初二数学平行四边形专题练习题

第一讲第一讲 分式分式 主要公式主要公式 1 同分母加减法则 0 bcbc a aaa 2 异分母加减法则 0 0 bdbcdabcda ac acacacac 3 分式的乘法与除法 bdbd acac bcbdbd adacac 4 同底数幂的加减运算法则 实际是合并同类项 5 同底数幂的乘法与除法 am an am n am an am n 6 积的乘方与幂的乘方 ab m am bn am n amn 7 负指数幂 a p a0 1 1 p a 8 乘法公式与因式分解 平方差与完全平方式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 例 1 当 有何值时 下列分式有意义x 1 2 4 4 x x 2 3 2 x x 例 2 当 取何值时 下列分式的值为 0 x 1 2 3 1 x x 4 2 2 x x 例 3 当 为何值时 分式为正 x x 8 4 例 4 已知 求的值 5 11 yxyxyx yxyx 2 232 例 5 已知 求的值 2 1 x x 2 2 1 x x 例 6 若 求的值 0 32 1 2 xyx yx24 1 例 7 计算 1 2 mn m nm n mn nm 22 1 1 2 a a a 例 8 先化简后求值 其中 满足 a 2 1 1 12 4 2 1 22 2 aaa a a a a 例 9 解下列分式方程 1 2 xx 3 1 1 3 4 2 3 xx x 例 10 若分式方程的解是正数 求 的取值范围 1 2 2 x ax a 例 11 甲 乙两人分别从两地同时出发 若相向而行 则 a 小时相遇 若同向 而行 则 b 小时甲追上乙 那么甲的速度是乙的速度的 A B C D ab b b ab ba ba ba ba 例 12 A B 两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料 两次饲料的价格有变 化 但两位采购员的购贷方式不同 其中 采购员 A 每次购买 1000 千克 购贷 员 B 每次用去 800 元 而不管购买饲料多少 问选用谁的购贷方式合算 A B C 都一样 D 不能确定 例 13 某林场原计划在一定期限内固沙造林 240 公顷 实际每天固沙造林的面 积比原计划多 4 公顷 结果提前 5 天完成任务 设原计划每天固沙造林 x 公顷 根据题意列方程正确的是 A B 240240 5 4xx 240240 5 4xx C D 240240 5 4xx 240240 5 4xx 例 14 某校用 420 元钱到商场去购买 84 消毒液 经过还价 每瓶便宜 0 5 元 结果比用原价多买了 20 瓶 求原价每瓶多少元 例 15 翻译一份文稿 用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的 75 倍 电脑翻译 3300 个字的文稿比人工翻译少用 2 小时 28 分 求用人工翻译 与电脑翻译每分钟各翻译多少个字 练习 1 当 取何值时 下列分式有意义 x 1 2 3 3 6 1 x 1 1 3 2 x x x 1 1 1 2 当 为何值时 下列分式的值为零 x 1 2 4 1 5 x x 56 25 2 2 xx x 3 若 求的值 01062 22 bbaa ba ba 53 2 4 计算 1 2 1 2 32 1 2 1 1 2 52 a a a a a a ab abb ba a 2 22 3 4 ba b ba 2 2 2 1 2 1 1 1 1 x xx 7 解下列方程 1 2 0 21 2 1 1 x x x x 3 4 2 3 xx x 8 已知关于 的分式方程无解 试求 的值 xa x a 1 12 a 第二讲第二讲 二次根式二次根式 一 基础知识 1 二次根式 形如 的式子叫二次根式 a0a 2 二次根式的性质 0a 0a 2 aa 0a 2 0 0 a a a a a 注意 对于二次根式要明确被开方数必须是非负数 化简特别要注意 2 a 时 0a 2 aa 3 二次根式的乘除 乘法 除法 0 0 abab ab 0 0 aa ab bb 二次根式乘除法则的逆用 最简二次根式 当二次根式满足 a 被开方数不含分母 即被开方数中因数是整数 因式是整式 b 被开方数中不含开得尽方的因式这两个条件时 我们称这样的二次根式为 最简二次根式 加减实质是同类项合并 二 例题 1 化简 32 75 0 0 x yxy 2 yxy82 2712 3 计算 2 1 256 4 计算 20102009 23 23 5 已知 则 4 3 22 xxy xy 6 计算 1 2 2 1 418 12 2 2 352 7 先化简 再求值 其中 1 1 2 12 2 22 x x x xx x x 23 x 8 计算 1 2 451227 113 83 322 3 1 2 3 14 0 9 1 