最新人教版九年级数学下册-全册教案全集(187页)

1 本章知识重点 部编版一年级语文下册期末 复习课件 完整 第二十六章二次函数 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义 并了解二次函数的有关概念 3 会用描点法画出二次函数的图象 能通过图象和关系式认识二次函数的性质 4 会运用配方法确定二次函数图象的顶点 开口方向和对称轴 5 会利用二次函数的图象求一元二次方程 组 的近似解 6 会通过对现实情境的分析 确定二次函数的表达式 并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题 本课知识重点 26 1二次函数 通过具体问题引入二次函数的概念 在解决问题的过程中体会二次函数的意义 MM 及创新思维 1 正方形边长为 a cm 它的面积 s cm2 是多少 2 矩形的长是 4 厘米 宽是 3 厘米 如果将其长与宽都增加 x 厘米 则面积增加 y 平 方厘米 试写出 y 与 x 的关系式 请观察上面列出的两个式子 它们是不是函数 为什么 如果是函数 请你结合学习一次 函数概念的经验 给它下个定义 实践与探索 例 1 m 取哪些值时 函数y m2 m x2 mx m 1 是以 x 为自变量的二次函数 分析若函数 y m2 m x2 mx m 1 是二次函数 须满足的条件是 m2 m 0 解若函数y m2 m x2 mx m 1 是二次函数 则 m2 m 0 解得m 0 且m 1 因此 当m 0 且m 1时 函数y m2 m x2 mx m 1 是二次函数 回顾 与反思形如y ax2 bx c的函数只有在a 0的条件下才是二次函数 2 探索若函数y m2 m x2 mx m 1 是以 x 为自变量的一次函数 则 m 取哪些 值 例 2 写出下列各函数关系 并判断它们是什么类型的函数 3 2 1 写出正方体的表面积 S cm2 与正方体棱长 a cm 之间的函数关系 2 写出圆的面积 y cm2 与它的周长 x cm 之间的函数关系 3 某种储蓄的年利率是 1 98 存入 10000 元本金 若不计利息 求本息和 y 元 与 所存年数 x 之间的函数关系 4 菱形的两条对角线的和为 26cm 求菱形的面积 S cm2 与一对角线长 x cm 之间 的函数关系 解 1 由题意 得 S 6a2 a 0 其中 S 是 a 的二次函数 2 由题意 得 y x x 0 其中 y 是 x 的二次函数 4 3 由题意 得 y 10000 1 98 x 10000 x 0 且是正整数 其中 y 是 x 的一次函数 4 由题意 得 S 1x 26 x 1x2 13x 0 x 26 其中S 是 x 的二次函数 22 例 3 正方形铁片边长为 15cm 在四个角上各剪去一个边长为 x cm 的小正方形 用余 下的部分做成一个无盖的盒子 1 求盒子的表面积 S cm2 与小正方形边长 x cm 之间的函数关系式 2 当小正方形 边长为 3cm 时 求盒子的表面积 解 1 S 152 4x2 225 4x2 0 x 15 2 2 当 x 3cm 时 S 225 4 32 189 cm2 当堂课内练习 1 下列函数中 哪些是二次 函数 1 y x2 0 3 y x2 1 x 2 y x 2 x 2 x 1 2 4 y 2 当 k 为何值时 函数y k 1 xk k 1为二次函数 3 已知正方形的面积为y cm2 周长为 x cm 1 请写出 y 与 x 的函数关系式 2 判断 y 是否为 x 的二次函 数 本课课外作业 A 组 2 4 2 1 已知函数y m 3 xm 7是二次函数 求 m 的值 2 已知二次函数y ax2 当 x 3 时 y 5 当 x 5 时 求 y 的值 3 已知一个圆柱的高为 27 底面半径为 x 求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式 若圆柱的 底面半径 x 为 3 求此时的 y 4 用一根长为 40cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形 求扇形的面积 y 与它的半径 x 之间 的函数关系式 这个函数是二次函数吗 请写出半径 r 的取值范围 B 组 5 对于任意实数 m 下列函数一定是二次函数的是 A y m 1 2x2B y m 1 2x2C y m2 1 x2D y m2 1 x2 6 下列函数关系中 可以看作二次函数y ax2 bx c a 0 模型的是 A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B 我国人口年自然增长率为 1 这样我国人口总数随年份的变化关系 C 竖直向上 发射的信号弹 从发射到落回地面 信号弹的高度与时间的关系 不计 空气阻力 D 圆的周长与圆的半径之间的关系 本课学习体会 教学目标 26 2用函数观点看一元二次方程 第一课时 一 知识与技能1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 体会方程与函数之 间的联系 2 理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 理解何 时方程有两个不等的实根 两个相等的实数和没有实根 3 理解一元二次方程的根就是二次函数与 y h h 是实数 交点的横坐标 二 过程与 方法 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 培养学生的探索能力和创 新精 神 2 通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数 讨论一元二次方程的根的情况 进一 步培养学生的数形结合思想 3 通过学生共同观察和讨论 培养大 家的合作交流意识 三 情感态度与价值观 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 