湖南省祁阳县2013届高三数学 上学期第六次周考（理）试卷（含解析）

用心 爱心 专心1 湖南祁阳四中湖南祁阳四中 2013 届数学届数学 理理 周考周考 6 除立体几何 解析几何外的高考全部内容 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项符合题目要求的 1 设a是实数 且 12 125 ai i 是实数 则a A 1 2 B 1C 3 2 D 2 1 B 解析 12 1 2 12 1 22 125555 aiaiiaa i R i 所以2 20a 所以 1a 故选 B 2 下列四个命题中 假命题为 A x R 20 x B x R 2 310 xx C x R lg 0 x D x R 1 2 2x 2 B 解析 不等式 2 310 xx 的解集为 3535 22 所以选项 B 错误 故选 B 3 若点 cos sin P 在直线 2yx 上 则sin2 2cos2 A 14 5 B 7 5 C 2 D 4 5 3 C 解析 点 P 在 y 2x 上 sin 2cos sin2 2cos2 2sin cos 2 2cos2 1 4cos2 4cos2 2 2 故选 C 4 n a 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 令 3nn ba 则数列 n b 的一个通项公式是 用心 爱心 专心2 A 32 n bn B 41 n bn C 61 n bn D 83 n bn 4 C 解析 21 n an 数列 n b 的前 4 项为 5 11 17 23 检验知它的一个通项公式 为 61 n bn 故选 C 5 设0 1x 则 2ax 1bx 1 1 c x 4 1 x d x 中最大的一个是 A a B b C c D d 5 C 解析 含限定条件的不等式比较大小的问题 最有效的方法为特殊值法 取 1 2 x 得c最大 故选 C 6 已知函数 sin x f x x 对于下列三个命题 f x 是偶函数 1f x 当 3 2 x 时 f x 取得极小值 其中真命题的序号为 A B C D 6 A 解析 sin sin xx fxf x xx 所以 f x 是偶函数 当 0 2 x 时 sinxx 当 2 x 时 sin 1 xx 由此可知 sin 1 x f x x 而由该函数是偶函数 可 知 1 1 xf 又 2 cossin3 0 2 xxx fxf x 所以 3 2 x 不是函数 xf 的极值点 综上可得真命题的序号为 故选 A 7 函数 2 log x y x 的图象大致是 用心 爱心 专心3 7 C 解析 由于 x x log2 x x log2 因此函数 x x y log2 是奇函数 其图像关于 原点对称 当 0 x 时 对函数求导可知函数先增后减 结合选项可知选 C 8 为了实现长沙经济区域一体化战略 湖南省政府计划对长沙市周边如图所示的 A B C D E F G H 八个中小城市进行综合规划治理 第一期工 程拟从这八个中小城市中选取 3 个城市 但要求没有任何两 个城市相邻 则城市 A 被选中的概率为 A 3 8 B 5 28 C 5 13 D 1 2 8 D 解析 从 8 个城市选 3 个的情况共有 3 8 56C 种 其中任意两个都不相邻的情况可以 通过列举的方法得到 共有 28 个基本事件 所求概率为 281 562 故选 D 二 填空题 本大题共 8 小题 考生作答 7 小题 每小题 5 分 共 35 分 把答案填在答题 卡中对应题号的横线上 一 选做题 请考生在第 9 10 11 三题中任选两题作答 如果全做 则按前两题记分 9 设点A的极坐标为 2 6 直线l过点A且与极轴所成的角为3 则直线l的极坐标方 程为 9 3 cossin20 解析 点 A 的直角坐标为 3 1 依题意直线l的斜率为 3 故所求直线方程为 13 3 yx 即 320 xy 化为极标方程为 3 cossin20 10 一个试验要求的温度在60 90 0C 用分数法安排试验进行优选 则第一个试点安排在 用心 爱心 专心4 10 82 0C 