三角函数总结大全(整理好的)

1 三角函数三角函数 一 任意角的三角函数及诱导公式 一 任意角的三角函数及诱导公式 1 任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 一条射线由原来的位置 绕OA 着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置 就形成角 旋转开始时的射线叫做角的始边 叫终边 OOB OAOB 射线的端点叫做叫的顶点 O 为了区别起见 我们规定 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角 如果一条 射线没有做任何旋转 我们称它形成了一个零角 2 象限角 终边相同的角 区间角 角的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负半轴重合 那么 角的终边 除端点外 在第几象限 我们就说这x 个角是第几象限角 要特别注意 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 称为非象限角 终边相同的角是指与某个角 具有同终边的所有角 它们彼此相差 2k k Z 即 2k k Z 根据三角函数的定义 终边相同的角的各种三角函数值都相等 区间角是介于两个角之间的所有角 如 6 6 5 6 6 5 3 弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角 记作 1 或 1 弧度 或 1 单位可以省略不写 rad 角有正负零角之分 它的弧度数也应该有正负零之分 如 2 等等 一般地 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是 0 角的正负主要由角的旋转方向来决定 角的弧度数的绝对值是 其中 l 是圆心角所对的弧长 是半径 r l r 角度制与弧度制的换算主要抓住 弧度与角度互换公式 1rad 57 30 57 18 180rad 180 1 0 01745 rad 弧长公式 是圆心角的弧度数 扇形面积公式 180 rl 2 2 1 2 1 rrlS 4 三角函数的定义 以角的顶点为坐标原点 始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系 在角的终边上任取一个异于原 点的点 点 P 到原点的距离记为 那么 yxP 2222 0 r rxyxy 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 sin y r cos x r tan y x cot x y sec r x csc r y 利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 P x y 1 叫做的正弦 记做 即 y sin siny 2 叫做的余弦 记做 即 x cos cosx 3 叫做的正切 记做 即 y x tan tan 0 y x x 5 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 三角函数的符号 由三角函数的定义 以及各象限内点的坐标的符号 我们 可以得知 正弦值对于第一 二象限为正 y r 对于第三 四象限为负 0 0yr 0 0yr sin cos tan cot 2 余弦值对于第一 四象限为正 对于第二 三象限为负 x r 0 0 xr 正切值对于第一 三象限为正 同号 对于第二 四象0 0 xr y x x y 限为负 异号 说明 若终边落在轴线上 则可用定义求出三角函数值 x y 6 三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法 利用三角函数线在解决比较三角函数值大小 解三角方程及三角不等式等问题时 十分方便 以坐标原点为圆心 以单位长度 1 为半径画一个圆 这个圆就叫做单位圆 注意 这个单位长度不一定就是 1 厘 米或 1 米 当角为第一象限角时 则其终边与单位圆必有一个交点 过点作轴交轴于点 P x yPPMx xM 根据三角函数的定义 sin MPy cos OMx 我们知道 指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 当角的终边不在坐标轴时 以为始点 为终点 规定 OM 当线段与轴同向时 的方向为正向 且有正值 当线段与轴反向时 的方向为负向 OMxOMxOMxOM 且有负值 其中为点的横坐标 这样 无论那种情况都有xxPcosOMx 同理 当角的终边不在轴上时 以为始点 为终点 xMP 规定 当线段与轴同向时 的方向为正向 且有正值 当线段与轴反向时 的方向为MPyMPyMPyMP 负向 且有负值 其中为点的横坐标 yyP 这样 无论那种情况都有 像这种被看作带有方向的线段 叫做有向线段 sinMPy MPOM 如上图 过点作单位圆的切线 这条切线必然平行于轴 设它与的终边交于点 请根据正切函数的定 1 0 Ay T 义与相似三角形的知识 借助有向线段 我们有OAAT tan y AT x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 分别叫做角的正弦线 余弦线 正切线 统称为三角MPOMAT 函数线 6 同角三角函数关系式 sin2 cos2 1 平方关系 tan 商数关系 tan cot 1 倒数关系 cos sin 使用这组公式进行变形时 经常把 切 割 用 弦 表示 即化弦法 这是三角变换非常重要的方法 几个常用关系式 sin cos sin cos sin cos 三式之间可以互相表示 同理可以由 sin cos 或 sin cos 推出其余两式 7 诱导公式 可用十个字概括为 奇变偶不变 符号看象限 诱导公式一 其中 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 