函数图像知识点梳理

1 函数的图像函数的图像 考纲说明考纲说明 1 掌握基本函数的图象的特征 能熟练运用基本函数的图象解决问题 2 掌握图象的作法 描点法和图象变换法 知识梳理知识梳理 一 函数的图像 1 作图方法 描点法和利用基本函数图象变换作图 作函数图象的步骤 确定函数的定义域 化简函数的解 析式 讨论函数的性质即单调性 奇偶性 周期性 最值 甚至变化趋势 描点连线 画出函数的图象 2 识图 分布范围 变化趋势 对称性 周期性等等方面 二 函数图像的变化 1 平移变换 1 水平平移 函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或 yf xa yf x x 0 a 向右平移个单位即可得到 0 a a 2 竖直平移 函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平 yf xa yf x x 0 a 0 a 移个单位即可得到 a y f x y f x h y f x y f x h h左移 h右移 y f x y f x h y f x y f x h h上移 h下移 2 对称变换 1 函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到 yfx yf x y 2 函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到 yf x yf x x 3 函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到 yfx yf x 4 函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到 1 yfx yf x yx y f x y f x y f x y f x y f x y f 2a x y f x y f 1 x 轴x 轴y ax 直线xy 直线 y f x y f x 原点 提示 a 若f a x f b x x R R 恒成立 则y f x 的图象关于x 成轴对称图形 若f a x a b 2 2 f b x x R R 则y f x 的图象关于点 0 成中心对称图形 a b 2 b 函数y f a x 与函数y f b x 的图象关于直线x b a 对称 1 2 3 翻折变换 1 函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方 yf x yf x xxx 去掉原轴下方部分 并保留的轴上方部分即可得到 x yf x x 2 函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留 yfx yf x yyy 在轴右边部分即可得到 yf x y y f x cba o y x y f x cb a o y x y f x cb a o y x 4 伸缩变换 1 函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 yaf x 0 a yf x 或压缩 为原来的倍得到 1 a 01a a 2 函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩 yf ax 0 a yf x 1 a 为原来的倍得到 01a 1 a y f x y f y f x y f x x x y 经典例题经典例题 例 1 函数与的图像如下图 则函数的图像可能是 yf x yg x yf xg x y f x o y x y g x o y x 3 o y x o y x o y xo y x ABCD 解析 函数的定义域是函数与的定义域的交集 图像不 yf xg x yf x yg x 0 0 经过坐标原点 故可以排除 C D 由于当 x 为很小的正数时且 故 选 A 0f x 0g x 0f xg x 例 2 说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像 2xy 3 21 x y 解析 方法一 1 将函数的图像向右平移 3 个单位 得到函数的图像 2xy 3 2xy 2 作出函数的图像关于轴对称的图像 得到函数的图像 3 2xy y 3 2 x y 3 把函数的图像向上平移 1 个单位 得到函数的图像 3 2 x y 3 21 x y 方法二 1 作出函数的图像关于轴的对称图像 得到的图像 2xy y2 x y 2 把函数的图像向左平移 3 个单位 得到的图像 2 x y 3 2 x y 3 把函数的图像向上平移 1 个单位 