2013版高考数学一轮复习 5.1等差数列与等比数列精品学案 新人教A版

1 第五章第五章 数数 列列 知识特点 1 数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容 2 数列具有函数特征 又能构成独特的递推关系 故使得数列与函数 方程 不等式等 知识有较密切的联系 因此高考命题时常将数列与函数 不等式 向量等交汇 考查学生的 逻辑思维能力 运算推理能力 呈现出综合性强 立意新的特点 3 数列 等差与等比数列的概念和性质 通项公式 前 n 项和公式等知识 突出了 小 巧 活 的特点 也提供了知三求二的理论依据 4 数列的规律性较强 学习时一定要从其规律入手来计算 分析 解决有关问题 重点关注 1 要正确理解数列 等差 等比数列的基本概念 掌握各公式之间的联系和内在规律 掌握公式的灵活运用 甚至要灵活地回归定义 巧用性质 使运算更简捷 2 要善于运用函数与方程 化归与转化 分类讨论等思想方法去分析问题 解决问题 3 本章另一重点是由递推公式得出数列 以及数列的前 n 项和 Sn 与通项 n a 之间的关系 体现了由特殊到一般的思维规律 4 与数列有关的应用题也是高考考查的重点 特别是数列建模问题 5 数列证明问题与数学归纳法的联系 地位和作用 数列是函数大家庭中的一员 其特殊性在于其定义域是正整数 它是按一定次序排列的一列 数 数列在中学数学中既具有相对的独立性 又具有较强的综合性 它是初等数学与高等数 学的一个重要衔接点 因此历年的高考中占有较大的比重 在选择 填空题中 突出 小 巧 活 的特点 递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力 由给出的前若干项及 an 与 an 1 的关 系式得到的数列叫递推数列 该关系式叫递推公式 高考命题中数列善于占有重要一席 而运用递推式是解题的起点 对于本章而言 从新课改近几年各省份的高考信息可以看出 高考命题呈现出以下几个特点 1 考查题型较为全面 选择 填空 解答均有所考查 一般一小一大 分值占 10 其中解 答题难度较大 2 重点考查等差数列 等比数列的定义 通项公式和前 n 项和公式 注重在知识的交汇处 命题 如数列与函数 方程 不等式等知识的综合应用 注意对观察 转化与化归能力及数 学归纳法的考查 3 预计今后高考仍将以等差数列 等比数列的定义 通项公式和前 n 项和公式为考点 同 时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向 第一节 等差数列与等比数列 高考新动向 一 数列的概念与简单表示法 1 考纲点击 1 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通项公式 2 了解数列是自变量为正整数的一类函数 2 热点提示 2 1 根据数列的递推关系求通项公式和已知前 n 项和 Sn 求 an 是高考考查的重点 2 多在解答题中出现 属中档题目 二 等差数列及其前 n 项和 1 考纲点击 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 2 热点提示 1 等差数列的通项公式与前 n 项和公式是考查重点 2 归纳法 累加法 倒序相加法 方程思想 运用函数的性质解决等差数列问题是重点 也是难点 3 题型以选择题和填空题为主 与其他知识结合则以解答题为主 三 等比数列及其前 n 项和 1 考纲点击 1 理解等比数列的概念 2 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等比数列与指数函数的关系 2 热点提示 1 在考试内容上常以等比数列的定义及等比中项为背景 考查等比数列的判定 2 重点考查通项公式 前 n 项公式 同时考查等差数列 等比数列的综合应用 3 在考试形式上主要以选择 填空题为主考查等比数列的性质及其应用 考纲全景透析 一 数列的概念与简单表示法 1 数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 项 2 数列的分类 分类原则类型满足条件 有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限 递增数列 1nn aa 递减数列 1nn aa 按项与项间的大小关系分类 常数列 1nn aa 其中 nN 有界数列 存在正数 M 使 n aM 按其他标准分类 摆动数列 n a 的符号正负相间 如 1 1 1 1 3 数列的表示法 3 数列有三种表示法 它们分别是列表法 图象法和解析法 注 数列可以看作一个函数 其定义域是正整数集N 或它的有限子集 1 2 3 