体验数学活动充满着探索与创 造 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性 2 具有初步的创新精神和实践能力 5 教学重点 1 体会方程与函数之间的联系 2 理解何时方程有两个不等的实根 两个相等的实数和没有实根 3 理解一元二次方程的根就是二次函数与 y h h 是实数 交点的横坐标 教学 难点 1 探索方程与函数之间的联系的过程 2 理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教学过 程 创设问题情境 引入新课 1 我们学习了一元一次方程 kx b 0 k 0 和一次函数 y kx b k 0 后 讨论了它 们之间的关系 当一次函数中的函数值 y 0 时 一次函数 y kx b 就转化成了一元一次方 程 kx b 0 且一次函数 y kx b k 0 的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx b 0 的解 现在我们学习了一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 和二次函数 y ax2 bx c a 0 它 们之间是否也存在一定的关系呢 2 选教材提出的问题 直接引入新课 合作交流解读探究 1 二次函数与一元二次方程之间的关系探究 教 材问题 师生同步完成 观察 教材 22 页 学生小组交流 归纳 先由学生完 成 然后师生评价 最后教师归纳 应用迁移 巩固提高 1 根据二次函数图像看一元二次方程的根同期 声 2 抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围 3 根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况 总结反思拓展升华 本节课学了如下内容 1 经历了探索二次函数与一元 二次方程的关系的过程 体 会了方程与函数之间的 联系 2 理解了二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 理解 了何时方程有两个不等的实根 两个相等的实根和没有实根 3 数学方法 分类讨论和数形结合 反思 在判断抛物线与 x 轴的交点情况时 和抛物线中的二次项系数的正负有无关系 拓 展 教案 课后作业 P231 3 5 6 本课知识重点 26 2二次函数的图象与性质 1 会用描点法画出二次函数y ax2 的图象 概括出图象的特点及函数的性质 MM 及创新思维 我们已经知道 一次函数y 2x 1 反比例函数y 3的图象分别是 x 那么二次函数y x2的图象是什么呢 1 描点法画函数y x2的图象前 想一想 列表时如何合理选值 以什么数为中心 当 x 取互为相反数的值时 y 的值如何 2 观察函数y x2的图象 你能得出什么结论 实践与探索 例 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 并指出它们有何共同点 有何不同点 1 y 2x2 解列表 2 y 2x2 x 3 2 10123 y 2x2 188202818 7 2 y 2x2 18 8 20 2 8 18 分别描点 连线 画出这两个函数的图象 这两个函数的图象都是抛物线 如图 26 2 1 共同点 都以 y 轴为对称轴 顶点都在坐标原点 不同点 y 2x2的图象开口向上 顶点是抛物线的最低点 在对称轴的左边 曲线自左向 右下降 在对称轴的右边 曲线自左向右上升 y 2x2的图象开口向下 顶点是抛物线的最高点 在对称轴的左边 曲线自左 向右上升 在对称轴的右边 曲线自左向右下降 回顾与反思在列表 描点时 要注意合理灵活地取值以及图形的对称性 因为图象是抛物 线 因此 要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 例 2 已知y k 2 xk k 4是二次函数 且当x 0时 y 随 x 的增大而增大 1 求 k 的值 2 求顶点坐标和对称轴 k 2 k 4 2 解 1 由题意 得 k 2 0 解得 k 2 2 二次函数为y 4x2 则顶点坐标为 0 0 对称轴为 y 轴 例 3 已知正方形周长为 Ccm 面积为 Scm2 1 求 S 和 C 之间的函数关系式 并画出图象 2 根据图象 求出 S 1cm2时 正方形的周长 3 根据图象 求出 C 取何值时 S 4cm2 分析此题是二次函数实际应用问题 解这类问题时要注意自变量的取值范围 画图象时 自变量 C 的取值应在取值范围内 解 1 由题意 得S 列表 1 C 2 C 0 16 C2468 S 1 C2 16 1 4 1 9 4 4 描点 连线 图象如图 26 2 2 2 根据图象得 S 1cm2时 正方形的周长是 4cm 3 根据图象得 当 C 8cm 时 S 4cm2 回顾与反思 1 此图象原点处为空心点 8 2 2 2 2 横轴 纵轴字母应为题中的字母 C S 不要习惯地写成 x y 3 在自变量取值范围内 图象为抛物线的一部分 当堂课内练习 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 并分别写出它们的开口方 向 对称轴和顶点坐标 1 y 3x2 2 y 3x2 3 y 1x2 3 2 1 函数y 2 x2的开口 对称轴是 顶点坐标是 3 2 函数y 1x2的开口 对称轴是 顶点坐标是 4 3 已知等边三角形的边长为 2x 请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数 并画出图象的 草图 本课课外作业 A 组 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 1 y 4x2 2 填空 2 y 1 x2 4 1 抛物线y 5x2 当 x 时 y 有最值 是 2 