sin 2 sink cos 2 cosk kZ 诱导公式二 sin 180 sin cos 180 cos 诱导公式三 sin sin cos cos O x y a角的终 边 PT MA 3 诱导公式四 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 sin 180 sin cos 180 cos 诱导公式五 sin 360 sin cos 360 cos 2 Zkk 2 2 sin sin sin sin sin sin cos coscos cos cos cos cos sin 1 要化的角的形式为 为常整数 180k k 2 记忆方法 奇变偶不变 符号看象限 3 sin k 1 ksin cos k 1 kcos k Z 4 sincoscos 444 xxx cossin 44 xx 二 三角函数的图像与性质 二 三角函数的图像与性质 1 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x y tanx 3 2 2 3 2 2 o y x y cotx 3 2 2 2 2 o y x 2 三角函数的定义域 值域及周期如下表 函数定义域值域周期 sinyx R 1 1 2 cosyx R 1 1 2 tanyx 2 x xkkZ R 3 三角函数的单调区间 4 的递增区间是 递减区间是 xysin 2 2 2 2 kk Zk 2 3 2 2 2 kk Zk 的递增区间是 递减区间是 xycos kk22 Zk kk22 Zk 的递增区间是 xytan 22 kk Zk 4 对称轴与对称中心 的对称轴为 对称中心为 sinyx 2 xk 0 kkZ 的对称轴为 对称中心为 cosyx xk 2 0 k 对于和来说 对称中心与零点相联系 对称轴与最值点联系 sin yAx cos yAx 5 函数BxAy sin 其中00 A 最大值是 最小值是 周期是 频率是 相位是 初相是 其图象的对BA AB 2 T 2 f x 称轴是直线 凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心 2 Zkkx By 6 由 y sinx 的图象变换出 y sin x 的图象一般有两个途径 只有区别开这两个途径 才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时 提倡先平移后伸缩 但先伸缩后平移也经常出现 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头无论哪种变形 请切记每一个变换总 是对字母 x 而言 即图象变换要看 变量 起多大变化 而不是 角变化 多少 途径一 先平移变换再周期变换 伸缩变换 先将 y sinx 的图象向左 0 或向右 0 平移 个单位 再将图象上各点的横坐标变为原来的倍 0 1 便得 y sin x 的图象 途径二 先周期变换 伸缩变换 再平移变换 先将 y sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的倍 0 再沿 x 轴向左 0 或向右 0 平移个单位 1 便得 y sin x 的图象 三角函数图象的平移和伸缩三角函数图象的平移和伸缩 函数的图象与函数的图象之间可以通过变化来相互转化 sin yAxk sinyx Ak 影响图象的形状 影响图象与轴交点的位置 由引起的变换称振幅变换 由引起的变换称周期 A k xA 变换 它们都是伸缩变换 由引起的变换称相位变换 由引起的变换称上下平移变换 它们都是平移变换 既可 k 以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移 变换方法如下 先平移后伸缩先平移后伸缩 的图象得 sinyx 向左 0 或向右 0 平移个单位长度 sin yx 的图象得 sin yx 横坐标伸长 0 1 1 到原来的纵坐标不变 sin yx 的图象得 sin yx AA A 纵坐标伸长 1 或缩短 0 c b c a c a b a b c b c b 3 边与角关系 正弦定理 R 为外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 c2 a2 b2 2bccosC b2 a2 c2 2accosB a2 b2 c2 2bccosA 它们的变形形式有 a 2R sinA b a B A sin sin bc acb A 2 cos 222 5 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注意三角形自身的特点 1 角的变换 因为在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 2 三角形边 角关系定理及面积公式 正弦定理 余弦定理 r 为三角形内切圆半径 p 为周长之半 3 在 ABC 中 熟记并会证明 A B C 成等差数列的充分必要条件是 B 60 ABC 是正三角 形的充分必要条件是 A B C 成等差数列且 a b c 成等比数列 角度 函数 sincostancotseccsc 0010 1 8 15 302 4511 602 75 9010 0 1 105 120 2 135 1 1 1502 165 1800 10 1 195 210 2 22511 240 2 255 270 10 0 1 4 26 4 26 32 32 26 26 2 3 2 1 3 3 3 3 32 2 2 2 2 22 2 3 2 1 3 3 3 3 32 4 26 4 26 32 32 26 26 4 26 4 62 23 32 26 26 2 3 2 1 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3