2 1 9 当取什么值时 代数式取值最小 并求出这个最小值 a21 1a 10 已知 求的值 2 310 xx 2 2 1 2x x 11 已知为实数 且 求的值 a b 1110abb 20052006 ab 12 若 x y 是实数 且 求的值 2 1 11 xxy 1 1 y y 13 观察下列等式 1 3 2 12 1 2 23 1 34 1 4 3 1 请用字母表示你所发现的律 即 n 为正整数 nn 1 1 2 化简计算 21 1 32 1 43 1 20122011 1 四 练习 3 23 1 2 7 1 a b DxCmBA 式的是下列各式一定是二次根 2 2 2 2 2 2 xx AxBxC xDx 若有意义 则的取值范围 3 在 中最简二次根式的个数是 15 6 1 2 1 140 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 下列各式正确的是 A B C D aa 2 aa 2 aa 222 aa 5 若 1 x 2 则的值为 2 13 xx A 2x 4 B 2 C 4 2x D 2 6 是整数 则正整数的最小值是 24nn A 4 B 5 C 6 D 7 7 如果最简根式与是同类二次根式 那么使有意义的 x 3a 817 2a4a 2x 的范围是 A x 10 B x 10 C x10 8 若 a b c 为三角形的三边 化简 的结果是 222 acbacbcba A a b c B a b c C a b c D a b c 10 当时 有意义 21 2xx 11 若有意义 则的取值范围是 1 1 m m m 12 若 则的取值范围是 2 42xx x 13 已知 则的取值范围是 2 22xx x 14 化简 的结果是 2 211xxx 15 当时 15x 2 15 xx 16 若与互为相反数 则 1ab 24ab 2005 ab 17 若 则等于 23a 22 23aa A B C D 52a 1 2a 25a 21a 18 若 则化简后为 1a 3 1 a A B 11aa 11aa C D 11aa 11aa 19 计算 的值是 22 211 2aa A 0 B C D 或42a 24a 24a 42a x x 1 第三讲 勾股定理 例 1 已知直角三角形的两边长为 3 4 则另一条边长是 例 2 已知两条线段的长为 9cm 和 12cm 当第三条线段的长为 cm 时 这三条线段能组成一个直角三角形 例 3 已知 Rt ABC 中 C 900 AB 边上的中线长为 2 且 AC BC 6 则 ABC S 例 4 已知一个三角形的三边长分别是 12cm 16cm 20cm 你能计算出这个 三角形的面积吗 练习 1 在 ABC 中 若其三条边的长度分别为 9 12 15 则以两个这样的三角形 所拼成的长方形的面积是 2 如果梯子底端离建筑物 9m 那么 15m 长的梯子可达到建筑物的高度是 3 已知直角三角形的两边长分别为 7 和 24 则第三边长为 4 如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的 2 倍 斜边长是 5 cm 那么这个直角三角形的周长是 例 5 已知直角三角形的两条直角边长为 6 8 那么它的最长边上的高为 A 6 B 8 C D 24 5 12 5 例 6 一等腰三角形底边长为 10cm 腰长为 13cm 则腰上的高为 A 12cm B C D cm 13 60 cm 13 120 cm 5 13 练习 练习 1 CD 为直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高 若 AB 10 AC BC 3 4 则 这个直角三角形的面积为 C D B C D A B A 例 7 A 6 B 8 C 12 D 24 2 直角三角形的两直角边分别为 5 12 则斜边上的高为 A 6 B 8 C D 13 80 13 60 3 在同一平面上把三边 BC 3 AC 4 AB 5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得 到 ABC 则 CC 的长等于 A B C D 12 5 13 5 5 6 24 5 例 7 已知长方体的长为 2cm 宽为 1cm 高为 4cm 一只蚂蚁如果沿长方体的 表面从A点爬到B 点 那么沿哪条路最近 最短的路程是多少 例 8 如图 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm 高为 6cm 如果用一根细 线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B 那么所用细线最短需要 cm 如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕圈到达点 