三角函数学习中的几个“小技巧大突破

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 三角函数学习中的几个 小技巧 大突破 冯广东 摘要 从近几年高考数学试卷统计情况看 三角函数是高考的六大板块之一 每年考一道 大题和一道小题 而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题 所以 高中生应该注意三 角函数知识里面的容易被忽略的一些小问题 小技巧 关健词 三角函数 给值求角 比较大小 解三角形 一 已知三角函数值求角 问题 在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑 1 给出一个三角函数值可能对应着多个 或无数个角 不知道该先求哪个角 2 不能准确的写出已知要求的那个范围的角 下面以 四个例题说明 例 1 已知且 求的取值集合 2 2 sin x 2 2 xx 例 2 已知且 求的取值集合 2 2 sin x 2 2 xx 例 3 已知且 求的取值集合 2 2 sin x 2 0 xx 例 4 已知 求的取值集合 2 2 sin xx 此类问题在处理时 不管已知的三角函数值是正数还是负数 我们都可以暂时把它看 作正数 目的是为了找到看作正数后相对应的那个锐角 然后我们可以利用 或 或或处理一下 就求出了相对应的区间 2 2 2 3 内符合题意的角了 如果满足条件的角可以有无数个 那么我们把刚 2 2 3 0 2 才求出来的角 就可以了 2Zkk 下面我们按以上思路来解决以上四个例题 例 1 解 令 为锐角 则 又且 且 2 2 sin 4 0 2 2 sin x1 2 2 x 所以满足条件的角在内 所以的取值集合为 2 0 x 4 例 2 解 令 为锐角 则 又且 且 2 2 sin 4 0 2 2 sin x1 2 2 x 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 所以满足条件的角在内 所以 所以的取值集合为 0 2 4 xx 4 例 3 解 令 为锐角 则 又且 且 2 2 sin 4 0 2 2 sin x1 2 0 x 所以满足条件的角在 内 所以或 2 3 2 2 3 4 5 x 4 7 2 x 所以的取值集合为 x 4 7 4 5 例 4 解 由上面例 2 和例 3 可得答案为 或 4 5 2 kxx 4 7 2Zkkx 或者答案也可以为 或 4 5 2 kxx 4 2Zkkx 二 利用三角函数的单调性比较大小 问题 在教学中通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可 但是 学生在实际操作过程中容易混淆单调区间 不如我们把此类问题中的自变量利用诱导公式 负角化为正角 正角统一都化为锐角 这样就更简洁 明朗了 因为正弦 余弦 正切函 数在区间内的单调性依次为 单调递增 单调递减 单调递增 学生是非常熟悉 2 0 的 例如 比较与的大小 4 13 tan 5 17 tan 解 4 tan 4 tan 4 5 tan 4 5 2tan 4 13 tan 4 13 tan 5 2 tan 5 2 tan 5 7 tan 5 7 2tan 5 17 tan 5 17 tan 因为在内单调递增 且 所以 xytan 2 0 5 2 4 5 2 tan 4 tan 所以 即 5 2 tan 4 tan 5 17 tan 4 13 tan 三 利用正 余弦定理解三角形 问题 在 中 设角 的对边长分别为 ABCABCabc 正弦定理 为 的外接圆半径 r C c B b A a 2 sinsinsin rABC 余弦定理 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 定理的内容以及变形学生们一般都能记住 但是遇到具体问题时到底该用哪个定理 有的学生就拿不准了 下面我们来探讨这个问题 首先我们要清楚解三角形问题中三角形 的三个角和三条边六个元素至少得已知三个 而且这三个已知的元素中至少得有一条边 这样我们才可以解这个三角形 那么我们就可以以已知条件中边的条数将此类问题进行分类 1 已知 一边两角 实际上第三个角也知道了 用正弦定理 因为这条边肯定是已知角的对边 2 已知 两边一对角 用正弦定理 已知 两边一夹角 用余弦定理 3 已知 三边 用余 弦定理 当然 有时在一道题目中正 余弦定理都可以用 我们选择其一就可以了 另外 如果已知条件允许的话 我们尽量去求三角形内角的余弦值 这是因为在三角 形中余弦值可以把锐角 直角 钝角分的清清楚楚 余弦值为正 角为锐角 余弦值为负 角为钝角 余弦值为 0 角为直角 而正弦值分不清锐角和钝角 最后别忘了三角形中 内角和等于 大边对大角 大角对大边 两边之和 180 大于第三边 三角形面积公式 射影定理 已知两边一对角时 可能两解 一解 无解 等 下面我们来看一些例题 例 1 在 中 已知求 保留两个有效数字 ABC 30 45 10 CAcb 分析 已知形式为 一边两角 所以用正弦定理 解 105 3045 180 180 sinsin CAB C c B b 19 30sin 105sin10 sin sin C Bc b 例 2 在 中 已知求 精确到 和 保留两个有效ABC 40 28 20 AbaB 1c 数字 分析 已知形式为 两边一对角 所以用正弦定理 而且可能两解 一解 无解 解 8999 0 20 40sin28sin sin a Ab B 116 64 21 BBAB 当时 64 1 B 76 4064 180 180 11 ABC 30 40sin 76sin20 sin sin 1 1 A Ca c 当时 116 2 B 24 40116 180 180 22 ABC 13 40sin 24sin20 sin sin 2 2 A Ca c 例 3 在 中 已知解这个三角形 边长保留四ABC 2882 696 3 730 2 Cba 个有效数字 角度精确到 1 分析 已知形式为 两边一夹角 所以用余弦定理 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 解 由 得 22222 2882cos696 3 730 2 2696 3 730 2 cos2 Cabbac 297 4 c 7767 0 297 4 696 3 2 730 2 297 4 696 3 2 cos 222222 bc acb A 239 A 3058 2882239 180 180 CAB 例 4 在 中 已知求 精确到 ABC