第十七届江苏省竟赛题 美国篮球巨星乔丹在一场比赛中 24 投 14 中 拿下 28 分 其 中三分球三投全中 那么乔丹两分球投中 球 罚球投中 球 02 甲 乙分别自 A B 两地同时相向步行 2 小时后在途中相遇 相遇后 甲 乙步行速 度都提高了 1 千米 时 当甲到达 B 地后立刻按原路向 A 地返回 当乙到达 A 地后也 立刻按原路向 B 地返回 甲 乙两人在第一次相遇后 3 小时 36 分钟又再次相遇 则 A B 两地的距离是 千米 03 武汉市选拔赛试题 某人家的电话号码是八位数 将前四位数组成的数与后四位数组 成的数相加得 14405 将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16970 求此人 家的电话号码 04 第 17 届 希望杯 邀请赛试题 放成一排的 2005 个盒子中共有 4010 个小球 其中最 左端的盒子中放了 a 个小球 最右端的盒子放了 b 个小球 如果任意相邻的 12 个盒子 中的小球共有 24 个 则 A a b 2 B a b 1 C a 1 b 2B a 2 b 1 05 广西竞赛题 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游 如果每辆车坐 22 人 就会余下 1 人 如果开走一辆空车 那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车 问 原先去 租多少辆客车和学校师生共多少人 已知每辆车的容量不多于 32 人 06 河南省竞赛题 司机小李驾车在公路上匀速行驶 他看到里程碑上的数是两位数 1 小 时后 看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数 再过 1 小时后 第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数 这三块里程碑上的数各是多少 07 第 17 届江苏省竞赛题 某城市有一段马路需要整修 这段马路的长不超过 3500 米 今有甲 乙 丙三个施工队 分别施工人行道 非机动车道和机动车道 他们于某天零 时同时开工 每天 24 小时连续施工 若干天后的零时 甲完成任务 几天后的 18 时 乙 完成任务 自乙队完成的当天零时起 再过几天后的 8 时 丙完成任务 已知三个施工 队每天完成的施工任务分别为 300 米 240 米 180 米 问这段路面有多长 08 首届江苏省 数学文化节 能力素质挑战题 如图 长方形 ABCD 中放置 9 个形状 大小都相同的小长方形 尺寸如图 求图中阴影部分的面积 09 第 9 届 华杯赛 决赛试题 某次数学竞赛前 60 名获奖 原定一等奖 5 人 二等奖 15 人 三等奖 40 人 现调为一等奖 10 人 二等奖 20 人 三等奖 30 人 调整后一等奖平 均分数降低 3 分 二等奖平均分数降低 2 分 三等奖平均分数降低 1 分 如果原来二等 奖比三等奖平均分数多了 7 分 求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分 10 已知 x 2 y 1 z 3 是三元一次 程组的解 求 7 2325 m xnyz nxym x xyzk m2 7n 3k 的值 11 希望杯 邀请赛 购买铅笔 7 支 作业本 3 本 圆珠笔 1 支 共需 3 元 而购买铅 笔 10 支 作业本 4 本 圆珠笔 1 支共需 4 元 则购买铅笔 11 支 作业本 5 本 圆珠 笔 2 支共需多少元钱 12 四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点 且三角形 ABC BCD CDA DAB 的面积为 x u y z A BD C O 5 9 10 6 求三角形 OAB OBC OCD ODA 的面积 13 重庆竞赛 某校七年级的新生男女同学的比例为 8 7 一年后收转学生 40 名 男女同 学的比例变为 17 15 到九年级时 原校学生有转学来的 统计知净增 10 名 此时男女 同学的比例为 7 6 问 该校在七年级时招收的新生中 各招了男女同学多少名 注 该校 七年级新生人数不超过 1000 人 第 20 讲 三元一次方程组和一元一次不等式组 考点 方法 破译 1 了解三元一次方程组和它的解的概念 2 会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题 3 了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集 4 会解一元一次不等式和一元一次不等式组 并会进行一些简单的应用 经典 考题 赏析 例 解方程组 27 5322 34416 xy xyz xyz 解法指导 观察发现 本方程组共有两个三元一次方程 一个二元一次方程 解三 元一次方程组的基本思想是消元 将其转化为二元一次方程组来求解 因此 根据本题特 点有两种主要思路 一是代入法 将 分别代入 消去 y 从而得到一个以 x z 为未 知数的二元一次方程组 二是由 用加减法消去 z 得一个以 x y 为未知数的方程 再与 联系 得一个二元一次方程组 解 方法 由 得 y 2x 7 