B 那么所用细线最短需要 n cm 例 9 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高分别为 20dm 3dm 2dm A 和 B 是这个台阶两个相对的端点 A 点有一只蚂蚁 想到 B 点去吃可口的食 物 则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是 3 2 20 B A 例 9 B A 6cm 3cm 1cm 例 8 例 10 如图 公路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA AB 于 A CB AB 于 B 已知 DA 15km CB 10km 现在要在公路 AB 上 建一 车站 E 1 使得 C D 两村到 E 站的距离相等 E 站建在离 A 站多少 km 处 2 DE 与 CE 的位置关系 3 使得 C D 两村到 E 站的距离最短 E 站建在离 A 站多少 km 处 例 11 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成 气旋风暴 有极强的破坏力 如下图 据气象观测 距沿海某城市 A 的正南方 向 220 千米的 B 处有一台风中心 其中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20 千米 风力就会减弱一级 该台风中心现正以 15 千米 时的速度沿北偏东 300方向往 C 移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或超过四级 则称为受台风影响 1 该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由 2 若会受到台风影响 那么台风影响该城市的持续时间有多长 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 A D E B C C B A 问题二图 练习练习 1 已知 如图 折叠长方形的一边 AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10 cm EC 的长是 2 如图 从电线杆离地面 6 m 处向地面拉一条长 10 m 的缆绳 这条缆绳在地 面的固定点距离电线杆底部 m 3 为了丰富少年儿童的业余生活 某社区要在如图所示 AB 所在的直线建一图 书室 本社区有两所学校所在的位置在点 C 和点 D 处 CA AB 于 A DB AB 于 B 已知 AB 25km CA 15 km DB 10km 试问 图书室 E 应该建在距点 A 多少 km 处 才能使它到两所学校的距离相等 A BC D E F B D EAx 第四讲第四讲 函数的初步认识函数的初步认识 知识点一 变量知识点一 变量 例例 1 写出下列各问题中的函数关系式 并指出其中的常量与变量 1 圆的周长 C 与半径 r 的函数关系式 2 厦门 BRT 以 60km h 的速度行驶 它行驶的路程 S km 与所用的时间 t h 的函数关系式 3 n 边形的内角和度数 S 与边数 n 的函数关系式 4 n 边形对角线条数 S 与边数 n 的函数关系式 5 等腰三角形顶角度数 y 与底角的度数 x 之间的函数关系式 6 已知等腰三角形的面积为 20 设它的底边长为 x 求底边上的高 y 关于 x 的函数关系式 7 在一个半径为 10 的圆形纸片中剪出一个半径为 r 的同心圆得到一个圆环 求圆环的面积 S 关于 r 的函数关系式 8 一个正方形边长为 3 它的各个边长减少 x 后 得到的新的正方形的周长 为 y 求 y 与 x 的函数关系式 例 2 指出下列自变量 x 的取值范围 1 确定自变量 因变量 2 求变量的值或取值范围 1 2 3 4 33yx 2 27yx 1 2 y x 2yx 例 3 找出下列哪些是函数 21yx 2yx 2 yx 1 1y x 33yx 3yx 例 4 当 x 16 时 函数 y 2 的值为 x 练习 练习 1 在圆周长公式 C 2 r 中 变量个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 函数 y 中 自变量 x 的取值范围为 x 1 3 已知等腰三角形的周长为 20 底边长为 y 腰长为 x 写出 y 与 x 的函数关系式 并注明 x 的取值范围 知识点二 表达方法知识点二 表达方法 例例 1 1 图像法 图像法 问题 1 这一天 6 时 10 时 14 时的气温分别是多少 问题 2 这一天中 最高气温是多少 最低气温是多少 1 图像法图像法2 列表法列表法3 解析法解析法 问题 3 这一天中 什么时段的气温在逐渐升高 什么时段的气温在逐渐降低 2 列表法 列表法 一 下表是 2006 年 8 月中国人民银行公布的 