121任意角的三角函数（第2课时）（平行班）

4 1 2 14 1 2 1 任意角的三角函数 二 任意角的三角函数 二 课题 任意角的三角函数线 方案二 方案二 设计与执教者 广州市第六中学 莫秀玲 supermoxiuling 教学时间 2007 年 3 月 学情分析 适用于平行班 三角函数是中学数学的重要内容之一 而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形 结合的数学思想 又贯穿整个三角函数的教学 借助三角函数线可以推出三角函数公式 求 解三角函数不等式 探索三角函数的图像和性质 可以说 三角函数线是研究三角函数 的有利工具 学习本节前 学生已经掌握任意角三角函数的定义 三角函数值在各象限的符 号 以及诱导公式一 为三角函数线的寻找做好了知识准备 教学目标 1 复习三角函数的定义 定义域与值域 符号 及诱导公式 2 掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦 余弦 正切函数值 对三角函 数的定义域 值域有更深的理解 3 能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 如利用三角函数线比较两个同名三 角函数值的大小及表示角的范围 4 培养学生善于观察 勇于探索的数学能力 学习转化思想 提高解题能力 教学重点 三角函数线的作法及其简单应用 教学难点 利用与单位圆有关的有向线段 将任意角的正弦 余弦 正切函数值分别 用它们的几何形式表示出来 教学突破点 通过对有向线段的复习 分解教学难点 同时引导学生动手画图操作 通过观察 分析 获得新知 教法 学法设计 1 教法选择 引出问题 温故知新 分解难点 引导讨论 巩固应用 启发式教 学 2 学法选择 类比 达到知识迁移 动手实验 以理解知识 分析讨论 学会应用知识 课前准备 课件 教学过程设计 教学环节教学活动设计意图 一 复习 回顾 1 三角函数的定义 2 三角函数在各象限角的符号 3 三角函数在轴上角的值 4 诱导公式 一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 要求 记忆要求 记忆 并指出 三角函数没有定义的地方一定是在轴上角 所以 并指出 三角函数没有定义的地方一定是在轴上角 所以 凡是碰到轴上角时 要结合定义进行分析 并要求在理解的基础上记忆凡是碰到轴上角时 要结合定义进行分析 并要求在理解的基础上记忆 巩固上节课 内容 并为 本节课的学 习作铺垫 二 设置 疑问 点 明主题 前面我们学习了角的弧度制 角弧度数的绝对值 其中 r l 是以角作为圆心角时所对弧的长 r 是圆的半径 特别地 当 r 1 时 l 此时的圆称为单位圆 这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对l 圆心角弧度数的绝对值 那么能否用几何图形来表示任意角的正弦 余弦 正切函数值呢 这就是我们今天一起要研究的问题 既可以 引出单位圆 又可以使学 生通过类比 联想主动 快速的探索 出三角函数 值的几何形 式 三 概念 学习 分 散难点 有向线段有向线段 带有方向的线段 1 方向 按书写顺序 前者为起点 后者为终点 由起点指向终点 如 有向线段 OM O 为起点 M 为终点 由 O 点指向 M 点 动态演示 2 数值 只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段 绝对值等于线段的长度 若方向与坐标轴同向 取正值 与坐标轴 反向 取负值 如 OM 1 ON 1 AP 2 1 相关概念的 学习分散了 教学难点 使学生能够 更多的围绕 重点进行学 习 OM x y O 1 1 M P 2 1 A N 四 动手 画图 探 索新知 1 正弦线的定义 教师提问 任意角的正弦如何定义 学生回顾 角的终边上任意一点 P 除端点外 的坐标是 它与 yx 原点的距离是 r 比值叫做的正弦 r y 教师引导 能否用几何图形表示出角的正弦呢 学生活动 积极思考 教师进一步引导 联想角的弧度 数与弧长的转化 类比猜测 若 令 r 1 则 教师边y sin 讲解边画出单位圆 取锐角的 终边与单位圆的交点为 P 过点 P 作轴的垂线 设垂足为 M 同x 学们 这下你们能说出哪条线段 的大小恰为的正弦值吗 学生回答 线段 MP 教师引导 很好 那么当角的终边落在第三象限时 我们仍取角的 终边与单位圆的交点为 P 过点 P 作轴的垂线 设垂足为 M 得到线段x MP 此时 角的正弦值还是等于线段 MP 的大小吗 教师边讲边画图 演示 学生讨论后回答 不等于 教师追问 为什么 学生回答 因为此时y是负的 所以是负的 sin 教师引导 很好 根据三角函数的定义 为了去掉 sin MPy 等式中的绝对值符号 能否给线段规定一个适当的方向 使它们的MP 取值与点的坐标一致 P 学生讨论并试回答后 教师整理 我们知道 指标坐标系内点的坐标与 坐标轴的方向有关 当角的终边不在轴上时 以 M 为始点 P 为终点 x 规定 美国华 