得到函数的图像 3 2 x y 3 21 x y 例 3 设曲线的方程是 将沿轴 轴正方向分别平移 个单位长度后得到曲线C 3 yxx Cxyts 0 t 1 C 1 写出曲线的方程 1 C 2 证明曲线与关于点对称 C 1 C 2 2 ts A 3 如果曲线与有且仅有一个公共点 证明 C 1 C 2 4 t st 解析 1 曲线的方程为 1 C 3 yxtxts 4 2 证明 在曲线上任意取一点 设是关于点的对称点 则有C 111 B x y 222 B xy 1 BA 代入曲线的方程 得的方程 1212 2222 xxtyys 1212 xtxysy C 22 xy 3 222 sytxtx 即可知点在曲线上 3 222 yxtxts 222 B xy 1 C 反过来 同样证明 在曲线上的点的对称点在曲线上 1 CAC 因此 曲线与关于点对称 C 1 CA 3 证明 因为曲线与有且仅有一个公共点 C 1 C 方程组有且仅有一组解 3 3 yxx yxtxts 消去 整理得 这个关于的一元二次方程有且仅有一个根 y 223 33 0txt xtts x 即得 43 912 0tt tts 3 44 0t tts 因为 所以 0t 3 4 t st 例 4 1 试作出函数的图像 1 yx x 2 对每一个实数 三个数中最大者记为 试判断是否是的函数 若是 作出其图像 讨x 2 1x xx yyx 论其性质 包括定义域 值域 单调性 最值 若不是 说明为什么 解析 1 为奇函数 从而可以作出时的图像 又 时 1 f xx x f x0 x f x0 x 2f x 时 的最小值为 2 图像最低点为 1x f x 1 2 又 在上为减函数 在上是增函数 f x 0 1 1 x y O x y O O x y 5 同时即以为渐近线 1 0 f xxx x x yx 于是时 函数的图像应为下图 图象为图 0 x f x 2 是的函数 作出的图像可知 的图像是图 中实线部分 定义yx 2 123 1g xx gxx gxx f x 域为 值域为 单调增区间为 单调减区间为 当时 函数有最R 1 1 0 1 1 0 1 1x 小值 1 函数无最大值 例 5 已知函数f x x2 4x 3 1 求函数f x 的单调区间 并指出其增减性 2 若关于x的方程f x a x至少有三个不相等的实数根 求实数a的取值范围 解析 作出图象如图所示 1 递增区间为 1 2 3 递减区间为 1 2 3 2 原方程变形为 x2 4x 3 x a 于是 设y x a 在同一坐标系下再作出y x a的图象 如图 则当直线y x a过点 1 0 时a 1 当直线y x a与抛物线y x2 4x 3 相切时 由 Error x2 3x a 3 0 由 9 4 3 a 0 得a 3 4 由图象知当a 1 时方程至少有三个不等实根 3 4 例 6 作图 1 y a x 1 2 y log 3 y loga x 1 a 1 x 1 a 解析 1 的变换是 y ax y a x y a x 1 而不是 y ax y ax 1 y a x 1 这需要理解好y f x y f x 的交换 2 题同 1 3 与 2 是不同的变换 注意区别 课堂练习课堂练习 1 下列每组两个函数的图象中 正确的是 6 1 y logax y ax 1 1 1 o y x y ax 1 y ax 1 1 o y x y ax y ax 1 1 o y x y ax 1 y ax 1 1 o y x A B C D 2 已知函数 f x x 1 a a 0 a 1 在同一坐标系中 y f 1 x 与 y a x 1 的图象只可能是 A 1 1 1o y x B 1 1 1o y x C 1 1 1o y x D 1 1 1o y x 3 在下列图象中 二次函数 y ax2 bx 与指数函数 y 的图象只可能是 x a b A 1 1 1o y x B 1 1 1o y x C 1 1 1o y x D 1 1 1o y x 4 已知函数 y a x 与 y ax2 bx 则下列图象正确的是 A o y x B o y x C o y x D o y x 5 函数 y 的图象是 1 2 x A o y x B o y x C o y x D o y x 6 函数 y 3x 1 x 2 的图象 A 关于点 2 3 对称 B 关于点 2 3 对称 C 关于直线 x 2 对称 D 关于直线 y 3 对称 7 若第一个函数 y f x 它的反函数是第二个函数 又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线 x y 0 对称 那么第三个函数的图象是 A y f 1 x