当 m 时 抛物线y m 1 xm m开口向下 3 已知函数y k2 k xk 2k 1是二次函数 它的图象开口 当 x时 y 随 x 的增大而增大 3 已知抛物线y kxk k 10中 当x 0时 y 随 x 的增大而增大 1 求 k 的值 2 作出函数的图象 草图 4 已知抛物线y ax2经过点 1 3 求当 y 9 时 x 的值 B 组 5 底面是边长为 x 的正方形 高为 0 5cm 的长方体的体积为 ycm3 1 求 y 与 x 之间 的函数关系式 2 画出函数的图象 3 根据图象 求出 y 8cm3时底面边长 x 的值 4 根据图象 求出 x 取何值时 y 4 5 cm3 6 二次 函数y ax2与直线y 2x 3交于点 P 1 b 1 求 a b 的值 2 写出二次函数的关系式 并指出 x 取何值时 该函数的 y 随 x 的增大而减小 9 7 一个函数的图象是以原点为顶点 y 轴为对称轴的抛物线 且过 M 2 2 1 求出这个函数的关系式并画出函数图象 2 写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标 并求出 MON 的面积 本课学习体会 本课知识重点 26 2二次函数的图象与性质 2 会画出y ax2 k这类函数的图象 通过比较 了解这类函数的性质 MM 及创新思维 同学们还记得一次函数y 2x与y 2x 1的图象的关系吗 你能由此推测二次函数y x2与y x2 1的图象之间的关系吗 那么y x2与y x2 2的图象之间又有何关系 实践与探索 例 1 在同一直角坐标系中 画出函数y 2x2与y 2x2 2的图象 解 列表 描点 连线 画出这两个函数的图象 如图 26 2 3 所示 x 3 2 10123 y 2x2 188202818 y 2x2 2 20104241020 1 0 回顾与反思当自变量 x 取同一数值时 这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在 图象上 相应的两个点之间的位置又有什么关系 探索观察这两个函数 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标有那些是相同的 又有哪些不 同 你能由此说出函数y 2x2与y 2x2 2的图象之间的关系吗 例 2 在同一直角坐标系中 画出函数y x2 1与y x2 1的图象 并说明 通过 怎样的平移 可以由抛物线y x2 1得到抛物线y x2 1 解 列表 描点 连线 画出这两个函数的图象 如图 26 2 4 所示 可以看出 抛物线y x2 1是由抛物线y x2 1向下平移两个单位得到的 回顾与反思抛物线y x2 1和抛物线y x2 1分别是由抛物线y x2向上 向下 平移一个单位得到的 探索如果要得到抛物线y x2 4 应将抛物线y x2 1作怎样的平移 例 3 一条抛物线的开口方向 对称轴与y 1x2相同 顶点纵坐标是 2 且抛物线经过 2 点 1 1 求这条抛物线的函数关系式 解由题意可得 所求函数开口向上 对称轴是 y 轴 顶点坐标为 0 2 x 3 2 10123 y x2 1 8 3010 3 8 y x2 1 10 5 2 1 2 5 10 10 因此所求函数关系式可看作y ax2 2 a 0 又抛物线经过点 1 1 所以 1 a 12 2 解得a 3 故所求函数关系式为y 3x2 2 回顾与反思 y ax 2 k a k 是常数 a 0 的图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 归纳如下 开口方向对称轴顶点坐标 a 0y ax 2 k a 0 当堂课内练习 1 在同一直角坐标系中 画出下列二次函数的图象 y 1 x 2 2 y 1 x 2 2 2 y 1 x 2 2 2 观察三条抛物线的相互关系 并分别指出它们的开口方向及对称轴 顶点的位置 你能说 出抛物线y 1x2 k的开口方向及对称轴 顶点的位置吗 2 2 抛物线y 1x2 9的开口 对称轴是 顶点坐标是 它可 4 以看作是由抛物线y 1x2向平移个单位得到的 4 3 函数y 3x2 3 当 x时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x时 函 数取得最值 最值 y 本课课外作业 A 组 1 已知函数y 1x2 3 y 1x2 3 3 y 1 x 2 2 3 1 分别画出它们的图象 2 说出各个图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 3 试说出函数y 1x2 5的图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 3 2 不画图象 说出函数y 1x2 3的开口方向 对称轴和顶点坐标 并说明它是由函 4 数y 1x2通过怎样的平移得到的 4 11 3 若二次函数y ax2 2的图象经过点 2 10 求 a 的值 这个函数有最大还是最 小值 是多少 B 组 4 在同一直角坐标系中y ax2 b与y ax b a 0 b 0 的图象的大致位置是 5 已知二次函数y 8x2 k 1 x k 7 当k 为何值时 此二次函数以 y 轴为对称轴 写出 其函数关系式 本课学习体会 本课知识重点 26 2二次函数的图象与性质 3 会画出y a x h 2这类函数的图象 通过比较 了解这类函数的性质 MM 及创新思维 我们已经了解到 函数y ax2 k的图象 可以由函数y ax2的图象上下平移所 得 那么函数y 1 x 2 2的图象 是否也可以由函数y 1x2平移而得呢 画图试一 22 试 你能从中发现什么规律吗 实践与探索 例 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 y 1x2 y 1 x 2 2 y 1 x 2 2 并指出它们的开口方向 对称轴和顶点坐 222 标 解列表 x 3 2 10123 