盛顿一所大 学有句名言 我听见了 就忘记了 我看见了 就记住了 我做过了 就理解了 要想让学 生深刻理解 三角函数线 的概念 就 应该让学生 主动去探索 大胆去实践 亲身体验知 识的发生和 发展过程 O x y a角的终边 PT MA 的终边的终边 M P Ox y T 的终边的终边 A T A 11 T 当线段 MP 与y轴同向时 MP 的方向为正向 且有正值y 当线段 MP 与y轴反向时 MP 的方向为负向 且有正值y 其中y为 P 点的横坐标 这样 无论那种情况都有 sinMPy 教师说明 这条与单位圆有关的有向线段 MP 叫做角的正弦线正弦线 2 余弦线的定义 教师提出 用哪条有向线段表示角的余弦比较合适 学生活动 画图观察 类比猜想 交流讨论 教师引导 注意从三角函数定义出发 在单位圆中有 你能找x cos 到与点 P 的横坐标x有关的有向线段吗 边讲解边演示角在第一 尔 象限的图示 学生回答 可以 有向线段 OM 教师说明 有向线段 OM 叫做角的余弦线余弦线 3 正切线的定义 教师提出 你能借助单位圆 找到一条如 一样的线段来表示MPOM 角的正切值吗 学生活动 思考讨论 教师引导 根据三角函数的定义 若令 1 则找到角终 x y tanx 边上一点 T 1 y 此时 AT 但是第二 三象限角的y tan 终边上没有横坐标为 1 的点 此时我们 可在象限角的终边的反向延长线上取 1 的点 T 则 tan AT 此处教x y 师可通过三角形全等 说明有向线段 AT 的大小和方向与的关系 tan 教师说明 我们把有向线段 AT 叫做角的正切线正切线 类比联想 既能使学生 进一步理解 刚学过的指 示 又能培 养他们的数 学思维能力 五 作法 总结 画 图演练 教师讲解 正弦线 余弦线 正切线 统称为三角函数线三角函数线 教师引导 请大家总结这三种三角函数线的作法 并分别画出当角的终 边在第二 第三 第四象限时的正弦线 余弦线和正切线 学生活动 讨论归纳做法 画图验证 改变角的终边位置 动手作出 垂线段 MP OM AT 观察终边在第二 第三 第四象限时的情形 注意有 向线段的方向和三角函数值正负的对应 教师整理归纳做法 第一步 作出角的终边 与单位圆交于点 P 第二步 过点 P 作轴的垂线 设垂足为 M 得正弦线 MP 余弦线x OM 第三步 过点 A 1 0 作单位圆的切线 它与角的终边或其反向延 长线的交点设为 T 得角的正切线 AT 教师应特别强调 三角函数线是有向线段 在用字母表示这些线段时 要注意它们的方向 分清起点和终点 书写顺序不能颠倒 余弦线以原点 为 及时归纳总 结 加深知 识的理解和 记忆 起点 正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点 其中点 A 为 定点 1 0 六 巩固 训练 提 高能力 例 1 作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 1 2 3 13 6 学生先做 然后投影展示一个学生的作品 并强调三角函数线的位置 和方向 解 图略 例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小 1 与 2 cos与 cos 3 tan与 tan 3 2 sin 5 4 sin 3 2 5 4 3 2 5 4 解 如图可知 3 2 sin 5 4 sin cos cos 3 2 5 4 tan tan 3 2 5 4 学生先做 教师引导学生利用三角函数线解题 并投影展示一个学 生作品 强调数形结合思想 例 3 利用三角函数线画出适合下列条件的角的终边 1 2 3 2 1 sin 2 1 cos 1tan 共同分析 1 设角的终边与单位圆交于 P 则 所 yx siny 以要作出满足的角的终边 只要在单位圆上找出纵坐标为的 2 1 sin 2 1 巩固练习 准确掌握三 角函数线的 作法 巩固新知 提高运用知 识的能力 体会三角函 数线的用处 和实质 逆向思维 灵活运用三 角函数线 并为利用三 角函数线求 解三角函数 不等式 组 作铺垫 o B A T2 T1 P2 P1 M2M1 S1 点 P 则射线 OP 即为的终边 教师利用课件动态演示 请学生分析 2 3 同时画图演示 例 4 利用三角函数线画出适合下列条件的角的终边的范围 并由 此写出角的集合 1 2 sin 2 1 cos 2 1 分析 先作出满足 的角的终边 例 3 已做 2 1 sin 2 1 cos 然后根据已知条件确定角终边的范围 教师用课件动态演示 答案 1 Zkkk 6 5 2 6 2 2 Zkkk 3 4 2 3 2 2 延伸延伸 通过 1 2 两图形的复合又可以得出不等式组 的解集 2 1 cos 2 1 sin Zkkk 6 5 2 3 2 2 数形结合思 想表现在由 数到形和由 形到数两方 面 将任意 角的正弦 余弦 正切 值分别用有 向线段表示 出来体现了 由数到形的 转化 借助 三角函数线 求解三角函 数方程和不 等式又发挥 了由形到数 的巨大作用 七 归纳 小结 1 回顾三角函数线作法 2