n 可表示为 n af n 4 数列的通项公式 如果数列 n a 的第 n 项 n a 与序号 n 之间的关系可以用一个公式 n af n 来表示 那么这个 公式叫做这个数列的通项公式 注 数列的通项公式不唯一 如数列 1 1 1 1 通项公式可以为 1 n n a 或 1 1 n n a n 为奇数 为偶数 有的数列没有通项公式 5 数列与函数的内在联系 从映射 函数的观点看 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 而数列的通 项公式也就是相应函数的解析式 6 递推公式 如果已知数列 n a 的第 1 项 或前几项 且从第二项 或某一项 开始的任一项 n a 与它 的前一项 1n a 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式 二 等差数列及其前 n 项和 1 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫 做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用 d 表示 其符号语言为 1 2 nn aad nd 为常数 2 等差数列的通项公式 若等差数列 n a 的首项为 1 a 公差是 d 则其通项公式为 1 1 n anad 注 已知等差数列 n a 的第 m 项为 m a 公差为 d 则其第 n 项 n a 可以表示为 nm aanm d 3 等差中项 如果三个数 a b 成等差数列 则叫做 a 和 b 的等差中项 且有 2 A ab 4 等差数列的前 n 项和公式 4 1 1 1 22 n n n aan n nadS 三 等比数列及其前 n 项和 等比数列的相关概念 相关名 词 等比数列 n a 的有关概念及公式 定义 1 1 0 0 nn nn aa q qqnNq qqnN aa 是常数且或 是常数且n2 通项公 式 1 1 n n aa q A 前 n 项 和公式 1 11 1 1 1 11 n n n naq S aa qaq q qq 等比中 项 设 a b 为任意两个同号的实数 则 a b 的等比中项为 G ab 注 2 bac 是 a b c 成等比的必要不充分条件 当 b 0 a c 至少有一个为零时 2 bac 成 立 但 a b c 不成等比 反之 若 a b c 成等比 则必有 2 bac 方法提示 1 数列的项与集合中元素的区别 把数列中的项与集合中的元素相比较 数列中的项具有确定性 有序性 可重复性 不具有 互异性 集合中的元素具有确定性 无序性 互异性 2 求通项公式的技艺 根据数列的前几项写出数列的通项公式时 常用到 观察 归纳 猜想 验证 的数学思想 方法 即先找出各项相同的部分 不变量 再找出不同的部分 可变量 与序号之间的关 系 并用 n 表示出来 不是所有的数列都有通项公式 一个数列的通项公式在形式上可以不 唯一 热点难点全析 一 数列的概念与简单表示法 一 由数列的前几项求数列的通项公式 相关链接 数列的通项公式 1 据所给数列的前几项求其通项公式时 需仔细观察观察分析 抓住以下几方面的特征 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项符号特征等 并对此进行归纳 联想 2 观察 分析问题的特点是最重要的 观察要有目的 观察出项与项数之间的关系 规 律 利用我们熟知的一些基本数列 如自然数列 奇偶数列等 转换而使问题得到解决 5 3 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 它蕴含着从特殊到一般 的思想 由不完全归纳提出的结果是不可靠的 要注意代值检验 对于正负符号变化 可用 1 n 或 1 1 n 来调整 例题解析 例 写出下列各数列的一个通项公式 1 3 7 15 31 1 4 6 8 10 2 2 4 8 16 32 21017 2637 3 1 3791113 4 3 33 333 3333 思路解析 由所给数列前几项的特点 归纳出其通项公式 注意项与项数的关系 项与前后 项之间的关系 通项公式的形式并不唯一 解答 1 各项是从 4 开始的偶数 所以 22 n an 2 每一项分子比分母少 1 而分母可写成 21 22 23 24 25 故所求数列的一 个通项公式可定为 21 2 n n n a 3 带有正负号 故每项中必须含有一个 1 1 n 这个因式 而后去掉负号 观察可得 将第二项 1 写成 5 5 分母可化为 3 5 7 9 11 13 为正奇数 而分子可化为 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 