整存整取 年利率 存期 X三月六月一年二年三年五年 年利率 y 1 802 252 523 063 694 14 3 解析式法 解析式法 设 S 表示圆的面积 r 表示圆的半径 则 S 与 r 之间满足下列关系 S 假 2 r 设 取 3 填写下列表格 半径 r1234 圆面积 S3 故有故有 S 3 2 r 知识点三 平面直角坐标系知识点三 平面直角坐标系 例例 1 请在同一直角坐标里描出下列各点 A 3 8 B 3 8 C 3 8 D 3 8 E 3 0 F 0 3 G 3 0 H 0 3 1 象限坐标 象限坐标 X Y 轴坐标轴坐标 2 点对称问题点对称问题 3 点到坐标轴的距离点到坐标轴的距离 我们发现每个象限内点的特征 我们发现每个象限内点的特征 坐标轴上点的特征 坐标轴上点的特征 我们又发现我们又发现 A B 关于关于 对称 对称 A D 关于关于 对称 对称 A C 关于关于 对称对称 若点若点 Q 2 3 关于关于 Y 轴的对称点为轴的对称点为 关于 关于 X 轴的对称点为轴的对称点为 关于原点的对称点为 关于原点的对称点为 例 2 点在第 象限 22 1 0 aaa 例 3 点 a 2 和点 2 b 关于 Y 轴对称 则 a b 例 4 已知 A 1 1 B 1 1 点 A 到 X 轴的距离为 点 B 到 Y 轴 的距离为 AB 两点间的距离为 例 5 若到 X 轴的距离为 3 则 A 点坐标为 2 Aa 例 6 若点 P 一 3 一 4 的横坐标变为相反数 纵坐标乘以一 2 此时新点的坐 标是 例 7 如果 a b 0 且 ab 0 那么点 a b 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 练习 练习 1 判断下列各题 2 3 和 3 2 表示同一个点 点 4 1 和 4 1 关于原点对称 坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为 0 点 在第一象限 2 3 2 点 A 2 3 关于 X 轴的对称点为 关于 Y 轴的对称点为 关于 原点的对称点为 3 若点 P a b 在第四象限 则点 Q b a 在第 象限 4 点 P 2 3 到 x 轴的距离是 到 y 轴的距离是 5 若点 a 3 与点 2 b 关于 x 轴对称 则 a b 6 已知点 M 3x 2 2x 1 在 x 轴上 则 M 点的坐标为 备用图 7 若 m n0 则 P m n 在第 象限 8 小丽的爷爷饭后出去散步 从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的街心花园 与朋友聊天 10 分钟后 用 15 分钟返回家里 下面图形中表示小丽爷爷离家的时 间与外出距离之间的关系是 综合练习 综合练习 1 点 0 2 在 A x 轴上 B y 轴上C 第三象限内 D 第 四象限内 2 求下列函数中自变量 x 的取值范围 1 y 3x 1 2 y 2x2 7 3 y 2 1 x 4 y 5 y 2x 5x2 6 y x x 3 2 x 7 y 8 y 3 6 x x 12 x 3 已知点 P 在第四象限 它的横坐标与纵坐标的和为 l 点 P 的坐标可以是 只要求写出符合条件的 个点的坐标即可 4 如图 矩形 ABCD 中 已知 A 4 1 B 0 1 C 0 3 则点 D 的 坐标为 A B C D ox y 5 请在同一直角坐标里描出下列各点 A 3 8 B 3 8 C 3 8 D 3 8 E 4 0 F 0 4 G 4 0 H 0 4 备用图 第五讲第五讲 一次函数一次函数 知识点一 图像知识点一 图像 例例 1 已知函数 当 x 时 函数值为 0 35 xy 例 2 当 x 时 P 1 x 1 2x 在 x 轴上 例 3 在同一坐标系内画出下列函数的图像 3 xy7 xy 步骤一 列表 X0 Y0 步骤二 描点步骤三 连线 X0 Y0 画图像三步骤 列表 描点 连线画图像三步骤 列表 描点 连线 备用图 练习练习 1 在同一坐标系内画出下列函数的图像 3 xy7 xy 步骤一 列表 X0 Y0 步骤二 描点 步骤三 连线 知识点二 图像与知识点二 图像与 X Y 轴的交点坐标轴的交点坐标 例例 1 直线与 X 轴和 Y 轴的交点坐标分别为 1 2 2 yx 若点 m 2m 7 在这个函数的图象上 则 m 例 2 已知函数 找出到轴距离等于 1 5 的点的坐标为23yx y 例 3 直线 分别交 轴于 A B 两点 是原点 求的面 2 2 3 yx xyOAOB X0 Y0 1 与 与 X 轴交点坐标为 轴交点坐标为 0 2 与 与 Y 轴交点坐标为轴交点坐标为 0 备用图 积 请把图像画在上面的备用图请把图像画在上面的备用图 练习 练习 1 直线过点 0 0 43yx 直线过点 0 0 1 2 3 yx 2 分别求出下列直线与 x y 轴的交点坐标 1 2 3 