B y f 1 x C y f x D y f x 8 设函数 y f x 定义在实数集上 则函数 y f x 1 与 y f 1 x 的图象关于 对称 A 直线 x 0 B 直线 x 1 C 点 0 0 D 点 1 0 9 在以下四个按对应图象关系式画出的略图中 不正确的是 A y log2x B y 2 x C y log0 5x2 D y x 1 3 7 o y x o y x o y x o y x 10 已知函数 y f x 的图象如图 则 y f 1 x 的图象是 1 1 1o y x A 1 1 1o y x B 2 1 1o y x C 1 1 1o y x D 1 1 1o y x 11 下列命题中 函数 y f x 的图象与 x f y 的图象关于直线 y x 对称 若 f x f x 则 f x 的图象关于原 点对称 若 f x f x 则 f x 的图象关于 y 轴对称 y f x 的图象与 y f x 的图象关于 y 轴对称 其中真命题 是 A B C D 全都是 12 把函数 y cosx 的图象向右平移 1 2 个单位 再把图象上点的横坐标缩小到原来的 1 2 所得图象的解析式为 13 画出下列函数的图象 1 y lg x 1 2 y x 2 x 3 14 若函数 y log2 ax 1 图象的对称轴是 x 2 则非零实数 a 的值为 15 函数 y f x m 的图象与 y f x 的图象关于直线 对称 16 将函数 y f x 的图象向右平移 2 个单位 再把图象上点的横坐标变为原来的 1 3 所得图象的解析式为 17 如下图所示 向高为的水瓶同时以等速注水 注满为止 H A B C D A B C D 1 若水深与注水时间 的函数图象是下图中的 则水瓶的形状是 hta 2 若水量与水深的函数图像是下图中的 则水瓶的形状是 vhb 3 若水深与注水时间 的函数图象是下图中的 则水瓶的形状是 htc 4 若注水时间 与水深的函数图象是下图中的 则水瓶的形状是 thd t h v ht h t h a b c d 12 o y x 8 18 已知 f x ax3 bx2 cx d 的图象如图所示 则 b 的取值范围是 19 说出作出函数 y log2 1 x 的图象的过程 20 方程 x2 2x 3 a x 2 有四个实数根 求实数 a 的取值范围 课后作业课后作业 1 函数 y ln的图象为 1 2x 3 2 下列函数的图像中 经过平移或翻折后不能与函数 y log2x 的图象重合的函数是 A y 2x B y log x C y D y log2 1 1 2 4x 2 1 x 3 若函数 f x 在 4 上为减函数 且对任意的 x R 有 f 4 x f 4 x 则 A f 2 f 3 B f 2 f 5 C f 3 f 5 D f 3 f 6 4 2009 安徽 设 a b 函数 y x a 2 x b 的图象可能是 5 已知下图 的图象对应的函数为 y f x 则图 的图象对应的函数在下列给出的四式中 只可能是 A y f x B y f x C y f x D y f x 6 函数 f x 的图象是 1 1 x 7 已知函数 f x 的定义域为 a b 函数 y f x 的图象如下图所示 则函数 f x 的图象大致是 9 8 若对任意 x R 不等式 x ax 恒成立 则实数 a 的取值范围是 A a 1 B a 1 C a 1 D a 1 9 f x 定义域为 R 对任意 x R 满足 f x f 4 x 且当 x 2 时 f x 为减函数 则 A f 0 f 1 f 5 B f 1 f 5 f 0 C f 5 f 0 f 1 D f 5 f 1 f 0 10 若函数 y 1 x m 的图像与 x 轴有公共点 则 m 的取值范围是 1 2 11 若直线 y x m 和曲线 y 有两个不同的交点 则 m 的取值范围是 1 x2 12 设函数 f x g x 的定义域分别为 F G 且 F G 若对任意的 x F 都有 g x f x 则称 g x 为 f x 在 G 上 的一个 延拓函数 已知函数 f x x x 0 若 g x 为 f x 在 R 上的一个延拓函数 且 g x 是偶函数 则函数 1 2 g x 的解析式为 10 参考答案参考答案 课堂练习课堂练习 1 D 2 C D 3 A 4 C 5 C 6 A 7 D 8 D 9 C 10 C 11 C 12 y cos 2x 1 2 设 P1 x1 y1 为原图象上的点 通过变换后得到新图象上一点 P x y 则 x x1 1 2 2 x1 2x 1 2 y1 y 代入 y1 cosx1得到 y cos 2x 1 2 13 1 此函数由函数 y