y 1 x2 2 9 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 12 y 1 x 2 2 2 1 20 1 22 25 28 25 2 25 y 1 x 2 2 2 28 9 2 2 1 20 1 2 描点 连线 画出这三个函数的图象 如图 26 2 5 所示 它们的开口方向都向上 对 称轴分别是 y 轴 直线 x 2和直线 x 2 顶点坐标分 别是 0 0 2 0 2 0 回顾与反思对于抛物线y 1 x 2 2 当 x时 函数值 y 随 x 的增大而减小 2 当 x时 函数值 y 随 x 的增大而增大 当 x时 函数取得最值 最 值 y 探索抛物线y 1 x 2 2和抛物线 y 1 x 2 2分别是由抛物线y 1x2向左 向右 222 平移两个单位得到的 如果要得到抛物线y 1 x 4 2 应将抛物线y 1x2作怎样的 22 平移 例 2 不画出图象 你能说明抛物线y 3x2与y 3 x 2 2之间的关系吗 解抛物线y 3x2的顶点坐标为 0 0 抛物线y 3 x 2 2的顶点坐标为 2 13 0 因此 抛物线y 3x2与y 3 x 2 2 形状相同 开口方向都向下 对称轴分别是 y 轴和直线x 2 抛物线y 3 x 2 2是由y 3x2向左平移 2 个单位而得的 回顾与反思 y a x h 2 a h 是常数 a 0 的图象的开口方向 对称轴 顶点坐 标归纳如下 开口方向对称轴顶点坐标 a 0y a x h 2 a 0 当堂课内练习 1 画图填空 抛物线y x 1 2的开口 对称轴是 顶点坐标 是 它可以看作是由抛物线y x2向平移个单位得到的 2 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 y 2x2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2 并指出它们的开口方向 对称轴和顶点 坐标 本课课外作业 A 组 1 已知函数y 1x2 y 1 x 1 2 y 1 x 1 2 222 1 在同一直角坐标系中画出它们的图象 2 分别说出各个函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 3 分别讨论各个函数的性质 2 根据上题的结果 试说明 分别通过怎样的平移 可以由抛物线y 1x2得到抛物 2 线y 1 x 1 2 和y 1 x 1 2 22 3 函数y 3 x 1 2 当 x时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x时 函数取得最值 最值 y 4 不画出图象 请你说明抛物线y 5x2与y 5 x 4 2之间的关系 B 组 14 5 将抛物线y ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 2 且新抛物线经过点 1 3 求a的值 本课学习体会 本课知识重点 26 2二次函数的图象与性质 4 1 掌握把抛物线y ax2平移至y a x h 2 k 的规律 2 会画出y a x h 2 k 这类函数的图象 通过比较 了解这类函数的性质 MM 及创新思维 由前面的知识 我们知道 函数y 2x2的图象 向上平移 2 个单位 可以得到函数 y 2x2 2的图象 函数y 2x2的图象 向右平移3 个单位 可以得到函数y 2 x 3 2 的图象 那么函数y 2x2的图象 如何平移 才能得到函数y 2 x 3 2 2的图象呢 实践与探索 例 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 y 1x2 y 1 x 1 2 y 1 x 1 2 2 并指出它们的开口方向 对称轴和顶点 222 坐标 解列表 x 3 2 10123 y 1 x2 2 9 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 y 1 x 1 2 2 8 9 2 2 1 2 0 1 2 2 y 1 x 1 2 2 2 6 5 2 0 3 2 2 3 2 0 15 22 描点 连线 画出这三个函数的图象 如图 26 2 6 所示 它们的开口方向都向 对称轴分别为 顶点 坐标分别为 请同学们完成填空 并观察三个图象之 间的关系 回顾与反思二次函数的图象的上下平移 只影响二次函数y a x h 2 k 中 k 的值 左右平移 只影响 h 的值 抛物线的形状不变 所以平移时 可根据顶点坐标的改变 确定平移前 后的函数关系式及平移的路径 此外 图象的平移与平移的顺序无关 探索你能说出函数y a x h 2 k a h k 是常数 a 0 的图象的开口方向 对称轴和 顶点坐标吗 试填写下表 例 2 把抛物线y x2 bx c向上平移 2 个单位 再向左平移 4 个单位 得到抛物线 y x2 求 b c 的值 分析抛物线y x2的顶点为 0 0 只要求出抛物线y x2 bx c的顶点 根据顶点 坐标的改变 确定平移后的函数关系式 从而求出 b c 的值 解y x2 bx c x2 bx b b c x b 2 c b 4424 向上平移 2 个单位 得到y x b 2 c b 2 24 y a x h 2 k 开口方向对称轴顶点坐标 a 0 a 0 2 2 16 再向左平移 4 个单位 得到y x b 4 2 c b 2 24 其顶点坐标是 b 4 c b 2 而抛物线y x2的顶点为 0 0 则 24 b 2 4 0 2 c b 4 2 0 b 8 解得 c 14 探索把抛物线y x2 bx c向上平移 2 个单位 再向左平移 4 个单位 得到抛物线 y x2 也就意味着把抛物线y x2向下平移 2 个单位 再向右平移 4 个单位 得到抛 物线y x2 bx c 那么 本题还可以用更简洁的方法来解 请你试一试 当堂课内练习 1 将抛物线y 2 x 4 2 1如何平移可得到抛物线y 2x2 A 向左平移 4 