哈工大研究生数值分析试题及答案

1 分别是方程 的根 讨论用 Newton 迭代法求它们近似值的收3 2x 32 8120 xxx 敛阶 取初值计算根的近似值 要求迭代 3 次 结果保留 4 位小数 0 2x 3x 解 设 32 812f xxxx 2 328fxxx 62fxx 3 0 3 0f f 2 0 2 0 2 100fff 则 是的单根 故 Newton 迭代在附近是平方收敛 3 0f x 3 是的二重根 故 Newton 迭代在附近是线性收敛 2 0f x 2 取 Newton 迭代 0 2x 32 1 2 812 328 nnnn nnn n f xxxx xxx fxxx 2 236 34 nn n xx x 2 00 1 0 236 34 xx x x 2 11 2 1 236 34 xx x x 2 22 3 2 236 34 xx x x 2 设常数0a 求出a的取值范围使得解方程组 11 22 33 21 23 13 axb axb axb 的 Jacobi 迭代法收敛 解 Jacobi 迭代 1 kk J xB xg 1 021021 1 203203 130130 J a Ba a a 1 1 2 3 ab gab ab 迭代矩阵的特征方程 J B 02121 11 203230 13013 J a EBa aa a 即 3 14 0aa 特征根 14 0 i a 谱半径 时 Jacobi 迭代收敛 14 1 J B a 故 14a 3 设 1 用 Crout 三角分解法求解方程组 1 2 3 2325 103413 3619 x x x 2 用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量 取 0 0 0 1 Tv 计算迭代三次的值 解 1 Crout 三角分解 3 11 2 2322 1 103410121 2 361311 13 24 ALU 2 1012 311 3 24 L 3 11 2 1 1 2 1 U Lyb Axb Uxy 求解得 Lyb 5 1 0 2 T y 求解得Uxy 1 1 0 T x 2 0 0 0 1 Tv 0 0 0 0 0 1 max Tv u v 1 10 2 4 1 T vAu 1 1 1 0 5 1 0 25 max Tv u v 4 21 T vAu 2 2 2 0 5 1 0 8611 max Tv u v 9 32 T vAu 3 3 3 0 5 1 0 7306 max Tv u v 11 44 4 试利用插值多项式证明 对0 1 2kn 恒有等式 1 0 1 1 1 k n i i iiiiiin 证明 设 1 2 i xiin 0 1 2 k f xxkn 由插值多项式的唯一性 比较 Lagrange 与 Newton 插值最高项系数得 1 1 111 n i n i iiiiiin f x f xx xxxxxxxx 由差商与导数关系 有 1 1 1 1 n n f f xxn n 将 代入上面两等式 有 1 2 i xiin 0 1 2 k f xxkn 1 0 1 1 1 k n i i iiiiiin 1 1 1 0 1 1 1 1 kn n n i if f xx iiiiiinn 5 求 4 次 Hermit 插值多项式 H x 满足 0 0 0 1 1 1 2 1HHHHH 并写出误差表达式 解 方法一 因 故设 0 0 0H H 22 H xxabxcx 由 得 1 1 1 2 1HHH 1 2341 241 abc abc abc 得 931 424 abc 22 1 3 4 H xxx 误差 5 22 1 2 0 2 5 f E xf xH xxxx 方法一 满足的插值多项式为 0 0 1 2 1HHH 2 2 31 22 pxxx 设 2 0 1 2 H xpxABx xxx 由 3 0 20 2 1 1 1 2 HB HAB 得 由 13 44 AB 22 311 3 0 1 2 224 1 3 4 H xxxxxxx xx 误差 5 22 1 2 0 2 5 f E xf xH xxxx 6 试求求积公式 的求积系数 使得其有尽可能 2 01 2 2 32 3 33 f x dxA fA f 01 A A 高的代数精度 是否是 Gauss 型的 并用此公式计算积分 结果保留 5 位小数 2 0 sin xdx 解 令 求积公式准确成立 有 1 f xx 01 01 4 2 32 3 0 33 AA AA 得 01 2AA 求积公式 2 2 2 32 3 2 2 33 f x dxff 令 求积公式准确成立的 求积公式不是准确成立的 23 f xxx 4 f xx 求积公式代数精度为 3 是 Gauss 型的 作变换 2 2 2 8 xtt 22 2 022 sinsin 2 sin 2 222 8888 2 32 3 2sin 2 2sin 2 88383 0 99848 xdxtdttdt 7 