故其一个通项公式可写为 2 1 1 1 21 n n n a n A 4 将数列各项写为 9 99 999 9999 3333 分母都是 3 而分子分别是 10 1 102 1 103 1 104 1 所以 1 101 3 n n a 二 由递推公式求数列通项公式 相关链接 1 由 1 a 和递推关系求通项公式 可观察其特点 一般常利用化归法 累加法 累乘法等 1 构造等比数列 已知首项 1 a 递推关系为 1 nn aqab nN 求数列 n a 的通项 公式的关键是将 1nn aqab 转化为 1 nn aaq aa 的形式 其中 a 的值可由待定系数 6 法确定 即 1 1 1 1 nnn b qabaqaqaaq q 2 已知 1 a 且 1 2 nn aaf n n 可以用累加法 即 1 nn aaf n 12 1 nn aaf n 32 3 aaf 21 2 aaf 所有等式左右两边分别相加 得 1123221 1 3 2 nnnn aaaaaaaaf nf nff 即 1 2 3 1 n aafff nf n 3 已知 1 a 且 1 2 n n a f n n a 可以用累乘法 即 1 n n a f n a 1 2 1 n n a f n a 3 2 3 a f a 2 1 2 a f a 所有等式左右两边分别相乘 得 132 1221 1 2 3 1 2 3 1 nn nn n aaaa fff nf n aaaa aafff nf n AA AAAA AA AAA AA即 注 并不是每一个数列都有通项公式 如果一个数列有通项公式 那么它的通项公式在形式 上也可以不止一个 2 由 n a 与 n S 的关系求 n a 由 n S 求 n a 时 要分 n 1 和 n 2 两种情况讨论 然后验证两种情况可否用统一的解析式表示 若不能 则用分段函数的形式表示为 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 例题解析 例 1 在数列 an 中 a1 1 an 1 1 1 n an n n1 2 设 n n a b n 求数列 bn 的通项公式 2 已知数列 an 中 a1 1 an 1 n 1 an 求数列 an 的通项 公式 思路分析 1 首先由递推公式得到 n 1n aa n1n 与 的关系式 n 1n n aa1 n1n2 再借助于累加的方 法求出数列 bn 的通项公式 2 由题设可得 n 1 n a n1 a 利用累乘的方法求解 7 解析 1 由已知可得 b1 a1 1 且 n 1n n aa1 n1n2 即 n 1n n 1 bb 2 从而有 bn b1 b2 b1 bn bn 1 1 2 2n 1n 1 111 12 222 n 2 又因为 b1 a1 1 故 所求的通项公式为 1 n n 1 b2 2 2 an 1 n 1 an n 1 n nn 1 n 1n 2 a n1 a aa nn1 aa 3 2 2 1 a 3 a a 2 a a1 1 累乘可得 an n n 1 n 2 3 2 1 n 故 an n 三 数列的单调性及其应用 例 12 分 已知数列的前 n 项和为 n S 并且满足 11 2 1 nn anaSn n 1 求 n a 的通项公式 2 令 4 5 n nn TS 问是否存在正整数 m 对一切正整数 n 总有 nm TT 若存在 求 m 的值 若不存在 说明理由 思路解析 1 1 1 nn naSn 1 1 1 nn naSn n 1 2 nn aa n a得的通项公式 2 由已知得 n S n T 的表达式 求 n T 最大项 得结论 解答 1 令 n 1 8 11 221 1 1 1 21 2 1 4 2 2 1 1 1 2 2 2 12 2 2 2 1 22 nn nn nnn nn n n anaSn n aaa nnaSn n nanaan aan naaa ann 由及 得故 当时 有 得 整理得 当时 所以数列是以为首项 以为公差的等差数列 故 2 2 1 12 1 1 212 212 12 4 1 1 5 4 1 1 5 44 1 1 55 44 1 1 55 4 2 5 4 1 1 5 89 n nn nn n n nn nn nn Sn nnn nn nnnn nnnn nn nn n 由得所以T TT 故T令 TT 即 即 解得 故TT 891011 89 nm m mm TTTT 故存在正整数对一切正整数n 总有TT 此时或 注 1 数列的单调性是高考常考内容之一 有关数列最大 最小项 数列有界性问题均可借助 数列的单调性来解决 判断单调性时常用 作差法 作商法 结合函数图象等方法 2 求最大项 n a 则 n a 满足 1 1 nn nn