有关二次函数考题解析

1 10 有关二次函数考题解析有关二次函数考题解析 1 本小题本小题 10 分分 已知二次函数 y ax2 bx c 若 a 2 c 3 且二次函数的图象经过点 1 2 求 b 的值 若 a 2 b c 2 b c 且二次函数的图象经过点 p 2 求证 b 0 若 a b c 0 a b c 且二次函数的图象经过点 q a 试问自变量 x q 4 时 二次函数 y ax2 bx c 所对应的函数 值 y 是否大于 0 并证明你的结论 解析 1 当 2 a 3 c 时 二次函数为 32 2 bxxy 该函数的图象经过点 2 1 3 1 1 22 2 b 解得 1 b 2 分 2 当 2 a 2 cb 时 二次函数为 22 2 bbxxy 该函数的图象经过点 2 p 222 2 bbpp 即 02 2 bbpp 于是 p 为方程02 2 bbxx的根 判别式 0 8 8 2 bbbb 又 2 cb cb 2 bb 即 1 b 有 08 b 0 b 5 分 3 二次函数 cbxaxy 2 的图象经过点 aq 0 2 acbqaq q为方程0 2 acbxax的根 于是 判别式 0 4 2 caab 又 0 cba 0 3 4 4 2 cababbabb 又 0 cba 且 cba 知 0 a 0 c 03 ca 2 10 0 b q 为方程0 2 acbxax的根 a abbb q 2 4 2 或a abbb q 2 4 2 当 4 qx 时 cqbqay 4 4 2 cbbqaaqaq 4168 2 baaqbaaqacbqaq41584158 2 若a abbb q 2 4 2 则 abbaba a abbb ay4415415 2 4 8 2 2 0 ba 222 544aaaaabb aabb54 2 aabb5444 2 0 5415 5415 aaay 若a abbb q 2 4 2 则 04415415 2 4 8 2 2 abbaba a abbb ay 当 4 qx 时 二次函数 cbxaxy 2 所对应的函数值 y 大于 0 10 分 2 本小题本小题 10 分分 已知抛物线 y ax2 bx c 的定点坐标为 2 4 试用含 a 的代数式分别表示 b c 若直线 y kx 4 k 0 与 y 轴及该抛物线的交点依次为 D E F 且 其中 O 为坐标原点 试用含 a 的代数式 1 3 ODE OEF S S A A 表示 k 在 的条件下 若线段 EF 的长 m 满足 试确3 23 5m 定 a 的取值范围 解 I 由已知 可设抛物线的顶点式为 0 4 2 2 axay 3 10 即444 2 aaxaxy 2 分444 acab II 设 E F 11 yx 22 yx 由方程组 444 4 2 aaxaxy kxy 消去 y 得 04 4 2 axkaax a ka xx 4 21 4 21 xx 又 4 1 3 1 ODF ODE OEF ODE S S S S 即 4 1 DF DE 4 1 2 1 x x 4 12 xx 由 知 x1与 x2同号 x2 4x1 5 分 由 得 x1 1 x2 4 x1 1 x2 4 将上面数值代入 得5 4 a ka 解得 k a 或 k 9a 经验证 方程 的判别式 0 成立 k a 或 k 9a7 分 III 由勾股定理 得 2 12 2 12 2 yyxxm 而9 2 12 xx 由 得44 2211 kxykxy 22 12 22 12 9 kxxkyy 即8 分 1 9 22 km 2 13km 由已知5323 m 即512 2 k41 2 k 或21 k12 k 4 10 当 k a 时 有 1 a 2 或 2 a 1 当 k 9a 时 有 1 9 2 或 2 9a 1 即或10 分 9 1 9 2 a 9 2 9 1 a 3 本小题10分 已知关于x的一元二次方程有两个实数根 且满足 xcbxx 2 21 x x0 1 x 1 12 xx 1 试证明 0 c 2 证明 2 2 2 cbb 3 对于二次函数 若自变量取值为 其对应的函数值cbxxy 2 0 x 为 则当时 试比较与的大小 0 y 10 0 xx 0 y 1 x 解 1 将已知的一元二次方程化为一般形式 即0 1 2 cxbx 是该方程的两个实数根 21 x x 1 分 1 21 bxxcxx 21 而 2 分 01 0 121 xxx0 c 2 3 分 21 2 12 2 12 4 xxxxxx 1424 1 22 cbbcb 4 分 1 12 xx1 2 12 xx 于是 即1142 2 cbb042 2 cbb 5 分 2 2 2 cbb 3 当时 有 10 0 xx 10 xy cbxxy 0 2 0011 2 1 xcbxx 7 分 1 2 10 2 010 cbxxcbxxxy 1010 bxxxx 10 0 xx 0 10 xx 5 10 又 1 12 xx1 12 xx12 121 xxx 1 21 bxx12 1 1 xb 于是 9 分 02 1 bx 10 0 xx 0 10 bxx 由于 0 10 xx0 10 bxx 即0 1010 bxxxx0 10 xy 当时 有 10 分 10 0 xx 10 xy 4 本小题 10 分 已知抛物线cbxaxy 23 2 若1 ba 1 c 