解析 由题意可得第一个试点安排在 13 9069 6982 21 0C 11 如图 已知 O 的割线 PAB 交 O 于 A B 两点 割线 PCD 经过圆心 若 PA 3 AB 4 PO 5 则 O 的半径为 11 解析 设圆的半径为 R 由 PDPCPBPA 得3 3 4 5 5 RR 解得 R 2 二 必做题 12 16 题 12 2 3 1dx x 2 ln 3 解析 23 3 2 32 112 ln ln3ln2 ln 3 dxdxx xx 13 在程序框图 见下图 中输入 115 53 ab 则输出c 13 3 3 解析 1135 tantantantan3 633 ab 用心 爱心 专心5 3 tan 3 ca 14 若 42345 12345 1 xmxa xa xa xa xa x 其中 2 6a 则实数m的值为 12345 aaaaa 的值为 14 31 2 16 解析 1 24 3 46 2 aCmmm 令 1 x 可得 12345 aaaaa 4 31 1 11 216 15 设变量x y 满足约束条件 0 0 21 xy xy xy 则 1 y x 的最大值等于 15 1 4 解析 问题等价于在可行域内找一点P 使得点P与点 1 0 连线的斜率最大 如图 可行域上的点A与点 1 0 连线的斜 率最大 解方程组 0 20 xy xy 得点A的坐标为 1 1 3 3 所以 1 y x 的最大值为 1 1 3 1 4 1 3 16 若数列 nn ab 的通项公式分别是 aa n n 2010 1 2011 1 2 n n b n 且 nn ba 对任意n N 恒成立 则常数a的取值范围是 16 3 2 2 解析 O y x 1 1 A 1 用心 爱心 专心6 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别是 a b c 已知 2 3 aA 若 AB AC 2 3 试判定 ABC 的形状 若 CCBA2sin2 sin sin 求 ABC 的面积 17 解 2 3 aA 由余弦定理可得 22 4 bcbc 又 AB AC 2 3 所以 AB AC 2 12 即 22 12 bcbc 联立方程组 22 22 4 12 bcbc bcbc 解得 2 cb 所以 ABC 是等边三角形 由 CCBA2sin2 sin sin 得 CCBCB2sin2 sin sin 即 cossin2cossinCCCB 当 0cos C 时 4 32 3 2633 CBcb 当cos 0C 时 有 sin2sinCB 由正弦定理得 cb2 联立方程组 22 4 2 bcbc bc 解得 2 34 3 33 cb 所以 ABC 的面积 12 3 sin 23 SbcA 用心 爱心 专心7 18 12 分 2011 年 3 月 11 日 13 时 46 分 在日本东海岸附近海域发生里氏 9 级地震后引发 海啸 导致福岛第一核电站受损严重 3 月 12 日以来 福岛第一核电站的 4 台机组 编号 分别为 1 2 3 4 的核反应堆相继发生爆炸 放射性物质泄漏到外部 某评估机构预估 日本在十年内修复该核电站第 1 2 3 4 号机组的概率分别为 1 1 1 3 2 2 2 5 假设这 4 台机 组能否被修复相互独立 1 求十年内这 4 台机组中恰有 1 台机组被修复的概率 2 求十年内这 4 台机组中被修复的机组的总数为随机变量 求随机变量 的分布 列和数学期望 E 18 解 用心 爱心 专心8 19 12 分 已知单调递增的等比数列 n a 满足 a2 a4 20 a3 8 I 求数列 n a 的通项公式 II 若 log 2 1nnn aab 数列 n b 的前 n 项和为 502 1 n n nS 成立的正整数 n 的最小值 解 I 设等比例列 na 的首项为 1a 公比为 q 6 2 2 2 4 2 1 32 2 2 8 20 1 1 1 2 1 3 11 n nna q a a q a q a qa qaqa 依题意 8 2 2log 2 2 1 n n n b n n 2 3 23 2 2221 n nSn 