aa aa 若求最小项 n a 则 n a 满足 1 1 nn nn aa aa 二 等差数列及其前 n 项和 一 等差数列的基本运算 相关链接 1 等差数列运算问题的通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d 然后由通项公式或前 n 项和公式转化 为方程 组 求解 2 等差数列前 n 项和公式的应用方法 等差数列前 n 项和公式有两个 如果已知项数 n 首项 a1 和第 n 项 an 则利用 9 1n n n aa S 2 该公式经常和等差数列的性质结合应用 如果已知项数 n 首项 a1 和公差 d 则利用 n1 n n1 d Sna 2 在求解等差数列的基本运算问题时 有时会和通项公式结 合使用 注 1 等差数列的通项公式 n a 1 a n 1 d 及前 n 项和公式 1 1 1 22 n n n aan n Snad 共涉及五个量 1 a n a d n n S 知其中三个就能求另外 两个 体现了用方程的思想解决问题 2 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用 而 1 a 和 d 是等差数列的两 个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 3 因为 11 1 222 n Sddd naan n 故数列 n S n 是等差数列 例题解析 例 已知数列 n x 的首项 1 x 3 通项 2 n n xpnq nNp q 为常数 且 1 x 4 x 5 x 成等差数列 求 1 p q 的值 2 数列 n x 的前 n 项和 n S 的公式 思路解析 1 由 1 x 3 与 1 x 4 x 5 x 成等差数列列出方程组即可求出 p q 2 通过 n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和 解答 1 由 1 x 3 得2 3pq 又 45 45154 24 25 2xpq xpqxxx 且 得 55 32528pqpq 由 联立得 1 1pq 2 由 1 得 2n n n x 10 12 23 1 222 2 12 1 22 2 nn n n Sxxx n n n 二 等差数列的判定 相关链接 1 等差数列的判定通常有两种方法 第一种是利用定义 1 2 nn aadn 常数 第二种是利用等差中项 即 11 2 2 nnn aaan 2 解选择题 填空题时 亦可用通项或前 n 项和直接判断 1 通项法 若数列 n a 的通项公式为 n 的一次函数 即 n a n B 则 n a 是等差数列 2 前 n 项和法 若数列 n a 的前 n 项和 n S 是 2 n SAnBn 的形式 B 是常数 则 n a 是等差数列 注 若判断一个数列不是等差数列 则只需说明任意连续三项不是等差数列即可 例题解析 例 已知数列 n a 的前 n 项和为 n S 且满足 111 1 20 2 2 nnnn SSS Sna A 1 求证 1 n S 是等差数列 2 求 n a 的表达式 思路解析 1 11 20 nnnn SSS S A 1 n S 与 1 1 n S 的关系 结论 2 由 1 n S 的关系式 n S 的关系式 n a 解答 1 等式两边同除以 1nn S S A 得 1 1 n S 1 n S 2 0 即 1 n S 1 1 n S 2 n 2 1 n S 是以 1 1 S 1 1 a 2 为首项 以 2 为公差的等差数列 2 由 1 知 1 n S 1 1 S n 1 d 2 n 1 2 2n n S 1 2n 当 n 2 时 n a 2 n S 1n S 11 1 2 1 n n 又 1 1 2 a 不适合上式 故 1 1 2 1 2 2 1 n n a n n n 三 等差数列的性质 相关链接 1 等差数列的单调性 等差数列公差为 d 若 d 0 则数列递增 若 d0 d 0 且满足 1 0 0 n n a a 前 n 项和 n S 最大 2 若 a10 且满足 1 0 0 n n a a 前 n 项和 n S 最小 3 除上面方法外 还可将 n a 的前 n 项和的最值问题看作 n S 关于 n 的二次函数最值问题 利用二次函数的图象或配方法求解 注意n N 例题解析 例 1 2011 如皋模拟 已知在等差数列 an 中 a1 31 Sn 是它的前 n 项和 S10 S22 1 求 Sn 2 这个数列的前多少项的和最大 并求出这个最大值 12 思路解析 利用等差数列的性质求解第 1 题 第 2 题 解题关键是写出前 n 项和公式 利用 函数思想解决 1 S10 a1 a2 a10 S22 a1 a2 a22 又 S10 