将 代入 得 5x 3 2x 7 3z 2 即 11x 3z 23 将 代入 得 3x 4 2x 7 4z 16 即 5x 4z 12 解二元一次得 11323 5412 xz xz 2 1 2 x z 将 x 2 代入 得 y 3 原方程组的解为 2 3 1 2 x y z 方法 2 得 10 x 6y 4z 4 得 13x 2y 20 解方程组 得 27 13220 xy xy 2 3 x y 将代入 得 2 3 x y 1 2 z 原方程组的解为 2 3 1 2 x y z 变式题组 1 解下列议程组 1 26 218 xy xyz xzy 27 328 344 xy yz xz 5 3 7 2 234 x y x z xyz 2 解方程组 并且 mx 2y z1994 10 求 m 的值 8 6 4 xy yz xz 例 2 北京时间 2006 年 1 月 23 日 科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的 挑战 在比赛中 科比全场 46 投 28 中 罚篮命中率高达 90 疯狂砍下职业生涯最高分 81 分 其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了 3 分 最终湖人队以 122 104 获胜 科比的 81 分超越了近 20 年来乔丹 69 分的得分记录 也成为继张伯伦 1962 年 3 月 2 日对阵纽约尼克斯砍下的 NBA 单场最高得分记录 100 分之后 联盟历史上 排名第二的单场个人最高分 在篮球比赛中 三分球每投中一个加 3 分 除此之外其他的 投篮每投中一个加 2 分 若是对方犯规 罚球每中一个 加 1 分 且在计算命中率时 罚 球是单独计算的 不计入总的出手次数 那么通过上面的这则新闻 你能算出科比投中的 三分球 二分球和罚球分别是多少个吗 解法指导 列方程组解决实际问题时 关键是找出题中的等量关系 注意找全所有 的等量关系 然后适当设出未知数 列出各个方程组成方程组 本题中 等量关系有 3 个 科比全场共得 81 分 科比 46 投 28 中 即他的三分球和二分球总共中了 28 次 罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了 3 分 即三分球和罚球的分数之和比 二分球得分少 3 分 利用这三点就很容易建立方程组求解 解 设科比投中 x 个二分球 y 个三分球 z 个罚球 依题意得 解得 L 2381 28 323 xyz xy yzx 21 7 18 x y z 变式题组 1 某车间每天可以生产甲种零件 600 个或乙种零件 300 个或丙种零件 500 个 这三种零件 各一个可以配成一套 现要在 63 天的生产中 使生产的三种零件全部配套 这个车间 应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套 2 2003 年全国足球甲 A 联赛的前 12 轮 场 比赛后 前三各比赛成绩如下表 胜 场 平 场 负 场 积分 大连实德队 82226 上海申花队 65123 北京现代队 57022 问每队胜一场 平一场 负一场各得多少分 例 3 下列各命题 是真命题的有 若 a b 则 a b 0 若 a b 则 ac2 bc2 若 ac bc 则 a b 若 ac2 bc2 则 a b 若 a b 则 3a 3b 若 a b 则 3a 1 3b 1 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解法指导 不等式的三条性质 是解决有关不等式的命题的重要依据 深入透彻理 解不等式的三条性质的真实内涵 是判断上述各命题的关键 第 题是直接运用不等式的 性质 1 完全正确 第 题是将不等式 a b 的两边同乘以 c2 但 c2 0 当 c2 0 时 ac2 bc2 故本题不对 第 题是将 ac bc 的两边同除 c 得到 a b 虽然条件知 c 0 但 c 可正可负 当 c 0 时 a b 就不成立 故本题不对 第 题由条件 ac2 bc2知 c2 0 因而 c2 0 故本题正确 第 题中 设 a b 两边同乘以 3 满足性质 2 故正确 第 题 中由 a b 得 3a 3b 因而 3a 1 3b 1 因此不对 本小题运用了性质 3 和性质 1 解 C 变式题组 1 下列各命题 正确的有 若 a b 0 则 a b 若 a b 则 ac bc 若 则 a b 若 a b 则 ab cc 22 ab cc 若 a b 则 若 a b 则 a2 ab 22 11 ab mm A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 关于 x 的不等式 m2 1 x m2 1 解集是 若关于 x 的不等式 m 1 x m 1 的解集是 x 1 则 m 满足的条件是 3 若关于 x 的不等式 2a b x 3a b 的解集是 x 则关于 x 的不等式 2ax 3b 的解 7 3 集是多少 例 4 解不等式组并把解集在数轴上表示出来 159104 13 1 7 22 xx x

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