历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

历年全国理科数学高考试题精选历年全国理科数学高考试题精选 2011 年高考试题年高考试题 1 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如 右图所示 则相应的俯视图可以为 2 已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球面上 且 则棱锥ABCDO6 2 3ABBC 的体积为 OABCD 3 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四 边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 4 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 D E 分别为的边 AB AC 上的点 且不与的顶点重合 已知 AE 的长为ABC ABC m AC 的长为 n AD AB 的长是关于 x 的方程的两个根 2 140 xxmn I 证明 C B D E 四点共圆 II 若 且求 C B D E 所在圆的半90A 4 6 mn 径 1 D 2 8 3 3 解 因为 由余弦定理得 60 2DABABAD 3BDAD 从而 BD2 AD2 AB2 故 BDAD 又 PD底面 ABCD 可得 BDPD 所以 BD平面 PAD 故 PABD 如图 以 D 为坐标原点 AD 的长为单位长 射线 DA 为轴的正半轴建立空间直角坐标系 D 则xxyz 1 0 0A 03 0B 1 3 0C 0 0 1P 1 3 0 0 3 1 1 0 0 ABPBBC uu u vuuvuu u v 设平面 PAB 的法向量为 n x y z 则 0 0 n AB n PB uu u r uu u r 即 30 30 xy yz 因此可取 n 3 1 3 设平面 PBC 的法向量为 m 则 m0 m0 PB BC uu u r uuu r 可取 m 0 1 3 42 7 cos 72 7 m n 故二面角 A PB C 的余弦值为 2 7 7 4 解 I 连接 DE 根据题意在 ADE 和 ACB 中 AD AB mn AE AC 即 又 DAE CAB 从而 ADE ACB AB AE AC AD 因此 ADE ACB 所以 C B D E 四点共圆 m 4 n 6 时 方程 x2 14x mn 0 的两根为 x1 2 x2 12 故 AD 2 AB 12 取 CE 的中点 G DB 的中点 F 分别过 G F 作 AC AB 的垂线 两垂线相交于 H 点 连接 DH 因为 C B D E 四点共圆 所以 C B D E 四点所在圆的圆心为 H 半径为 DH 由于 A 900 故 GH AB HF AC HF AG 5 DF 12 2 5 2 1 故 C B D E 四点所在圆的半径为 52 2010 年高考试题年高考试题 1 正方体 ABCD 中 B与平面 AC所成角的余弦值为 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 2 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为俩切点 那么的最小值为PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 3 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 4 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD底面 ABCD AB DC ADDC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 1 D 2 D 3 B 4 解法一 连接 BD 取 DC 的中点 G 连接 BG 由此知 即为直角三角形 故 1 DGGCBG ABC BCBD 又 ABCD BCSDSD 平面故 所以 BC 平面BD S BCD E 作 BK EC EDCSBCK 为垂足 因平面平面 故与平面 SBC 内的两条相交直线 BK BC 都垂直 BKEDCBKDE DE 平面 DE 平面 SBC DE EC DE SB 22 6SBSDDB 2 3 SD DB DE SB A 22 62 6 33 EBDBDESESB EB 所以 SE 2EB 由知 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 故为等腰三角形 ADE 取中点 F 连接 则 EDAF 22 6 3 AFDE AFADDF 连接 则 FG FGEC FGDE 所以 是二面角的平面角 AFG ADEC 连接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角的大小为 120 ADEC 解法二 以 D 为坐标原点 射线为轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系 DAxDxyz 设 A 1 0 0 则 B 1 1 0 C 0 2 0 S 0 0 2 0 2 2 1 1 0 SCBC 设平面 SBC 的法向量为 n a b c 由 得 nSC nBC 0 0n SCn BC AA 故 2b 2c 0 a b 0 令 a 1 则 b c c 1 n 1 1 1 又设 则SEEB 0 2 111 E 2 0 2 0 111 DEDC 设平面 CDE 的法向量 m x y z 由 得 mDE mDC 0mDE 0mDC 故 2 0 20 111 xyz y 令 则 2x 2 0 m 由平面 DEC 平面 SBC 得 m n 0 20 2m n A 故 SE 2EB 由 知 取 DE 的中点 F 则 2 2 2 3 3 3 E 1 1 1211 3 3 3333 FFA 故 由此得0FA DE AFADE 又 故 由此得 2 42 3 33 EC 0EC DE AECDE 向量与的夹角等于二面角的平面角FA EC ADEC 于是 1 cos 2 FA EC FA EC FA EC A 所以 二面角的大小为ADEC 120 2009 年高考试题年高考试题 1 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面上的射影为的中点 则异面直线 111 ABCABC 1 AABCBC 与所成的角的余弦值为 AB 