S22 a11 a12 a22 0 1122 12 aa 0 2 即 a11 a22 2a1 31d 0 又 a1 31 d 2 Sn na1 n n1 d 2 31n n n 1 32n n2 2 方法一 由 1 知 Sn 32n n2 当 n 16 时 Sn 有最大值 Sn 的最大值是 256 方法二 由 Sn 32n n2 n 32 n 欲使 Sn 有最大值 应有 1 n0 d 0 时 满足 m m 1 a0 a0 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm 2 当 a10 时 满足 m m 1 a0 a0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm 3 关于最值问题 除上面介绍的方法外 还可利用等差数列与函数的关系来解决 等差数列 的前 n 项和 2 n11 n n1dd Snadnan 222 Sn 可看成关于 n 的二次函数式且常数 项为 0 利用二次函数的图象或配方法解决最值问题 三 等比数列及其前 n 项和 一 等比数列的的运算 相关链接 1 等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题 数列中有五个量 1 a n q n a n S 一般可以 知三求二 通过列方程 组 所求问题可迎刃而解 2 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式 并灵活运用 在运算过程中 还应 善于运用整体代换思想简化运算的过程 3 在使用等比数列的前 n 项和公式时 应根据公比 q 的情况进行分类讨论 切不可忽视 q 的 取值而盲目用求和公式 例题解析 例 设数列 n b 的前 n 项和为 n S 且 n b 2 2 n S 数列 n a 为等差数列 且 15 67 14 20aa 求数列 n b 的通项公式 若 nnn ca b nN A n T 为数列 n c 的前 n 项和 求证 7 2 n T 思路解析 1 得结论 2 放缩得结论 解答 1 由 n b 2 2 n S 得 11 22bS 又 1 S 1 b 所以 1 b 2 3 由n b 2 2 n S 得 11 22 nn bS 得 11 2 nnn bbb 1 3 nn bb 即 1 1 3 n n b b n b 是以 2 3为首项 以 1 3为公比的 等比数列 所以 n b 2 3 1 3 n 2 n a 为等差数列 75 3 75 aa d 6 5 31 n aandn A 从而 1 2 31 3 n nnn ca bn AA 23 1111 2 25 8 31 3333 n n Tn AAA A 2341 111111 2 2 5 8 34 31 333333 nn n Tnn AAA 得 16 231 231 1 1 211111 2 23 3 3 31 333333 111111 2 33 3 3 31 333333 11 1 221 33 62 31 1 333 1 3 77 117 22 332 nn n nn n n n nn n Tn n Tn Tn AAA A AAA A A AA 二 等比数列的判定 相关链接 等比数列的判定方法有 1 定义法 若 1 1 nn nn aa q qq q aa 为非零常数或为非零常数且n2 则 n a 是等 比数列 2 中项公式法 若数列 n a 中 2 12 0 nnnn aaa anN A且 则数列 n a 是等比 数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成 0 n n acqc qnN 均为不为的常数 则数 列 n a 是等比数列 4 前 n 项和公式法 若数列 n a 的前 n 项和 0 0 1 n n Sk qk kkq A为常数且 则数列 n a 是等比数列 注 1 前两种方法是判定等比数列的常用方法 而后两种方法常用于选择 填空中的判 定 2 若要判定一个数列不是等比数列 则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即 可 例题解析 例 在数列 n a 中 11 2 431 nn aaannN 证明数列 n an 是等比数列 求数列 n a 的前 n 项和 n S 证明不等式 1 4 nn SS 对任意n N 皆成立 思路解析 证明一个数列是等比数列常用定义法 即 1n n a q a 对于本例 1 适当变形即 17 可求证 证明不等问题常用作差法证明 解答 1 由题设 1 431 nn aan 得 1 1 4 nn anan nN 又 1 11 a 所 以数列 n an 是首项为 