个单位 再向上平移 1 个单位 B 向左平移 4 个单位 再向下平移 1 个单位 C 向右平移 4 个单位 再向上平移 1 个单位 D 向右平移 4 个单位 再向下平移 1 个单位 2 把抛物线y 3x2向左平移 3 个单位 再向下平移 4 个单位 所得的抛物线的函数 2 关系式为 3 抛物线y 1 2x 1x2可由抛物线y 1x2向平移个单位 再向平 22 移个单位而得到 本课课外作业 A 组 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 y 3x2 y 3 x 2 2 y 3 x 2 2 1 并指出它们的开口方向 对称轴和顶点坐 标 2 2 17 2 将抛物线y x2 2x 5先向下平移 1 个单位 再向左平移 4 个单位 求平移后的 抛物线的函数关系式 1 231 2 3 将抛物线 y x 2 x 如何平移 可得到抛物线y x 22 B 组 2x 3 4 把抛物线y x2 bx c向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 得到抛物线 y x2 3x 5 则有 A b 3 c 7B b 9 c 15C b 3 c 3D b 9 c 21 5 抛物线y 3x2 bx c是由抛物线y 3x2 bx 1向上平移 3 个单位 再向左平移 2 个单位得到的 求 b c 的值 6 将抛物线y ax2 a 0 向左平移h个单位 再向上平移k个单位 其中h 0 k 0 求所得的抛物线的函数关系式 本课学习体会 本课知识重点 26 2二次函数的图象与性质 5 1 能通过配方把二次函数y ax2 bx c化成y a x h 2 k 的形式 从而确定开口方向 对称轴和顶点坐标 2 会利用对称性画出二次函数的图 象 MM 及创新思维 我们已经发现 二次函数y 2 x 3 2 1的图象 可以由函数y 2x2的图象先向 平移个单位 再向平移个单位得到 因此 可以直接得出 函数y 2 x 3 2 1 的开口 对称轴是 顶点坐标是 那么 对于任意一个二次函 数 如y x2 3x 2 你能很容易地说出它的开口方向 对称轴和顶点坐标 并画出 图象吗 实践与探索 例 1 通过配方 确定抛物线y 2x2 4x 6的开口方向 对称轴和顶点坐标 再描点画 图 18 2 解y 2x2 4x 6 2 x2 2x 6 2 x2 2x 1 1 6 2 x 1 2 1 6 2 x 1 2 8 因此 抛物线开口向下 对称轴是直线 x 1 顶点坐标为 1 8 由对称性列表 x 2 101234 y 2x2 4x 6 1006860 10 描点 连线 如图 26 2 7 所示 回顾与反思 1 列表时选值 应以对称轴 x 1 为中心 函数值可由对称性得到 2 描点画图时 要根据已知抛物线的特点 一般先找出顶点 并用虚线画对称轴 然 后再对称描点 最后用平滑曲线顺次连结各点 探索对于二次函数y ax2 bx c 你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗 请你 完成填空 对称轴 顶点坐标 例 2 已知抛物线y x2 a 2 x 9的顶点在坐标轴上 求a的值 分析顶点在坐标轴上有两种可能 1 顶点在 x 轴上 则顶点的纵坐标等于 0 2 顶点在 y 轴上 则顶点的横坐标等于 0 解y x2 a 2 x 9 x a 2 2 9 a 2 24 a 2 则抛物线的顶点坐标是 9 a 2 2 24 19 2 当顶点在 x 轴上时 有 解得 a 2 0 2 a 2 当顶点在 y 轴上时 有 a 2 2 9 4 0 解得a 4或a 8 所以 当抛物线y x2 a 2 x 9的顶点在坐标轴上时 a有三个值 分别是 2 4 8 当堂课内练习 1 1 二次函数y x2 2x的对称轴是 2 二次函数y 2x2 2x 1的图象的顶点是 当 x时 y 随 x 的 增大而减小 3 抛物线y ax2 4x 6的顶点横坐标是 2 则a 2 抛物线y ax2 2x c的顶点是 1 1 则a c 的值是多少 3 本课课外作业 1 已知抛物线y 1 x2 2 3x A 组 5 求出它的对称轴和顶点坐标 并画出函数的图象 2 2 利用配方法 把下列函数写成y a x h 2 k 的形式 并写出它们的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 1 y x2 6x 1 2 y 2x2 3x 4 3 y x2 nx 4 y x2 px q 3 已知y k 2 xk 2k 6是二次函数 且当x 0时 y 随 x 的增大而增大 1 求 k 的值 2 求开口方向 顶点坐标和对称轴 B 组 4 当a 0时 求抛物线y x2 2ax 1 2a2的顶点所在的象限 5 已知抛物线y x2 4x h的顶点 A 在直线y 4x 1上 求抛物线的顶点坐标 20 本课学习体会 本课知识重点 26 2二次函数的图象与性质 6 1 会通过配方求出二次函数y ax2 bx c a 0 的最大或最小值 2 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用 会利用二次函数的性质求实际 问题中的最大或最小值 MM 及创新思维 在实际生活中 我们常常会碰到一些带有 最 字的问题 如 问题 某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售 一天可销出约 100 件 该 店想通过降低售价 增加销售量的办法来提高利润 经过市场调查 发现这种商品单价每 降低 1 元 其销售量可增加约 10 件 将这种商品的售价降低多少时 能使销售利润最大 在这个问题中 设每件商品降价 x 元 该商品每天的利润为 y 元 则可得函数关系式为 二 次函数y 10 x2 100 x 2000 那么 此问题可归结为 自变量 x 为何值时函数 y 取得 最大值 你能解决吗 实践与探索 例 1 求下列函数的最大值或最小值 1 y 2x2 3x 