九年级数学平面直角坐标系与函数的概念人教版知识精讲

初三数学初三数学平面直角坐标系与函数的概念平面直角坐标系与函数的概念人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 平面直角坐标系与函数的概念 典型例题典型例题 例 1 填空题 1 在平面直角坐标系中 坐标平面内的点与 之间是一一对应的 2 已知点 M a 1 2 a 的位置在第一象限 则 a 的取值范围是 3 已知点 P m n 是第四象限的点 则点 m 1 n 1 是第 象限的点 已知点到 轴的距离为 则 点 到 轴的距离为 434P mymPx 5 点 P 5 3 到 x 轴的距离等于 到 y轴的距离等于 到原点的 距离等于 6 点 P 3 y 在一 三象限的角平分线上 则 y 点 M a 2 1 在二 四象限的角平分线上 则 a 7 点 A 2 3 关于 x 轴的对称点 A1的坐标为 点 A 关于 y轴的对称点 A2的坐标为 点 A 关于原点的对称点 A3的坐标为 8 在 x 轴上到点 A 2 0 距离为 5 的点的坐标为 9 已知点 M 到 x 轴的距离是 3 到 y轴的距离是 2 那么点 M 的坐标是 函数的自变量 的取值范围是 10 33 2 y x x x 分析 分析 1 在数轴上的点和实数之间是一一对应的 坐标平面内的点和有序实数对之间是一 一对应的 故填有序实数对 2 对于平面直角坐标系中各个象限的点 坐标轴上的点的横 纵坐标的特点要熟 悉 第一象限的点的横 纵坐标都是正数 因此由题意可得 解此不等式组得 a a 10 20 12a 由 是第四象限的点 则有 则3 0 0 10 10 P m n m n 点 是第四象限的点mn11 到 轴的距离为 则有 故 43444P mymm 点 到 轴的距离为Px 33 5 点 P 到 x 轴的距离等于 3 3 到 y轴的距离等于 5 5 到原点的距离等于 5334 22 6 点 P 3 y 在一 三象限的角平分线上 则 y 3 点M a 2 1 在二 四象 限的角平分线上 则 a 2 1 故 a 1 7 A1的坐标为 2 3 A2的坐标为 2 3 A3的坐标为 2 3 8 设所求点的坐标为 x 0 则 x 2 5 解得 x1 3 x2 7 故所求点的坐标为 3 0 7 0 设点的坐标为 则有9Mxy x y 2 3 故 M 点坐标为 2 3 2 3 2 3 或 2 3 由题意可得 且10 20 30 32 x x xx 例 2 已知点 是第三象限内的整数点 则 点的坐标是 PaaP282 分析 分析 整数点 即这个点的横 纵坐标均为整数 解 解 点 P 2a 8 2 a 在第三象限内 280 20 24 a a a 点 P 为整数点 a 为整数 a 3 P 点坐标为 2 1 例 3 在平面直角坐标系 xOy中 已知 A 2 2 在 y轴上确定点 P 使 AOP 为等 腰三角形 则点 P 的坐标为 y x O A 2 2 解 解 A 2 2 O 0 0 OA222 2 22 又 P 点在 y轴上 设 P 0 a 当时 则 12 22OPOAaa 则 点坐标为 或 P02 202 2 当时 22 222 2 22 OAAPa 解得 舍 则点 坐标为 aaP 12 0404 当时 则322 222 OPPAaa 解得 则 点坐标为 aP 202 P点的坐标为 或 02 202 20402 小结 1 注意分类讨论 2 注意特殊点的坐标 以及点的坐标与两点间的距离之间的关系 例 4 已知 如图 边长为 1 的正方形 OABC 在直角坐标系 xOy中 B C 两点在第二象 限 OA 与 x 轴的夹角为 60 求点 B 的坐标 O C B A y DEx 分析 分析 要求 B 点的坐标 实际上应满足两个条件 一是知道 B 点所在的象限 二是知 道点 B 到 x y轴的距离 显然此题中已知 B 点在第二象限 只需求出 B 到 x y轴的距离 解 解 延长 BC 交 x 轴于 D 过 B 作 BE x 轴于 E 在中 Rt ODCCODOC 301 则 tan COD CD OC CDOCCODtantan130 3 3 ODCD 22 3 3 2 3 3 BDCDBC 3 3 1 33 3 在中 Rt BDEBDEBDBDE BE BD 60 33 3 sin BEBDBDEsin 33 3 3 2 31 2 DEBDBDE cos 33 3 1 2 33 6 OEODDE 2 3 3 33 6 31 2 B 在第二象限 B点坐标为 13 2 31 2 例 5 如图 直角坐标系中 过点 C 3 6 分别作 x 轴和 y轴的垂线 CB 和 CA 垂足 分别为 B 和 A 若 P 点从 O 沿 OB 向 B 以 1 个单位长度 秒的速度运动 Q 点从 B 沿 BC 向点 C 以 2 个单位长度 秒的速度运动 如果 P Q 分别从 O B 同时出发 试求 1 经过多长时间 PBQ 的面积等于 2 个平方单位 2 线段 PQ 与 AB 能否垂直 若垂直 求出此时点 Q 的坐标 若不能 说明理由 y x AC 3 6 Q M BOP 分析 分析 PBQRtSPB BQBP BQ PBQ 是 其中 因此只需求出的表达式 然后解 1 2 出未知量即可 对于第二问 我们可以先假设会出现垂直 解出相应的时间 再看与题意 和假设是否相符合即可 解 解 1 设经过 x 秒 PBQ 的面积等于 2 个平方单位 C 点坐标为 3 6 BC 6 OB 3 又 OP x BQ 2x BP 3 