1 且公比为 4 的等比数列 2 由 1 可知 1 4n n an 于是数列 n a 的通项公式为 1 4n n an 所以数列 n a 的前 n 项和 1 41 1 32 n n n n S 3 对任意的n N 1 2 1 41 1 2 41 1 1 44 34 0 32322 nn nn nnn n SSnn 所以不 等式 1 4 nn SS 对任意n N 皆成立 三 等比数列性质的应用 相关链接 1 等比数列的性质可以分为三类 1 通项公式的变形 2 等比中项的变形 3 前 n 项和公式 的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 2 等比数列的常用性质 1 数列 an 是等比数列 则数列 pan p 0 p 是常数 也是等比数列 2 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即 an an k an 2k an 3k 为 等比数列 公比为 qk 3 an am qn m n m N 4 若 m n p q m n p q N 则 am an ap aq 5 若等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 则 Sk S2k Sk S3k S2k S4k S3k 是等比数列 6 等比数列的单调性 3 由于数列和函数之间有着密切的联系 所以在解决许多数列问题时 可以借鉴函数的有关 思想和方法 本例在求解过程中 就是先求导数 利用数列这一特殊函数的性质解决的 所 以在解决数列问题时 应善于运用函数的思想方法解决问题 18 注 等比数列中所有奇数项的符号相同 所有偶数项的符号也相同 例题解析 例 1 已知等比数列前 n 项的和为 2 其后 2n 的和为 12 求再往后 3n 项的和 思路解析 由已知条件 根据前 n 项和公式列出关于首项 1 a 和公比q及 n 的两个方程 应能 解出 1 a 和q关于 n 的表达式 这样可能较繁琐又不便于求出结果 若采用整体处理的思想 问题就会变得简单 也可采用等比数列的性质问题简化 解答 方法一 利用等比数列的性质 由已知 12 2 n aaa 12221223 12 nnnnnn aaaaaa 注意到 12122212233132334 nnnnnnnnnnn aaaaaaaaaaaaa 也成等比数列 其公比为 n q 于是 问题转化为已知 234522 111111111 345 111 3233 1 2 12 2 12 60 23 1122 714 3783 nnnnnnnnn nnnnn n nnnnn n AAqAqAqAqAqAAqAqqq qqAqAqAq q Aqqqqq q AAA 要求 的值 由得 则或 由 1 2 方法二 利用求和公式 如果公比 q 1 则由于 12 2 n aaa 可知 12221223 4 nnnnnn aaaaaa 与条件不符 q 1 由求和公式 得 1 1 2 1 n aq q 又 2 1 1 12 1 nn a qq q 式除以 式得 2 1 6 6 23 nnnnnn qqqqqq 解得或 又再往后 3n 项的和 为 33 1 1 1 nn a qq S q 式除以 式得 323 1122 1 14 2 3783 n nnnn n q S qqqSq q 例 2 2011 青岛模拟 已知函数 f x ax2 bx a 0 的导函数 f x 2x 7 数列 an 的前 n 项 和为 Sn 点 Pn n Sn n N 均在函数 y f x 的图象上 1 求数列 an 的通项公式及 Sn 的最大值 19 2 令 n a n b2 其中 n N 求 nbn 的前 n 项和 Tn 思路解析 对函数 f x 的字母系数通常用待定系数法确定 再把函数问题转化为数列问题求 解 对 nbn 求和 若 bn 为等比数列可考虑用错位相减法求和 解析 1 由题意可知 f x ax2 bx a 0 f x 2ax b 由 f x 2x 7 对应相等可得 a 1 b 7 所以可得 f x x2 7x 又因为点 Pn n Sn n N 均在函数 y f x 的图象上 所以有 Sn n2 7n 当 n 1 时 a1 S1 6 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 8 a1 6 适合上式 an 2n 8 n N 令 an 2n 8 0 得 n 4 当 n 3 或 n 4 时 Sn 取得最大值 12 综上 an 2n 8 n N 当 n 3 或 n 4 时 Sn 取得最大值 12 2 由题意得 1 2 62n 8n 4 n 1 1n n b b28b22 b 所以 即数列 bn 