用最小二乘法求一个形如 2 yaxb 的经验公式 使它与下列数据拟合 i x 1925313844 i y 19 032 349 073 397 8 解 取 2 01 1 xxx 拟合函数为 2 01 ybxaxbax 法方程为 55327271 4 53277277699369321 5 ba ab 得 0 050351 0 9726045ab 拟合函数为 2 0 05003510 9726045yx 8 用共轭梯度方法解方程组 取初值 1 2 215 135 x x 0 0 0 Tx 共轭梯度方法 0 0 0 1 1 1 1 1 1 kk k kk kkkk kkkk kk k kkkk kk A A A rr prbx pp xxprrp rr prp rr 解 是对称正定阵 21 13 A 0 0 0 5 5 TA prbx 0 0 0 00 2 7A rr pp 1 0 00 10 10 77 T xxp 1 0 00 55 77 T A rrp 1 1 0 0 0 1 49 rr rr 1 100 4030 4949 T prp 1 1 1 11 7 10A rr pp 2 1 11 2 1 T xxp 1 0 00 0 0 TA rrp 解为 2 2 1 T x 9 应用 Heun 方法 112 1 21 3 4 22 33 nn nn nn h yyKK Kf xy Kf xh yhK 解初值问题 580 0 2 yy y 时 问步长h应如何选取方能保证方法的绝对稳定性 并在 1 2h 中选取数值稳定的步长计算 2 y的近似值 解 将 Heun 方法应用到方程上 有 580yy 其中 2 1 1 2 nn h yhy 8 1 6 5 hhh 当 时 方法是绝对稳定的 2 0 h 即 时方法是绝对稳定的 5 0 0 1 25 4 h 故取 即 方法是绝对稳定的 5 1 0 0 1 25 4 h 8 5 h 1 17 25 nn yy 10 1734 1 36 2525 yy 21 171734578 0 9248 252525625 yy 10 求解常微分方程初值问题 的两步方法 yf x yaxb y a 111 58 12 nnnnn h yyyyy 1 求出局部截断误差 2 讨论方法的收敛性 3 讨论方法的绝对稳定性 解 01101 581 1 0 121212 aabbb 1 把局部截断误差在处 Taylor 展开 n T n x 01 rr nnnrn Tc y xc hy xc h yx 0123 0cccc 4 1 0 24 c 44 4 4 1 2424 nnnnnn hh Tyxyxx 2 方法是相容的 01 0cc 第一特征多项式 两根为 2 rrr 2 0rrr 01 1 0 rr 是单根 方法满足根条件 1 1 1 i rr 由收敛的充分必要条件知方法是收敛的 2 稳定多项式 2 52 1 1 12312 h r hh rh r 由绝对稳定性要求知 故0 h 5 10 12 h 由参考定理知 的两根 0r h 0 1 1rh 2 1 312 1 55 11 1212 12 1 5 1 12 h h hh h h 25 1 1 31212 5 1 1212 h hh h h 故 即当时方法是绝对稳定的 6 0 h 6 0 h 应用应用 1 1 试确定是方程 的几重根 取初值用改进0 22 1 220 x f xexx 0 0 25x 的具有二阶收敛速度的 Newton 迭代法求的根的近似值 要求迭代 2 次 结果 0f x 0 保留 4 位小数 解 22 1 22 x f xexx 2 224 x fxex 2 44 x fxe 2 8 x fxe 0 0 0 0 0 80ffff 是方程 的 3 重根 0 0f x 改进的具有二阶收敛速度的 Newton 迭代法 1 22 2 3 1 22 3 224 n n n nn n x nn n x n f x xx fx exx x ex 1 x 0 0 22 00 0 2 0 1 22 3 224 x x exx x ex 2 x 1 1 22 11 1 2 1 1 22 3 224 x x exx x ex 应用应用 4 4 若用复化梯形公式计算积分 要求截断误差不超过 舍入误差不 3 1 sin x exdx 4 10 计 问需要计算多少个节点上的函数值 解 sin sincos 2cos 3 cossin xxxx f xex fxexxfxex fxexx 复化求积公式余项为 2 12 n ba Efh fa b 其中 ba h n 因 有 cos1 x 3 2fe 若 得 4 10 n Ef 4 2 2 3 10 h e 即 3 3 86 10h 2 517 5n h 取 518n 故至少需 519519 个节点才能保证截断误差不超过 4 10 应用应用 9 9 写出经典 4 阶 Runge Kutta 方法求解初值问题 83 0 2 yy y 的计算公式 并取步长 计算的近似值