2yx 32yx 33 xy 3 直线 y 2x 2 与 x y 轴围成的三角形的面积是多少 知识点三 待定系数法求解析式知识点三 待定系数法求解析式 例 1 一次函数的图象经过点 3 3 和 1 1 求它的函数 0 kbkxy 关系式 并画出图象 1 设 设 0 kbkxy 2 把点坐标分别代入 把点坐标分别代入 3 联立求解 联立求解 2 根据条件写出相应的函数关系式 1 直线经过点 2 1 5ykx 2 一次函数中 当时 当时 1x 3 y 1x 7y 练习练习 1 已知一次函数的图像经过点 1 1 和 1 5 求当 5 时 函ykxb x 数的值 y 2 写出两个一次函数 使它们的图像都经过点 2 3 3 已知一次函数 y kx b k 0 当 x 1 时 y 3 当 x 0 时 y 2 则 函数解析式为 函数不经过第 象限 4 一次函数 是常数 的图象如图所示 则不等式ykxb kb 0k 的解集是 0kxb A B C D 2x 0 x 2x 0 x 5 直线 y 2x b 与 x 轴交于 1 0 则不等式 2x b0 b 0 例例 1 已知一次函数 y kx b 的图象过第一 二 三象限 则 k b 的符号是 A k 0 b 0 B k 0 b 0 C k0 D k 0 b0 b0 决定 决定 y 随随 x 的增大而增大且图像必过一 三象限的增大而增大且图像必过一 三象限 2 b 0 决定直线与 决定直线与 y 轴的交点在轴的交点在 y 正半轴正半轴 1 k 0 决定 决定 y 随随 x 的增大而增大且图像必过一 三象限的增大而增大且图像必过一 三象限 2 b 0 决定直线与 决定直线与 y 轴的交点在轴的交点在 y 负半轴负半轴 例例 1 如果直线 y kx b 经过一 三 四象限 那么有 A k 0 b 0 B k 0 b 0 C k 0 b 0 D k 0 b 0 例 2 对于一次函数 y x 4 函数值 y 随 x 的增大而 3 5 例 3 已知一次函数 y kx k 若 y 随 x 的增大而增大 则该函数的图象不经过第 象限 练习练习 1 已知一次函数32 xy的大致图像为 知识点三 性质知识点三 性质 3 k0 例例 1 如果直线 y kx b 经过一 二 四象限 那么有 A k 0 b 0 B k 0 b 0 C k 0 b 0 D k 0 b 0 例 2 已知 A a b B c d C e f 是函数 y x 3 的图象上的点 且 a c e b d f 的 大小关系 例 3 已知一次函数 y kx k 若 y 随 x 的增大而减小 则该函数的图象不经过第 象限 练习练习 1 在平面直角坐标系中 函数 y x 3 的图象经过 A 一 二 三象限 B 二 三 四象限C 一 三 四象 限 D 一 二 四象限 2 一次函数ykxb 的图象如图所示 当0y 时 x的取值范围 是 1 k0 决定直线与 决定直线与 y 轴的交点在轴的交点在 y 正半轴正半轴 o y x o y x y x o o y x 2 3 第 2 题图 y x O A 0 x B 0 x C 2x D 2x 知识点四 性质知识点四 性质 4 k 0 b 0 例例 1 一次函数 y 5x 3 的图象不经过第 象限 例 2 已知一次函数 y kx k 若 y 随 x 的增大而减小 则该函数的图象不经过第 象限 例 3 一次函数中 y 随 x 的增大而减小 则 m 的取值范围是5 62 my 练习练习 1 已知一次函数 y kx k 若 y 随 x 的增大而减小 则该函数的图象不经过第 象限 2 已知关于 x 的函数 y m 2 x n 的图象经过第一 二 四象限 则 m n 的取值范围 知识点五 两直线位置关系知识点五 两直线位置关系 平行平行 相交相交 重合重合 例例 1 分别在同一直角坐标系内画出下列直线 并指出每一小题中两条直线的 位置关系 并求出它们的交点坐标 1 2 2yx 2 xy32yx 2 2 3 yx 1 平行 平行 k 相等 相等 2 相交 相交 k 不相等 求交点必联立不相等 求交点必联立 1 k 0 决定 决定 y 随随 x 的增大而减小且图像必过二 四象限的增大而减小且图像必过二 四象限 2 b0 则 y 随 x 的增大而增大且图像必过 象限 3 k 0 则 y 随 x 的增大而增大且图像必过 象限 备用 例 1 若函数 y 4 m x是正比例函数 则 m 的值是 A 4 B 2 C 4 或 2 D 2 例 2 若函数 则下列坐标不在直线上的是 xy3 A 2 6 B 1 3 C 4 5 D 0 0 例 3 若正比例函数 y 1 2m x 的图象经过点 A x1 y1 和点 B x2 y2 当 x1y2 则 m 的取值范围是 A m0 C m 2 1 2 1 练习练习 1 写出一个 y 随 x 的增大而增大的正比例函数的解析式 2 直线 y x 的图像过 象限 3 下列说法正确的是 A 正比例函数是一次函数 B 