5 2 y x2 3x 4 分析由于函数y 2x2 3x 5和y x2 3x 4的自变量 x 的取值范围是全体实数 所 以只要确定它们的图象有最高点或最低点 就可以确定函数有最大值或最小值 解 1 二次函数y 2x2 3x 5中的二次项系数 2 0 因此抛物线y 2x2 3x 5有最低点 即函数有最小值 因 为y 2x2 3x 5 2 x 3 2 49 48 349 所以当x 时 函数y 2x2 3x 5有最小值是 48 2 二次函数y x2 3x 4中的二次项系数 1 0 因此抛物线y x2 3x 4有最高点 即函数有最大值 因 为y x2 3x 4 x 3 2 25 24 21 所以当x 3 2 时 函数y x2 3x 4有最大值是 25 4 回顾与反思最大值或最小值的求法 第一步确定 a 的符号 a 0 有最小值 a 0 有最 大值 第二步配方求顶点 顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值 探索试一试 当 2 5 x 3 5 时 求二次函数y x2 2x 3的最大值或最小值 例 2 某产品每件成本是 120 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间关系如下表 x 元 130150165 y 件 705035 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 要获得最大销售利润 每件产品的销售价定为多少 元 此时每日销售利润是多少 分析日销售利润 日销售量 每件产品的利润 因此主要是正确表示出这两个量 解由表可知 x y 200 因此 所求的一次函数的关系式为y x 200 设每日销 售利润为 s 元 则有 s y x 120 x 160 2 1600 因为 x 200 0 x 120 0 所以120 x 200 所以 当每件产品的销售价定为 160 元时 销售利润最大 最大销售利润为 1600 元 回顾与反思解决实际问题时 应先分析问题中的数量关系 列出函数关系式 再研究所得 的函数 得出结果 例 3 如图 26 2 8 在 Rt ABC 中 C 90 BC 4 AC 8 点 D 在斜边 AB 上 分别作 DE AC DF BC 垂足分别为 E F 得四边形 DECF 设 DE x DF y 1 用含 y 的代数式表示 AE 2 求 y 与 x 之间的函数关系式 并求出 x 的取值范围 3 设四边形 DECF 的面积为 S 求S 与 x 之间的函数关系 并求出 S 的最大值 解 1 由题意可知 四边形 DECF 为矩形 因此 AE AC DF 8 y 2 由DE BC 得 DE AEx8 y 即 BCAC48 所以 y 8 2x x 的取值范围是0 x 4 3 S xy x 8 2x 2x2 8x 2 x 2 2 8 22 所以 当 x 2 时 S 有最大值 8 当堂课内练习 1 对于二次函数y x2 2x m 当 x 时 y 有最小值 2 已知二次函数y a x 1 2 b有最小值 1 则a 与 b 之间的大小关系是 A a bB a bC a bD 不能确定 3 某商场销售一批衬 衫 平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 件 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当的降价措施 经过市场调查发现 如果每件衬衫每降价 1 元 商场平均每 天可多售出 2 件 1 若商场平均每天要盈利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 2 每件衬衫降价多少元时 商场平均每天盈利最多 本课课外作业 A 组 1 求下列函数的最大值或最小值 1 y x2 2x 2 y 2x2 2x 1 2 已知二次函数y x2 6x m的最小值为 1 求 m 的值 3 心理学家发现 学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x 单位 分 之间满足 函数关系 y 0 1x2 2 6x 43 0 x 30 y 值越大 表示接受能力越强 1 x 在什么范围内 学生的接受能力逐步增强 x 在什么范围内 学生的接受能力逐步降 低 2 第 10 分时 学生的接受能力是多少 3 第几分时 学生的接受能力最强 B 组 4 不论自变量 x 取什么数 二次函数y 2x2 6x m的函数值总是正值 求 m 的取值范围 5 如图 有长为 24m 的篱笆 一面利用墙 墙的最大可用长度 a 为 10m 围成中间隔有一 道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽 AB 为 xm 面积为 Sm2 1 求 S 与 x 的函数关系式 2 如果要围成面积为 45m2的花圃 AB 的长是多少米 3 能围成面积比 45m2更大的花圃吗 如果能 请求出最大面 积 并说明围法 如果不能 请说明理由 6 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 线段 EF 在对角线 AC 上 EG AD FH BC 垂足分别是 G H 且 EG FH EF 1 求线段 EF 的长 23 2 设 EG x AGE 与 CFH 的面积和为 S 写 出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 并 求出 S 的最小值 本课学习体会 本课知识重点 26 2二次函数的图象与性质 7 会根据不同的条件 利用待定系数法求二次函数的函数关系式 MM 及创新思维 一般地 函数关系式中有几个独立的系数 那么就需要有相同个数的独立条 件才能求 出函数关系式 例如 我们在确定一次函数y kx b k 0 的关系式时 通常需要两个 独立的条件 确定反比例函数 y k k 0 的关系式时 通常只需要一个条件 