导数 方程的根

1 已知函数 f x alnx bx2图象上点 P 1 f 1 处的切线方程为 2x y 3 0 求函数 y f x 的解析式 函数 g x f x m ln4 若方程 g x 0 在 1 e 2 上恰有两解 求实数 m 的取值范 围 答案 22 解 当 x 1 时 f 1 2 1 3 1 1 分 f x 2 a bx x 2 分 1 22 1 1 fab fb 4 分 解得 a 4 b 1 5 分 y f x 4ln x x2 6 分 方法一 g x f x m ln4 4ln x x2 m ln4 7 分 令 g x 0 得 m x2 4ln x ln4 则此方程在 1 2 e 上恰有两解 8 分 记 x x2 4ln x ln4 令 x 2x 2 4242 2 2 0 xxx xxx 得x 2 1 2 e 9 分 x 1 2 e x 0 x 单调递减 x 2 2 x 0 x 单调递增 11 分 又 2 2 24ln22ln22 11 42ln2 2 44ln22ln242ln2 ee 13 分 x 的图像如图所示 或 1 e 2 2 m 4 2ln2 14 分 方法二 g x f x m ln4 4lnx x2 m ln4 7 分 令 g x 42 2 2 20 xx x xx 得 x 2 1 2 e 8 分 因为 g x 在区间 1 2 e 上大于 0 在区间 2 2 上小于 0 所以 g x 在区间 1 2 e 上单调递增 在区间 2 2 上单调递减 10 分 由于 g x 0 在 1 2 e 上恰有两解 所以只需满足不等式组 22 2 4ln22ln420 111 4ln442ln2 2 4ln24ln4 42ln2 0 gmm gmm eee gmm 0 12 分 其中4 2 1 e 2ln2 4 2ln2 解得2 m 4 2ln2 14 分 2 山东省山师附中 2014 届高三 11 月期中学分认定考试数学 理 试题 已知函数 nxxxf1 1 若函数2 2 axxxfxg有零点 求实数 a 的范围 2 若 1 Zkxkxf 恒成立 求 k 的最大值 答案 3 山东省聊城市堂邑中学2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学 理 试题 已知函数 在点处的切线方程为 3 23 Rbaxbxaxxf 1 1 f02 y 求函数的解析式 xf 若对于区间上任意两个自变量的值 都有 求实 2 2 21 x xcxfxf 21 数的最小值 c 若过点 可作曲线的三条切线 求实数 的取值范围 2 2 mmM xfy m 答案 323 2 bxaxxf 根据题意 得 即 0 1 2 1 f f 0323 23 ba ba 解得 0 1 b a 3 3 xxxf 令 解得 33 2 xxf0 1 x f 1 2 f 1 2 2 2 2 2 ff 时 2 2 x 当 maxmin 2 2 f xf x 则对于区间 2 2 上任意两个自变量的值 都有 12 x x 12maxmin 4f xf xf xf x 所以所以的最小值为 4 4 c c 设切点为 3 00000 3xyyxx 则 切线的斜率为 2 00 33fxx 2 0 33 x 则 3 200 0 0 3 33 2 xxm x x 即 32 00 2660 xxm 因为过点 可作曲线的三条切线 2 2 Mm m yf x 所以方程有三个不同的实数解 32 00 2660 xxm 即函数有三个不同的零点 32 266g xxxm 则 2 612 g xxx 令 0 02 g xxx 解得或 x 0 0 0 2 2 2 g x 0 0 g x 极大 值 极小 值 即 0 2 0 0 g g 02 06 m m 26 m 4 山东省广饶一中二校区 2014 届高三上学期 10 月月考数学 理 试题 本小题满分 14 分 设关于的函数 其中为实数集 x 22 241 2 lnf xmxmmxmx m 上的常数 函数在处取得极值 0 R f x1x 1 已知函数的图象与直线有两个不同的公共点 求实数的取值范围 f xyk k 2 设函数 其中 若对任意的 总有 2 2 p g xpx x 0p 1 2 x 成立 求的取值范围 2 2 42f xg xxx p 答案 因为函数在处取得极 2 2 2 241 m fxmxmm x f x1x 值 0 得 解得 22 22 1 2 241 2210 1 241 2310 fmmmmmm fmmmmm 1m 则令得或 舍去 21 1 0 xx fxx x 0fx 1x 1 2 x 当时 当时 01x 0fx 1x 0fx 所以函数 f x在区间 0 1 上单调递增 在区间 1 上单调递减 所以当1x 时 函数 f x取得极大值 即最大值为 2 1 ln1 110f 所以当时 函数的图象与直线有两个交点 0k f xyk 设 2 2 2 422ln p F xf xg xxxxpx x 若对任意的 恒成立 1 2 x 2 2 42f xg xxx 则的最小值 F x min 0F x 2 22 222 2 ppxxp F xp xxx 1 当时 在递增 0p 2 22 0 x F x x F x 1 2 所以的最小值 不满足 式 所以不成立 F x 1 20F 0p 2 当时 0p 2 2 1 p p xx p F x x 当时 此时在递增 的最小值10p 2 11 p F x 1 2 F x 不满足 式 1 220Fp 当时 在递增 1p 2 1 11 p F x 12 所以 解得 此时满足 式 min 1 220F xFp 1p 1p 当时 在递增 满足 式 1p F x 12 min 1 0F xF 1p 综上 所求实数的取值范围为 p1p 5 山东省临朐七中 2014 届高三暑假自主学习效果抽测 二 数学试题 设函数 f x x2 mlnx h x x2 x a I 当 a 0 时 f x h x 在 1 上恒成立 求实数 m 的取值范围 II 当 m 2 时 若函数 k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同零点 求实数 a 的取值 范围 答案 解 1 由 a 0 f x h x 可得 mlnx x 即 ln x m x 1 分 记 ln x x 则 f x h x 在 1 上恒成立等价于 min mx 求得 2 ln1 ln x x x 2 分 当 1 xe 时 0 x 当 xe 时 0 x 4 分 故 x 在 x e 处取得极小值 也是最小值 即 min xee 故me 6 分 2 函数 k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同的零点等价于方程 x 2lnx a 在 1 3 上恰有两个相异实根 8 分 令 g x x 2lnx 则 2 1g x x 10 分 当 1 2 x 时 0g x 当 2 3 x 时 0g x g x 在 1 2 上是单调递减函数 在 2 3 上是单调递增函数 故 min 2 22ln2g xg 12 分 又 g 1 1 g 3 3 2ln3 g 1 g 3 只需 g 2 a g 3 故 a 的取值范围是 2 2ln2 3 2ln3 14 分 6 山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理 本题满分 13 分 设函数 2 2ln11f xxx 求函数 xf的单调递增区间 若关于x的方程 2 30f xxxa 在区间 2 4内恰有两个相异的实根 求 实数a的取值范围 答案 方法 2 2 2ln11f xxx 2 301 2ln10f xxxaxax 6 分 即 2ln11axx 令 2ln11h xxx 23 1 11 x h x xx 且1x 由 03 03h xxh xx 得1得 h x在区间 2 3