江苏省学业水平测试指导用书数学第七章平面向量

第七章第七章 平面向量平面向量 7 1 平面向量的概念平面向量的概念 知识要点 1 平面向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量 2 向量的表示 常用一条有向线段来表示 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向 量的方向 以 A 为起点 B 为终点的向量 记为 也可用小写黑体字母 a b c 等表AB 示 手写时写成带箭头的小写字母 等 a b c 3 向量的长度 或模 向量的大小称作向量的长度 或模 向量的长度 记作 向量 a 的长度 记作 a 手写时可写成 AB AB a 4 零向量 长度为 0 的向量叫做零向量 记作 0 手写成 0 5 单位向量 长度为 1 个单位长度的向量叫做单位向量 记作 e 6 相等向量 或同一向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 或同一向量 向量 a 与 b 相等 记作 a b 7 相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 向量 a 与 b 相反 记作 a b 8 平行向量 或共线向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 或共线向量 向量 a b 平行 记作 a b 规定 零向量与任何向量平行 即 0 a 基础训练 1 向量是既有 又有 的量 2 长度相等且方向相同的向量叫做 向量 或 长度相等且方向相反的 向量叫做 向量 如果两个非零向量方向相同或相反 就说这两个向量 3 在平行四边形 ABCD 中 与向量平行的向量是 与向量AB 相等的向量是 与向量相反的向量是 AB AB 能力训练 1 一个等腰三角形的腰长为 2 底边长为 3 其顶点能构成多少个向量 试写出这些 向量并求它们的模 2 下列结论中正确的是 A 若 a 和 b 都是单位向量 则 a b B 若两个向量相等 则它们的起点和终点分别重合 C 两个相等向量的模相等 D 模相等的两个平行向量是相等的向量 7 2 平面向量的加法 减法和数乘向量平面向量的加法 减法和数乘向量 知识要点 1 平面向量的加法 1 已知向量 a b 在平面内任取一点 A 作a b 则向量叫做AB BC AC a b 的和 或和向量 记作 a b 即 a b ABBCAC 求两个向量和的运算叫做向量的加法 2 三角形法则 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法 称为向量加法的三角 形法则 3 平行四边形法则 对于不共线的非零向量 a b 以任意点 O 为起点分别作 a b 以 OA OC 为邻边作平行四边形 OABC 则以 O 为起点的对角线向量OA OC 就是向量 a b 的和 这样的方法称为向量加法的平行四边形法则 OB 4 对于任一向量 a 有 a 0 a a a 0 5 向量的加法满足交换律 结合律 即 a b b a a b c a b c AB CD 第 5 题图 A B C D E F O 2 平面向量的减法 已知向量 a b 在平面内任取一点 O 作a b 则由向量求和的三角形OA OB 法则 得 ba 向量叫做向量 a b 的差 记作 a b 即a b BA BA BA OAOB 求两个向量差的运算 叫做向量的减法 向量的减法是向量加法的逆运算 即 a b a b 当向量 a b 的起点相同时 两个向量的差 a b 是减向量 b 的终点到被减向量 a 的终点 的向量 3 平面向量的数乘运算 实数 与向量 a 的积是一个向量 记作 a 它的长度和方向规定如下 1 a a 2 当 0 时 a 与 a 方向相同 当 0 时 a 与 a 方向相反 当 0 时 a 0 实数 与向量 a 相乘 叫做向量的数乘 向量数乘满足下面的运算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 为任意实数 基础训练 1 ABBCCD AB AD AB OA OB 2 在 ABC 中 AB BC AB AC 3 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB AD AB DB AB DC 4 如图 在四边形 ABCD 中 AB BD AB AD ADDO AB BD DC ABBOOCCD 5 如图 O 是正六边形 ABCDEF 的中心 则 OA OB CDAF OAEF ABBCCD DEEFFA 6 计算 A B C D 第 4 题图 O AB CD 第 3 题图 O 第 5 题图 A B C D E F O 1 5 a b 2 a b 2 5 a 2b 2 a 3b 7 3 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 知识要点 1 在平面上 建立一个直角坐标系 xOy 若设 x 轴正方向上的单位向量为 i y 轴正方 向上的单位向量为 j 则 x 轴上的向量可以表示成 xi 的形式 y 轴上的向量总可以表示成 yj 的形式 其中 x y 分别是它们的终点在数轴上的坐标 2 平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一地表示成 a xi yj 的形式 3 我们把 a xi yj 叫做向量 a 的坐标形式 把 xi 叫做向量 a 在 x 轴上的分向量 把 yj 叫做向量 a 在 y 轴上的分向量 把有序数列 x y 叫做向量 a 在直角坐标系中的坐标 记作 a x y 其中 x 叫做向量 a 的横坐标 y 叫做向量 a 的纵坐标 a x y 叫做向量 a 的坐 标表示 4 向量 a xi yj 的模 a 22 xy 5 设 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 6 c x y 为一实数 则 c x y 7 两非零向量平行的充要条件 设两个非零向量 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1 y2 x2 y1 0 基础训练 1 点 A 的坐标为 5 1 向量的坐标为 向量 a 2i 3j 向量 a 的坐OA 标为 2 已知 a 4 3 b 5 2 则 a b a b 5a b 2a 3b 3 已知 A B 两点的坐标 求 的坐标 AB BA 1 A 5 3 B 3 2 2 A 2 1 B 5 1 4 计算下列向量的模 1 a 4 6 2 b 5 2 3 c 3 4 5 向量 a x 2 b 3 6 当 x 为何值时 a b 能力训练 1 已知 a 3 4 且 a 10 求 7 4 平面向量的内积平面向量的内积 知识要点 1 平面向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b 作a b 则 AOB 叫做向量 a 和 b 的夹角 记OA OB 作 规定 0 180 当 0 时 向量 a 和 b 同向 当 180 时 向量 a 和 b 反向 当 90 时 称向量 a 和 b 垂直 记作 a b 2 平面向量的内积 把 a b cos 这个乘积叫做向量 a 和 b 的内积 或数量积 记作 a b 即 a b a b cos 0 规定 零向量与任意向量的内积为实数 0 3 两个向量内积的性质 1 当 a 和 b 同向时 a b a b 特别地 当 a b a a a a 或 a a a 2 当 a 和 b 反向时 a b a b 3 当 a b 时 a b 0 4 向量的内积运算满足的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b 3 a b c a c b c 5 用向量的坐标求内积 设平面向量 a x1 y1 b x2 y2 则这两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和 即 a b x1 x2 y1 y2 当 a b 是两个非零向量时 cos b ba a b ba a 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0 基础训练 1 已知 a 3 b 4 a 与 b 的夹角为 30 求 a b 2 已知 a a