是首项为 8 公比为 1 2的等比数列 故 nbn 的前 n 项和 Tn 1 23 2 22 n 2 n 4 Tn 1 22 2 2 n 1 2 n 4 n 2 n 3 所以 得 Tn 23 22 2 n 4 n 2 n 3 1 16 2 1 2 n 4 n4 n n 1 Tn 2322n 2 1 A AA 高考零距离 1 2012 北京高考文科 8 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示 从 目前记录的结果看 前 m 年的年平均产量最高 m 的值为 12345678910 11O n n S 5 B 7 C 9 D 11 解题指南 利用年平均产量的几何意义 为点 n n S 与原点连线的斜率 求最值 20 解析 选 C 年平均产是 n S n 的几何意义为点 n n S 与原点连线的斜率 由图可知 当 9n 时 最大 因此 9m 2 2012 福建高考文科 11 数列 n a 的通项公式 cos 2 n n an 其前n项和为 n s 则 2012 s 等于 1006B 2012C 503D 0 解题指南 本题综合考查数列和三角函数的基本计算和运算 解决问题时 要注意运用分 类讨论的能力 解析 选 cos 2 n n an 所以 1 cos0 2 a 2 2cos2a 3 3 3cos0 2 a 4 4cos24a 可见 前 2012 项的所有奇数项为 0 1006 个偶数项依次为 2 4 6 8 发现依次相邻两 项的和为 2 所以 2012 1006S 3 2012 北京高考文科 10 与 2012 北京高考理科 10 相同 2012 北京高考文科 10 已知 an 为等差数列 Sn 为其前 n 项和 若 a1 S2 a3 则 a2 Sn 解题指南 利用等差数列的基本量及性质进行求解 解析 23123321 1 2 Saaaadaaa 21 1aad 2 44 n nn S 答案 2 2 1 44 n nn aS 4 2012 广东高考文科 12 若等比数列 an 满足 24 1 2 a a 则 2 135 a a a 解题指南 本题考查了等比数列的性质 已知 m n pN 若 2 mnp 则 2 mnp aaa 21 解析 2 243 11 22 a aa 24 1353 1 4 a a aa 答案 1 4 5 2012 陕西高考数学文科 16 已知等比数列 n a 的公比为 1 2 q 若 3 1 4 a 求数列 n a 的前 n 项和 证明 对任意 kN ka 2ka 1ka 成等差数列 解题指南 1 求出等比数列的首项是关键 2 用首项和公比表示 21 kkk a aa 再根据 等差数列的定义证明 解析 3 1 4 a 1 2 q 2 11 11 44 a qa 解得 1 1a 所以数列 n a 的前 n 项和 1 1 1 2 1 1 2 n n S 1 1 1 2 211 2 3332 n n 证明 对任意 kN 11 11121 kkk kkk aa qaa qaa q 方法一 11 21111 2 2 kkk kkk aaaa qa qa q 12 1 21 k a qqq 1 2 q 22 11 212 10 22 qq 即 21 2 0 kkk aaa 21 2 kkk aaa 所以对任意 kN ka 2ka 1ka 成等差数列 方法二 1112 2111 1 kkk kk aaa qa qa qq 1 12111 1 kkk kk aaa qa qa qq 1 2 q 12121 111 111 1 1 3 222 kkk a qqaa 1 111 111 1 1 3 222 kkk a qqaa 212kkkk aaaa 所以对任意 kN ka 2ka 1ka 成等差数列 6 2011 江西高考文科 5 设 n a 为等差数列 公差 2d n s 为其前 n 项和 若 1011 ss 则 1 a 22 18 B 20 C 22 D 24 思路点拨 首先求出 11 a 再根据等差数列的通项公式求 1 a 精讲精析 选 B 1011111011 111 SSSSa0 d2 aa10d0 10 2 20 由由得得 又又因因为为 7 2011 陕西高考文科 T10 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一 棵 相邻两棵树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 现将树坑从 1 到 20 依次编号 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小 树苗可以放置的两 个最佳坑位的编号为 和 B 和 C 和 D 和 1 