如果要确 x 定二次函数y ax2 bx c a 0 的关系式 又需要几个条件呢 实践与探索 例 1 某涵洞是抛物线形 它的截面如图 26 2 9 所示 现测得 水面宽 1 6m 涵洞顶点 O 到水面的距离为 2 4m 在图中直角坐 标系内 涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 分析如图 以 AB 的垂直平分线为 y 轴 以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴 建立了直角坐标系 这时 涵洞所在的抛物线的顶点在原点 对称轴是 y 轴 开口向下 所以可设它的函数关系式是 y ax2 a 0 此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函 数关系式 解 由题意 得点 B 的坐标为 0 8 2 4 又因为点 B 在抛物线上 将它的坐标代入y ax2 a 0 得 2 4 a 0 82 15 所以a 4 因此 函数关系式是y 15x2 4 例 2 根据下列条件 分别求出对应的二次函数的关系式 1 已知二次函数的图象经过点 A 0 1 B 1 0 C 1 2 2 已知抛物线的顶点为 1 3 且与 y 轴交于点 0 1 3 已知抛物线与 x 轴交于点 M 3 0 5 0 且与 y 轴交于点 0 3 24 4 已知抛物线的顶点为 3 2 且与 x 轴两交点间的距离为 4 分析 1 根据二次函数的图象经过三个已知点 可设函数关系式为y ax2 bx c的 形式 2 根据已知抛物线的顶点坐标 可设函数关系式为y a x 1 2 3 再根据抛物 线与 y 轴的交点可求出 a 的值 3 根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标 可设函数关 系式为y a x 3 x 5 再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值 4 根据已知 抛物线的顶点坐标 3 2 可设函数关系式为y a x 3 2 2 同时可知抛物线的对称 轴为 x 3 再由与 x 轴两交点间的距离为 4 可得抛物线与 x 轴的两个交点为 1 0 和 5 0 任选一个代入y a x 3 2 2 即可求出 a 的值 解 1 设二次函数关系式为y ax2 bx c 由已知 这个函数的图象过 0 1 可以 得到 c 1 又由于其图象过点 1 0 1 2 两点 可以得到 a b 1 a b 3 解这个方程组 得 a 2 b 1 所以 所求二次函数的关系式 是y 2x2 2x 1 2 因为抛物线的顶点为 1 3 所以设二此函数的关系式为y a x 1 2 3 又由于 抛物线与 y 轴交于点 0 1 可以得到 1 a 0 1 2 3 解得a 4 所以 所求二次函数的关系式是y 4 x 1 2 3 4x2 8x 1 3 因为抛物线与 x 轴交于点 M 3 0 5 0 所以设二 此函数的关系式为y a x 3 x 5 又由于抛物线与 y 轴交于点 0 3 可以得到 3 a 0 3 0 5 解得a 1 5 25 所以 所求二次函数的关系式是y 1 x 3 x 5 1x2 2x 3 555 4 根据前面的分析 本题已转化为与 2 相同的题型 请同学们自己完成 回顾与反 思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法 在选择把二次函数的关系式 设成什么形式时 可根据题目中的条件灵活选择 以简单为原则 二次函数的关系式可设如 下三种形式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 给出三点坐标可利用此式来求 2 顶点式 y a x h 2 k a 0 给出两点 且其中一点为顶点时可利用此式来求 3 交点式 y a x x1 x x2 a 0 给出三点 其中两点为与 x 轴的两个交点 x1 0 x2 0 时可利用此式来求 当堂课内练习 1 根据下列条件 分别求出对应的二次函数的关 系式 1 已知二次函数的图象经过点 0 2 1 1 3 5 2 已知抛物线的顶点为 1 2 且过点 2 1 3 已知抛物线与 x 轴交于点 M 1 0 2 0 且经过点 1 2 2 二次函 数图象的对称轴是 x 1 与 y 轴交点的纵坐标是 6 且经过点 2 10 求此二次函数 的关系式 本课课外作业 A 组 1 已知二次函数y x2 bx c的图象经过点 A 1 12 B 2 3 1 求该二次函数的关系式 2 用配方法把 1 所得的函数关系式化成y a x h 2 k的形式 并求出该抛物线的 顶点坐标和对称轴 2 已知二次函数的图象与一次函数y 4x 8的图象有两个公共点 P 2 m Q n 8 如果抛物线的对称轴是 x 1 求该二次函数的关系 式 3 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物 如图所示 大门地 面 宽 AB 4m 顶部 C 离地面高度为 4 4m 现有一辆满载货 物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面 2 8m 装货宽度为 2 4m 请判断这辆汽车能否顺利通过大门 4 已知二次函数y ax2 bx c 当 x 3 时 函数取得最大值 10 且它的图象在 x 轴 26 上截得的弦长为 4 试求二次函数的关系式 B 组 5 已知二次函数y x2 bx c的图象经过 1 0 与 2 5 两点 1 求这个二次函数 的解析式 2 请你换掉题中的部分已知条件 重新设计一个求二次函数y x2 bx c解 析式的题目 使所求得的二次函数与 1 的相同 6 抛物线y x2 2mx n过点 2 4 且其顶点在直线y 2x 1上 求此二次函 数的关系式 本课学习体会 本课知识重点 26 3实践与探索 1 会结合二次函数的图象分析问题 解决问题 