1 CC A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 2 已知二面角为 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为 Q 到 的距离为l 60o3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 2 3 A B 2 C D 42 3 3 直三棱柱的各顶点都在同一球面上 若 则此球的表 111 ABCABC 1 2ABACAA 120BAC 面积等于 4 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥中 底面为矩形 底面 SABCD ABCDSD ABCD 点 M 在侧棱上 60 2AD 2DCSD SCABM I 证明 M 在侧棱的中点SC II 求二面角的大小 SAMB 1 解 设的中点为 D 连结D AD 易知即为异面直线与BC 1 A 1 A AB AB 所成的角 由三角余弦定理 易知 1 CC 故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 2 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 连PDlD 于 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当 即重合时取最小值 故答案选 C 0AP AP点与点 3 解 在中 可得 由正弦定理 可得外接圆半径 r 2ABC 2ABAC 120BAC 2 3BC ABC 设此圆圆心为 球心为 在中 易得球半径 故此球的表面积为 O ORT OBO 5R 2 420R 解法一 解法一 I 作 交于点 E 则 平面 SADMECDSDMEABME 连接 AE 则四边形 ABME 为直角梯形 作 垂足为 F 则 AFME 为矩形MFAB 设 则 MEx SEx 222 2 2AEEDADx 2 2 2 2MFAExFBx 由 2 tan60 2 23 2 MFFBxx 得 解得1x 即 从而1ME 1 2 MEDC 所以为侧棱的中点MSC 又 所以为等边三角形 22 2MBBCMC 60 2ABMAB ABM 又由 知 M 为 SC 中点 故2 6 2SMSAAM 222 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G 连结 BG 取 SA 中点 H 连结 GH 则 由此知为二面角 BGAM GHAM BGH 的平面角SAMB B C B C A1 1 1 A D 连接 在中 BHBGH 22 31222 3 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角的大小为SAMB 6 arccos 3 解法二解法二 以 D 为坐标原点 射线 DA 为 x 轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 设 则 2 0 0 A 2 2 0 0 2 0 0 0 2 BCS 设 则 0 SMMC 2222 0 2 1111 MMB 又 0 2 0 60ABMB AB 故 cos60MBABMBAB 即 222 422 2 111 解得 即1 SMMC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 II 由 得 AM 的中点 0 1 1 2 0 0 MA 2 1 1 22 2 G 又 2 31 0 1 1 2 1 1 222 GBMSAM 0 0GBAMMSAM 所以 GBAM MSAM 因此等于二面角的平面角 GB MSSAMB 6 cos 3 GB MS GB MS GBMS 所以二面角的大小为SAMB 6 arccos 3 2008 年高考试题年高考试题 1 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面内的射影为的中心 则 111 ABCABC 1 AABCABC 与底面所成角的正弦值等于 1 ABABC A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 2 等边三角形与正方形有一公共边 二面角的余弦值为 M N 分别是ABCABDEABCABD 3 3 AC BC 的中点 则 EM AN 所成角的余弦值等于 3 本小题满分 12 分 四棱锥中 底面为矩形 侧面底面 ABCDE BCDEABC BCDE2BC 2CD ABAC 证明 ADCE 设与平面所成的角为 求二面角的大小 CEABE45 CADE C D E A B 1 B 2 答案 1 6 3 解 I 作 AO BC 垂足为 O 连接 OD 由题设知 AO 底面 BCDE 且 O 为 BC 中点 由知 Rt OCD Rt CDE 2 1 DE CD CD OC 从而 ODC CED 于是 CE OD 由三垂线定理知 AD CE II 由题意 BE BC 所以 BE 侧面 ABC 又 BE侧面 ABE 所以侧面 ABE 侧面 ABC 作 CF AB 垂足为 F 连接 FE 则 CF 平面 ABE 故 CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角 CEF 45 由 CE 得 CF 63 又 BC 2 因而 ABC 60 所以 ABC 为等边三角形 作 CG AD 垂足为 G 连接 GE 由 I 知 CE AD 又 CE CG C 故 AD 平面 CGE AD GE CGE 是二面角 C AD E 的平面角 CG 3 2 6 22 AD CDAC GE 6 3 10 6 52 2 1 22 CE AD DEADDE cos CGE 10 10 3 10 3 2 2 6 3 10 3 4 2 222 GECG CEGECG 所以二面角 C AD E 为 arccos 10 10 解法二 I 作 AO BC 垂足为 O 则 AO 底面 BCDE 且 O 为 BC 的中点 以 O 为坐标原点 射线 OC 为 x 轴正向 建立如图所示的直角坐标系 O xyz 设 A 0 0 t 由已知条件有 C 1 0 0 D 1 0 E 1 0 22 2 1 0 2 2 tADCE 所以 得 AD CE0 ADCE II 作 CF AB 垂足为 F 连接 FE 设 F x 0 z 则 x 1 0 z CF 0 0 2 0 BECFBE 故 CF BE 又 AB BE B 所以 CF 平面 ABE CEF 是 CE