20 9 10 9 11 10 11 思路点拨 根据选项分别计算四种情形的路程和 或根据路程和的变化规律直接得出结 论 精讲精析 选 D 方法一 选 项 具体分析结论 和 10 1 219 23800 1 20 B 9 10 128 2 1211 2 2040 10 1 29 2 10 1210 2 10 2000 C 10 1 29 2 10 1210 2 11 2000 D和 路程和都是 2000 10 11 比较各个路程和可知 D 符合题意 方法二 根据图形的对称性 树苗放在两端的树坑旁边 所得路程总和相同 取得一个最 值 所以从两端的树坑向中间移动时 所得路程总和的变化相同 最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时 所得的路程总和达到另一个最值 所以计算两个路程和进行比较即可 树苗放 在第一个树坑旁 则有路程总和是10 1 219 2 19 1 19 1023800 2 树 苗放在第 10 个 或第 11 个 树坑旁边时 路程总和是 10 129 2 10 1210 2 9 1 9 10 1 10 102 102 22 900 11002000 所以路程总和最小为 2000 米 23 考点提升训练 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 已知数列 1 8 5 15 7 24 9 则这个数列的通项公式是 2 n n nn a1 2n1 g B n n n n3 a1 2n1 g C 2 n n n11 a1 2n1 g D n n n n2 a1 2n3 g 2 数列 an 中 an 2n2 29n 3 则此数列最大项的值是 103 B 1 108 8 C 1 103 8 D 108 3 2012 南平模拟 已知方程 x2 2x m x2 2x n 0 的四个根组成一个首项为 1 4的等差数 列 则 m n 等于 313 A 1BCD 428 4 已知数列 n n1 n a n n 为奇数 为偶数 则 a1 a2 a3 a4 a99 a100 4 800 B 4 900 C 5 000 D 5 100 5 2012 宿州模拟 若数列 an 满足 2 n 1 2 n a p a p 为正常数 n N 则称 an 为 等方比数列 甲 数列 an 是等方比数列 乙 数列 an 是等比数列 则 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的充要条件 C 甲是乙的必要条件但不是充分条件 D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6 2012 三明模拟 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 1 4 则 a1a2 a2a3 anan 1 16 1 4 n B 16 1 2 n C n 32 1 4 3 D n 32 1 2 3 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 易错题 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2n 3 则数列 an 的通项公式为 24 8 各项均不为零的等差数列 an 中 若 2 nn 1n 1 aaa0 n N n 2 则 S2 012 等于 9 已知函数 f x 2x 3 数列 an 满足 a1 1 且 an 1 f an n N 则该数列的通项公式 an 三 解答题 每小题 15 分 共 30 分 10 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S1 1 S2 2 且 Sn 1 3Sn 2Sn 1 0 n N 且 n 2 求该数 列的通项公式 11 已知数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足 an 2 an 2an 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和 求 Sn 探究创新 16 分 设一元二次方程 anx2 an 1x 1 0 n 1 2 3 有两根 和 且满足 6 2 6 3 1 试用 an 表示 an 1 2 求证 数列 n 2 a 3 是等比数列 3 当 1 7 a 6 时 求数列 an 的通项公式 答案解析 1 解析 选 C 数列的各项可化为 2222 21 3141 51 3579 其中分母可记作 2n 1 分子可记作 n 1 2 1 故 2 n n n11 a1 2n1 2 解析 选 D 根据题意