1 2 4 23 3 22 2 212 n nSn 由 得 1 2 21 21 2 1 2 2 4 2 3 2 2 22 n n n n n n Sn 2 1 2 1 2 n n n 10 分 用心 爱心 专心9 550 1 2 2632 5 225 26162424 262 502 1 2 50 1 2 n n n n S n n n n nnn n n S 12 分 20 13 分 已知函数 2 ln 1 1 f xx g xmxx m 1 求 f x 在 x 1 处的切线方程 2 若函数 yf xyg x 与 的图像有公共点 且在公共点 P 处有相同的切线 求实 数 m 的值和 P 的坐标 20 解 1 y x 1 2 设函数 00 yf xyg xP xy 与图像的公共点为 则有 2 000 ln 1 xmxx P 又在点处有共同的切线 0 000 2 00 11 2 1 11 2 x fxg xmxm xx 代入 得 00 11 ln 22 xx 设 1111 ln 0 0 222 h xxxh xx x 所以 函数 h x 最多只有 1 个零点 观察得 0 1 0 xm 是零点故 此时 点 P 1 0 21 13 分 某企业自 2011 年 1 月 1 日正式投产 环保部监测部门从该企业投产之日起对它 向某湖区排放的污水量进行了三个月的跟踪监测 监测的数据如下表 并预测 如果不加以治 理 该企业每月向湖区排放的污水量将成等比数列 月份1 月2 月3 月 排放的污水量 单位 立方米 1 万2 万4 万 1 如果不加以治理 求从 2011 年 1 月起 m 个月后 该企业总计向某湖区排放了多少立方米的 用心 爱心 专心10 污水 2 为了保护环境 当地政府和企业决定从 7 月份开始投资安装污水处理设备 预计 7 月份的 污水排放量比 6 月份减少 4 万立方米 以后每月的污水排入量均比上月减少 4 万立方米 当企 业停止排放污水后 再以每月 16 万立方米的速度处理湖中的污水 请问什么时候可以使湖区 中的污水不多于 50 万立方米 21 解 22 13 分 已知函数 2 1 ln 2 f xxaxbx 0a 且 1 0 f 试用含有a的式子表示b 并求 f x 的极值 用心 爱心 专心11 对于函数 f x 图象上的不同两点 11 A x y 22 B xy 如果在函数图象上存在点 00 M xy 其中 012 xx x 使得点M处的切线 lAB 则称AB存在 伴随切线 特别地 当 12 0 2 xx x 时 又称AB存在 中值伴随切线 试问 在函数 f x 的图象上 是否存在两点A B使得它存在 中值伴随切线 若存在 求出A B 的坐标 若不存在 说明理由 22 解 f x 的定义域为 0 1 fxaxb x 1 10fab 1ba 代入 1 fxaxb x 得 1 fxax x 1 1 1 axx a x 当 0fx 时 1 1 0 axx x 由 0 x 得 1 1 0axx 又 0a 01x 即 f x 在 0 1 上单调递增 当 0fx 时 1 1 0 axx x 由 0 x 得 1 1 0axx 又 0a 1x 即 f x 在 1 上单调递减 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以 当 1x 时 f x 的极大值为 1 1 ln11 22 a fab 在函数 f x 的图象上不存在两点A B使得它存在 中值伴随切线 假设存在两点 11 A x y 22 B xy 不妨设 12 0 xx 则 2 1111 1 ln 1 2 yxaxax 2 2222 1 ln 1 2 yxaxax 用心 爱心 专心12 21 21 AB yy k xx 22 212121 21 1 lnln 1 2 xxa xxaxx xx 21 12 21 lnln1 1 2 xx a xxa xx 在函数图象 12 0 2 xx x 处的切线斜率 12 0 12 2 2 xx kfxfa xx 12 1 2 xx a 由 21 12 21 lnln1 1 2 xx a xxa xx 12 12 2 1 2 xx