一次函数是正比例函数 C 变量 x y 是 x 的函数 但 x 不是 y 的函数 D 正比例函数不是一 次函数 一次函数也不是正比例函数 4 下列函数关系式 y 一 x y 2x 11 y x2 x 1 y 其中 x 1 一次函数的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 结合正比例函数 y 4x 的图象回答 当 x 1 时 y 的取值范围是 A y 1 B 1 y4 知识点三 待定系数法求解析式知识点三 待定系数法求解析式 例例 1 已知直线 y kx 经过 2 6 则 k 的值是 A 3 B 3 C 1 3 D 1 3 1 设 设 0 kkxy 2 把点坐标分别代入 把点坐标分别代入 3 联立求解 联立求解 例 2 已知 y 与 x 成正比例 当 x 4 时 y 3 1 写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 y 与 x 之间是什么函数关系 3 求 x 3 时 y 的值 练习练习 1 一个正比例函数的图像过点 2 3 它的表达式为 A B C D 3 2 yx 2 3 yx 3 2 yx 2 3 yx 2 如果正比例函数的图象经过点 2 3 那么这个函数的解析式是 3 已知 y 与 x 一 3 成正比例 当 x 4 时 y 3 1 写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 y 与 x 之间是什么函数关系 3 求 x 2 5 时 y 的值 知识点四 求交点知识点四 求交点 例 1 直线 y 2x 1 与直线 y 3x 的交点坐标为 例 2 直线 y bx 1 与直线 y ax 的交点坐标为 1 2 则 a b 练习 练习 1 求两直线的交点坐标1 2 21 xylxyl 2 写出同时具备下列两个条件的正比例函数表达式 写出一个即可 1 设 设 0 kkxy 2 联立求解 联立求解 1 y 随着 x 的增大而减小 2 图象经过点 1 3 3 两直线 y 2x m 与直线 y x 1 的交点在 x 轴上 则 m 综合练习 1 下列函数关系中表示一次函数的有 y 2x l y y s 60t y 100 25x x 1 2 1 x A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 甲 乙两人在一次赛跑中 路程 s 与时间 t 的关系如图所示 图中实线为甲 的路程与时间的关系图象 虚线为乙的路程与时间的关系图象 小王根据图象得到如下四个信息 其中错误的是 A 这是一次 1500 米的赛跑 B 甲 乙两人中乙先到达终点 C 甲 乙同时起跑 D 甲的这次赛跑中的速度为 5 米 秒 3 已知一次函数的图象经过点 1 2 和 2 1 1 求此一次函数的解析式 2 求此函数与轴 轴的交点坐标xy 3 作出此一次函数的图象 4 求出此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积 4 已知函数求当 取何值时 2 53 n ymxmn mn 1 是正比例函数 2 是一次函数 283300 t 秒 S 米 1500 1000 500 甲 乙 第八 九讲第八 九讲 平行四边形性质与判定平行四边形性质与判定 知识点一 知识点一 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 表示 平行四边形用符号 来表示 平行四边形 ABCD 记作 ABCD 读作 平行四边形 ABCD 平行四边形性质平行四边形性质 1 平行四边形的对边相等 平行四边形的对边相等 平行四边形性质平行四边形性质 2 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角相等 例例 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 AE CF 求证 AF CE 练习练习 1 填空 1 在ABCD 中 A 则 B 度 C 度 D 度 50 2 如果ABCD 中 A B 240 则 A 度 B 度 C 度 D 度 3 如果ABCD 的周长为 28cm 且 AB BC 2 5 那么 AB cm BC cm CD cm CD cm 2 如图 4 3 9 在ABCD 中 AC 为对角线 BE AC DF AC E F 为垂 足 求证 BE DF 知识点二 知识点二 平行四边形的性质 具有一般四边形的性质 内角和是具有一般四边形的性质 内角和是 360 角 平行四边形的对角相等 邻角互补 角 平行四边形的对角相等 邻角互补 边 平行四边形的对边相等 边 平行四边形的对边相等 平行四边形是中心对称图形 两条对角线的交点是对称中心 平行四边形是中心对称图形 两条对角线的交点是对称中心 