在运用中体会二次函数的实际意义 MM 及创新思维 生活中 我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题 比如在 2004 雅典奥运会的 赛场上 很多项目 如跳水 铅球 篮球 足球 排球等都与二次函数及其图象息息相关 你 知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗 实践与探索 例 1 如图 26 3 1 一位运动员推铅球 铅球行进 高度 y m 与水平距离 x m 之间的 关系是 y 1 x2 12 2 x 3 5 问此运动员把 3 铅球推出多远 解如图 铅球落在 x 轴上 则 y 0 因此 1x 2 2 x 5 0 1233 解方程 得x1 10 x2 2 不合题意 舍去 所以 此运动员把铅球推出了 10 米 探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离 如果创设另外一个问题情 5 境 一个运动员推铅球 铅球刚出手时离地面m 铅球落地点距铅球刚出手时相应的地 3 面上的点 10m 铅球运行中最高点离地面 3m 已知铅球走过的路线是抛物线 求它的函 数关系式 你能解决吗 试一试 例 2 如图 26 3 2 公园要建造圆形的喷水池 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA 水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下 为使水流形状较为漂亮 要求设计 27 成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2 25m 1 若不计其他因素 那么水池的半径至少要多少米 才能使喷出的水流不致落到池外 2 若水流喷出的抛物线形状与 1 相同 水池的半径为 3 5m 要使水流不落到池外 此时水流最大高度应达多少米 精确到 0 1m 分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用 题 首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中 如图 26 3 3 我们可以求出抛物线的函数关系式 再利用抛物线的性质即可 解决问题 解 1 以 O 为原点 OA 为 y 轴建立坐标系 设抛物线顶点 为 B 水流落水与 x 轴交点为 C 如图 26 3 3 由题意得 A 0 1 25 B 1 2 25 因此 设抛物线为y a x 1 2 2 25 将 A 0 1 25 代入上式 得1 25 a 0 1 2 2 25 解得a 1 所以 抛物线的函数关系式为y x 1 2 2 25 当 y 0 时 解得 x 0 5 不合题意 舍去 x 2 5 所以 C 2 5 0 即水池的半径至少要 2 5m 2 由于喷出的抛物线形状与 1 相同 可设此抛物线为y x h 2 k 由抛物线过点 0 1 25 和 3 5 0 可求得 h 1 6 k 3 7 所以 水流最大高 度应达 3 7m 当堂课内练习 1 在排球赛中 一队员站在边线发球 发球方向与边线垂直 球开始飞行 时距地面 1 9 米 当球飞行距离为 9 米时达最大高度 5 5 米 已知球场长 18 米 问这 样发球是否会直接把球打出边线 2 在一场篮球赛中 队员甲跳起投篮 当球出手时离地高 2 5 米 与球圈中心的水平距 离为 7 米 当球出手水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米 设篮球运行轨迹为抛物线 球 圈距地面 3 米 问此球是否投中 本课课外作业 A 组 1 在一场足球赛中 一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门 当球飞行的水平距 离是 6 米时 球到达最高点 此时球高 3 米 已知球门高 2 44 米 问能否射中球门 28 2 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品 年初上市后 公司经历了从亏损到赢利的过程 下面的二次函数图象 部分 刻画了该公司年初以来累积利润 s 万元 与 销售时间 t 月 之间的关系 即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系 根据图象提供的信息 解答下列问 题 1 由已知图象上的三点坐标 求累积利润 s 万元 与时间 t 月 之间的函数关系式 2 求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元 3 求第 8 个月公司所获利润是多少万元 3 如图 一位运 动员在距篮下 4m 处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球 运行的水平距离为 2 5m 时 达到最大高度 3 5m 然后准确 落入篮圈 已知篮圈中心到地面的距离为 3 05m 1 建立如图所示的直角坐标系 求抛物线的函数关系式 2 该运动员身高 1 8m 在这次跳投中 球在头顶上方 0 25m 处出手 问 球出手时 他跳离地面的高度是多少 B 组 4 某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成的 为牢固起见 每段护栏需按 间距 0 4m 加设不锈钢管 如图 a 做成的立柱 为了计算所需不锈钢管立柱的总长度 设计人员利用图 b 所示的坐标系进行计算 1 求该抛物线的函数关系式 2 计算所需不锈钢管立柱的总长度 5 某跳水运动员在进行 10m 跳台跳水训练时 身体 看成一点 在空中的运动路线是如图 所示的一条抛物线 在跳某个规定动作时 正常情况下 该运动员在空中的最高处距水 2 面10 m 入水处距池边的距离为 4m 同时运动员在 3 距水面高度 5m 以前 必须完成规定的翻腾动作 并调