求该抛物线与x轴公共点的坐标 若1 ba 且当11 x时 抛物线与x轴有且只有一个公共点 求c的 取值范围 若0 cba 且0 1 x时 对应的0 1 y 1 2 x时 对应的0 2 y 试判 断当10 x时 抛物线与x轴是否有公共点 若有 请证明你的结论 若没有 阐述理由 解 当1 ba 1 c时 抛物线为123 2 xxy 方程0123 2 xx的两个根为1 1 x 3 1 2 x 该抛物线与x轴公共点的坐标是 1 0 和 1 0 3 2 分 当1 ba时 抛物线为cxxy 23 2 且与x轴有公共点 对于方程023 2 cxx 判别式c124 0 有c 3 1 3 分 当 3 1 c时 由方程0 3 1 23 2 xx 解得 3 1 21 xx 此时抛物线为 3 1 23 2 xxy与x轴只有一个公共点 1 0 3 4 分 当 3 1 c时 1 1 x时 ccy 123 1 6 10 1 2 x时 ccy 523 2 由已知11 x时 该抛物线与x轴有且只有一个公共点 考虑其对称轴为 3 1 x 应有 1 2 0 0 y y 即10 50 c c 解得51c 综上 3 1 c或51c 6 分 对于二次函数cbxaxy 23 2 由已知0 1 x时 0 1 cy 1 2 x时 023 2 cbay 又0 cba babacbacba 22 23 于是02 ba 而cab 02 caa 即0 ca 0 ca 7 分 关于x的一元二次方程023 2 cbxax的判别式 0 412 4124 222 accaaccaacb 抛物线cbxaxy 23 2 与x轴有两个公共点 顶点在x轴下方 8 分 又该抛物线的对称轴 a b x 3 由0 cba 0 c 02 ba 得aba 2 3 2 33 1 a b 又由已知0 1 x时 0 1 y 1 2 x时 0 2 y 观察图象 可知在10 x范围内 该抛物线与x轴有两个公共点 10 分 5 本小题 10 分 已知函数 2 12 yxyxbxc 为方程 12 0yy 的两个根 点 1MT 在函数 2 y的图象上 O y x 1 7 10 若 11 32 求函数 2 y的解析式 在 的条件下 若函数 1 y与 2 y的图象的两个交点为AB 当 ABM 的面积为 1 12 时 求t的值 若01 当01t 时 试确定T 三者之间的大小关系 并说明理由 解 2 1212 0yxyxbxcyy 2 10 xbxc 1 分 将 11 32 分别代入 2 10 xbxc 得 22 1111 1010 3322 bcbc 解得 11 66 bc 函数 2 y的解析式为 2 y 2 51 66 xx 3 分 由已知 得 2 6 AB 设ABM 的高为h 3 121 21212 ABM SAB hh 即 1 2 144 h 根据题意 2tTh 由 2 11 66 Ttt 得 2 511 66144 tt 当 2 511 66144 tt 时 解得 12 5 12 tt 当 2 511 66144 tt 时 解得 34 5252 1212 tt t 的值为 5 52 52 121212 6 分 由已知 得 222 bcbcTtbtc 8 10 Tttb Tttb 22 bcbc 化简得 10b 01 得0 10b 有1010bb 又01t 0tb 0tb 当0ta 时 T 当t 时 T 当1t 时 T 10 分 6 本小题 10 分 在平面直角坐标系中 已知抛物线与 轴交于点 点 2 yxbxc xAB 在点的左侧 与轴的正半轴交于点 顶点为 AByCE 若 求此时抛物线顶点的坐标 2b 3c E 将 中的抛物线向下平移 若平移后 在四边形ABEC 中满足 S BCE S ABC 求此时直线的解析式 BC 将 中的抛物线作适当的平移 若平移后 在四边形 ABEC 中 满足 S BCE 2S AOC 且顶点恰好落在直线上 求此时抛物线的解析式 E43yx 解 解 当 时 抛物线的解析式为 即2b 3c 2 23yxx 2 1 4yx 抛物线顶点的坐标为 1 4 E 2 分 将 中的抛物线向下平移 则顶点在对称轴上 有 E1x 2b 抛物线的解析式为 2 2yxxc 0c 此时 抛物线与轴的交点为 顶点为 y0 Cc 1 1 Ec 9 10 方程的两个根为 2 20 xxc 1 11xc 2 11xc 此时 抛物线与 轴的交点为 x110 Ac 110 Bc 如图 过点作 EF CB 与 轴交于点 连接 则 S BCE S ExFCF BCF S BCE S ABC S BCF S ABC 2 1BFABc 设对称轴与 轴交于点 1x xD 则 1 3 1 2 DFABBFc 由 EF CB 得 EFDCBO Rt EDF Rt COB 有 EDCO DFOB 结合题意 解得 1 3 111 cc cc 5 4 c 点 5 4 0 C 5 2 0 B 设直线的解析式为 则BCymxn 解得 5 4 5 0 2 n mn 1 2 5 4 m n 直线的解析式为 BC 15 24 yx 6 分 根据题意 设抛物线的顶点为 则抛物线的 E h k 0h 0k 解析式为 2 yxhk 此时 抛物线与轴的交点为 y 2 0 Chk 与 轴的交点为 x0 A hk 0 B hk 0kh 过点作 EF CB 与 轴交于点 连接 则 S BCE S BCF 由 S ExFCF BC