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分 例例 2 已知 如图 4 21 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O EF 过点 O 与 AB CD 分别相交于点 E F 求证 OE OF AE CF BE DF 例 3 若例 2 中的条件都不变 将 EF 转动到图 b 的位置 那么例 1 的结论是否 成立 若将 EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交 图 c 和 图 d 例 1 的结论是否成立 说明你的理由 例例 4 已知四边形 ABCD 是平行四边形 AB 10cm AD 8cm AC BC 求 BC CD AC OA 的长以及ABCD 的面积 练习 练习 1 在平行四边形中 周长等于 48 已知一边长 12 求各边的长 已知 AB 2BC 求各边的长 已知对角线 AC BD 交于点 O AOD 与 AOB 的周长的差是 10 求各边的长 2 如图 ABCD 中 AE BD EAD 60 AE 2cm AC BD 14cm 则 OBC 的周长是 cm 3 ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成 的两条线段 cm5cm7 则ABCD 的周长是 cm 知识点三 知识点三 平行四边形判定方法平行四边形判定方法 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法平行四边形判定方法 2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法平行四边形判定方法 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法平行四边形判定方法 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法平行四边形判定方法 5 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例例 5 已知 如图ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O E F 是 AC 上的两点 并且 AE CF 求证 四边形 BFDE 是平行四边形 例例 6 已知 如图 A B BA B C CB C A AC 求证 1 ABC B CAB A BCA C 2 ABC 的顶点分别是 B C A 各边的中点 例例7 已知 如图 ABCD中 E F分别是AD BC的 中点 求证 BE DF 例例8 已知 如图 ABCD中 E F分别是AC上两点 且BE AC于E DF AC于F 求证 四边形BEDF是平 行四边形 练练习习 1 如图 在四边形ABCD中 AC BD相交于点O 1 若AD 8cm AB 4cm 那么BC cm CD cm时 四边形ABCD为平行四边形 2 若AC 10cm BD 8cm 那么当AO cm DO cm时 四边形ABCD为平行四边形 2 已知 如图 ABCD 中 点 E F 分别在 CD AB 上 DF BE EF 交 BD 于点 O 求证 EO OF 3 已知 如图 在ABCD中 AE CF分别是 DAB BCD的平分线 求证 四边形 AFCE 是平行四边形 知识点四 知识点四 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行与第三边 且等于第三边的一半 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行与第三边 且等于第三边的一半 五五 例例习习题题分分析析 例例9 如图 点D E 分别为 ABC 边 AB AC 的中点 求证 DE BC 且 DE BC 2 1 例例 10 已知 如图 1 在四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 求证 四边形 EFGH 是平行四边形 练习练习 1 填空 如图 A B 两点被池塘隔开 在 AB 外选一 点 C 连结 AC 和 BC 并分别找出 AC 和 BC 的中点 M N 如果测得 MN 20 m 那么 A B 两点的距离是 m 理由是 2 已知 三角形的各边分别为 8cm 10cm 和 12cm 求 连结各边中点所成三角形的周长 3 如图 ABC 中 D E F 分别是 AB AC BC 的中 点 1 若 EF 5cm 则 AB cm 若 BC 9cm 则 DE cm 2 中线 AF 与 DE 中位线有什么特殊的关系 证明你的猜想 综合综合练习练习 1 在下列图形的性质中 平行四边形不一定具有的是 A 对角相等 B 对角互补 C 邻角互补 D 内角和是 360 2 在ABCD 中 如果 EF