x 又 S PBQ 2 1 2 2BP BQ 即 1 2 232 xx xx 2 320 21 21 xx或 即经过 1 秒或 2 秒 PBQ 的面积等于 2 个平方单位 2 假设经过 a 秒 线段 PQ 与 AB 能垂直 则 OPaBPaBQa 32 又 PQ ABMQBMBQMBQMBO PQBABOQBPAOB 90 AOBPBQ PB BQ OA OB a a 6 3 2 1 3 2 2 1 即 aBQaQ 3 5 2 6 5 3 6 5 线段与能垂直 点坐标为 PQABQ3 6 5 例 6 如图 周长为 24 的凸五边形 ABCDE 被对角线 BE 分为等腰三角形 ABE 和矩形 BCDE 且 AB AE ED 设 AB 的长为 x CD 的长为 y 求y与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 A B C E D 解 解 四边形 BCDE 是矩形 BC DE 又 AB AE BC DE CD 24 而 AB AE ED AB x CD y 4x y 24 yx244 又 BE CD y 在中 ABEABAEBEABAE 即02 yx 0244 2244 x xx 46x 所求的函数关系式为 自变量 的取值范围为yxxx24446 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 函数的自变量 x 的取值范围是 yx 3 A B C D x 3x 3x 3x 3 2 点 P 3 4 关于原点的对称点的坐标是 A 3 4 B 3 4 C 3 4 D 3 4 3 点在 x 轴上 则 a 的值为 P aa 12 A 1B 1C 2D 2 4 若点 M在第四象限 则点 N在 ab abab A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 5 已知点是第四象限的点 且 则点 P 的坐标是 P xy xy 23 A B C D 23 23 32 32 6 A B 两点在同一坐标轴上 A 点的坐标是 2 0 且 AB 5 则 B 点坐标是 A 3 0 B 7 0 C 3 0 或 7 0 D 3 0 或 7 0 7 已知三个顶点的坐标分别是 8 0 2 0 0 4 则此三角形是 ABC A 等腰三角形B 等边三角形 C 直角三角形D 等腰直角三角形 8 下列各组函数中 两个函数相同的是 A B yxyx 与 2 yxyx 与 2 C D yxy x x 与 2 yxy x x 1 0 二 填空题 1 点到 x 轴的距离为 则 a P aa 52 3 2 点 关于 y轴对称 则 x y Py 2 Q x 3 3 函数的自变量 x 的取值范围是 y x x 1 4 点 P 坐标为 且点 P 到两坐标轴的距离相等 则点 P 的坐标为 236 aa 5 已知点在第四象限 且 m 为偶数 则 m 的值为 24mm 6 若点 M在第二象限 则点 N在第 象限 121 ab ab 112 7 已知点 A在第二象限 化简 233xx 49123 2 xxx 8 函数的自变量 x 的取值范围是 y x x 33 2 9 等腰三角形 ABC 的周长为 10cm 底边 BC 长为 ycm 腰AB 长为 xcm 则 y关于 x 的函数关系式是 其中自变量 x 的取值范围是 10 为了加强公民的节水意识 某市制定了如下用水收费标准 每户每月用水不超过 10 吨时 水价为每吨 1 2 元 超过 10 吨时 超过的部分按每吨 1 8 元收费 该市某户居民 5 月份用水 x 吨 应交水费 y元 则 y关于 x 的函数关系式是 三 解答题 1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC 在直角坐标系中的位置如图 求顶点 A B C 的坐 标 Ax C y B O 2 如图 在 ABC 中 AC 4 AB 5 D 是 AC 边上的一点 E 是 AB 边上一点 若 DC x AE y 求 y与 x 的函数关系式 并指出自变量 x 的取值范围 ADEB A BC D E 3 在直角坐标系 xOy中有两点 A B 若 OA 2 OB 1 且 OA 与 x 轴 AOB90 的正方向的夹角为 30 求 A B 两点的坐标 试题答案试题答案 一 选择题 1 A2 D3 D4 D5 B6 C7 C8 D 二 填空题 1 2 23 xy 23 3 4 xx 10且 或 3366 5 6 第三象限m 2 7 8 xxx 33且 9 10 yx 1022 55 x y xx xx 12010 18610 三 解答题 1 解 解 过 C 作于 DCD AB y x C A B O D ABBCACB 460 BA0040 又 在中 ACBCCD AB BDAB Rt BDCB CD BC 1 2 2 sin CDBCBsinsin4604 3 2 2 3 C 点坐标为 22 3 ABC400022 3 2 解 解 ADEBAA ADEABC AD AB AE AC ABACDCxAEy xy yx 又 54 4 54 4 5 16 5 又 D 在 AC 上 AB AC ADEB D 可与 C 点重合 而不能与 A 点重合 自变量 x 的取值范围是04 x 3 解 解 如图 1 过点 A 作 AA x 轴于 A y BA B O A x 图 1 OAAOx 230 AAOA 1 2 1 由勾股定理得 OAOAAA 2222 213 A31