AD GH CD EF 与 GH 相交与点 O 那么图中的 平行四边形一共有 A 4 个 B 5 个 C 8 个 D 9 个 3 下列条件中能判断四边形是平行四边形的是 A 对角线互相垂直 B 对角线相等 C 对角线互相垂直且相等 D 对角线互相平分 4 判断对错 1 在ABCD 中 AC 交 BD 于 O 则 AO OB OC OD 2 平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等 3 平行四边形的两组对边分别平行且相等 4 平行四边形是轴对称图形 5 在 ABCD 中 AC 6 BD 4 则 AB 的范围是 6 在平行四边形 ABCD 中 已知 AB BC CD 三条边的长度分别为 x 3 x 4 和 16 则这个四边形的周长是 7 如图 AD BC AE CD BD 平分 ABC 求证 AB CE 8 公园有一片绿地 它的形状是平行四边形 绿地 上要修几条笔直的小路 如图 AB 15cm AD 12cm AC BC 求小路 BC CD OC 的长 并算出绿地的面积 9 已知 如图 ABC BD平分 ABC DE BC EF BC 求证 BE CF 第十讲第十讲 特殊平行四边形特殊平行四边形 知识点一 矩形定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识点一 矩形定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 通常也叫长方形通常也叫长方形 矩形性质矩形性质 1 矩形的四个角都是直角 矩形的四个角都是直角 矩形性质矩形性质 2 矩形的对角线相等 矩形的对角线相等 矩形判定方法矩形判定方法 1 对角钱相等的平行四边形是矩形 对角钱相等的平行四边形是矩形 矩形判定方法矩形判定方法 2 有三个角是直角的四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 例例 1 已知 如图 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O AOB 60 AB 4cm 求矩形对角线的长 例例 2 已知 如图 矩形 ABCD AB 长 8 cm 对角线 比 AD 边长 4 cm 求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的 长 例 2 已知 如图 矩形 ABCD 中 E 是 BC 上一点 DF AE 于 F 若 AE BC 求证 CE EF 例例 3 下列各句判定矩形的说法是否正确 为什么 1 有一个角是直角的四边形是矩形 2 有四个角是直角的四边形是矩形 3 四个角都相等的四边形是矩形 4 对角线相等的四边形是矩形 5 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 6 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 7 对角线相等 且有一个角是直角的四边形是矩形 8 一组邻边垂直 一组对边平行且相等的四边形是矩形 9 两组对边分别平行 且对角线相等的四边形是矩形 例例 4 已知 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O AOB 是等边三角形 AB 4 cm 求这个平行四边 形的面积 例例5 已知 如图 1 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E F G H 求证 四边形 EFGH 是矩形 练练习习 1 下列说法正确的是 A 有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B 有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C 对角线互相平分的四边形是矩形 D 对角互补的平行四边形是矩形 2 1 矩形的定义中有两个条件 一是 二是 2 已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30 则矩形两条对角线相交所得 的四个角的度数分别为 3 已知矩形的一条对角线长为 10cm 两条对角线的一个交角为 120 则矩 形的边长分别为 cm cm cm cm 3 1 下列说法错误的是 A 矩形的对角线互相平分 B 矩形的对角线相等 C 有一个角是直角的四边形是矩形 D 有一个角是直角的平行四边形是矩 形 2 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有 A 2 对 B 4 对 C 6 对 D 8 对 4 已知 如图 O 是矩形 ABCD 对角线的交点 AE 平分 BAD AOD 120 求 AEO 的度数 5