2012—2018高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)

2012 2018 年新课标全国卷年新课标全国卷 文科数学汇编文科数学汇编 立立 体体 几几 何何 一 选择题一 选择题 2017 6 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在棱的中点 则在 这四个正方体中 直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 2016 7 如图所示 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是 28 3 A B C D 17 18 20 28 2016 11 平面过正方体的顶点 平面 平面 1111 ABCDABC D A 11 CB D ABCDm 平面 则所成角的正弦值为 11 ABB An m n A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 2015 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书 中有如下 问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思 为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的 弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 米堆的体积和堆放的米各位多少 已知 1 斛 米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放的米有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 2015 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为 r 组成一个几何体 该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 16 20 则 r B A 1 B 2 C 4 D 8 2015 11 2014 8 2013 11 2012 7 2014 8 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的一个几何体的三视图 则这个几何体是 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 2013 11 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 2012 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三视图 则此几何体的体积 为 A 6 B 9 C 12 D 15 2012 8 平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1 球心 O 到平面的距离为 则此球的体积为 2 A B C D 6 4 3 4 6 6 3 2018 5 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 O1 O2 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面 是面积为 8 的正方形 该圆柱的表面积为 A 12 B 12 C 8 D 10 22 2018 9 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对 应点为 A 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短 路径的长度为 A 2 B 172 5 C 3 D 2 2018 10 在长方形 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30 则该 长方体的体积为 A 8 B 6 C 8 D 8 223 二 填空题二 填空题 2017 16 已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O的球面上 SC是球O的直径 若平面 SCASCB 平面 SA AC SB BC 三棱锥S ABC 的体积为 9 则球O的表面积为 2013 15 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点 AH HB 1 2 AB 平面 H 为垂足 截球 O 所得 截面的面积为 则球 O 的表面积为 三 解答题三 解答题 2017 18 如图 在四棱锥PABCD 中 AB CD 且90BAPCDP 1 证明 平面PAB 平面PAD 2 若PAPDABDC 90APD 且四棱锥 PABCD 的体积为 8 3 求该四棱锥的侧面积 2016 18 如图所示 已知正三棱锥的侧面是直角三角形 顶点在平面PABC 6PA P 内的正投影为点 在平面内的正投影为点 连结并延长交于点 ABCDDPABEPEABG 1 求证 是的中点 GAB 2 在题图中作出点在平面内的正投影 说明作法及理由 并求四面体的体EPACFPDEF 积 P A B D C G E 2015 18 如图四边形 ABCD 为菱形 G 为 AC 与 BD 交点 BE 平面 ABCD 证明 平面 AEC 平面 BED 若 ABC 120 AE EC 三棱锥 E ACD 的体积为 求该三棱锥的侧面积 6 3 2014 19 如图 三棱柱中 侧面为菱形 的中点为 且 111 CBAABC CCBB 11 CB1O 平面 AOCCBB 11 1 证明 1 ABCB 2 若 求三棱柱的高 1 ABAC 1 60 1 BCCBB 111 CBAABC 2013 19 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若 AB CB 2 A1C 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 6 2012 19 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 AC BC AA1 D 是棱90ACB 2 1 AA1的中点 1 证明 平面 BDC1 平面 BDC 2 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 2018 18 如图 在平行四边形 ABCM 中 AB AC 3 ACM 90 以 AC 为折痕将 ACM 折起 使点 M 到达点 D 的位置 且 AB DA 1 证明 平面 ACD 平面 ABC 2 Q 为线段 AD 上一点 P 为线段 BC 上一点 且 BP DQ DA 求三棱锥 Q ABP 的体积 2 3 D A1 B1 C A B C1 解解 析析 一 选择题一 选择题 2017 6 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在棱的中点 则在 这四个正方体中 直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 解法 选 A 由 B AB MQ 则直线 AB 平面 MNQ 由 C AB MQ 则直线 AB 平面 MNQ 由 D AB NQ 则直线 AB 平面 MNQ 故 A 不满足 选 A 2016 7 如图所示 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 若该几 何体的体积是 则它的表面积是 28 3 A B C D 17 18 20 28 解析 选 A 由三视图可知 该几何体是一个球截去球的 设球的半径为 则 1 8 R 3 7428 833 R 解得 该几何体的表面积等于球的表面积的 加上个截面的面积 每个截面是圆面的 2R 7 8 3 1 4 所以该几何体的表面积为 故选 A 22 71 4 23 2 84 S 14 3 17 2016 11 平面过正方体的顶点 平面 平面 1111 ABCDABC D A 11 CB D ABCDm 平面 则所成角的正弦值为 11 ABB An m n A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 解析 选 A 解法一 将图形延伸出去 构造一个正方体 如图所示 通过寻找线线平行构造出平面 即平面 即研究与所成角的正弦值 易知 所以其正弦值为 故选 A AEFAEAF 3 EAF 3 2 A B C D A1 B1 C1 D1 E F 解法二 原理同解法一 过平面外一点作平面 并使平面 不妨将点变换成 作A 11 CB DAB 使之满足同等条件 在这样的情况下容易得到 即为平面 如图所示 即研究与所 1 ABD 1 ABBD 成角的正弦值 易知 所以其正弦值为 故选 A 1 3 ABD 3 2 D1 C1 B1 A1 D CB A 2015 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书 中有如下问题 今有委米依垣内 角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆 锥的四分之一 米堆底部的弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 米堆的体积和 堆放的米各位多少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放的米有 B A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 解 设圆锥底面半径为 r 依题 所以米堆的体积 116 2 38 43 rr 为 故堆放的米约为 1 62 22 故选 B 2 1116320 3 5 4339 320 9 2015 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为 r 组成一个几何体 该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 16 20 则 r B A 1 B 2 C 4 D 8 解 该几何体是半球与半个圆柱的组合体 圆柱的半径与球的半径都为 r 圆柱的高为 2r 其表面积 为 2 r2 r 2r r2 2r 2r 5 r2 4r2 16 20 解得 r 2 故选 B 2014 8 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的 一个几何体的三视图 则这个几何体是 B A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 解 几何体是一个横放着的三棱柱 故选 B 2013 11 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 解析 选 A 该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 V半圆柱 22 4 8 V长方体 4 2 2 16 所以所求体积为 16 8 故选 A 1 2 2012 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三视图 则此几何体的体积 为 A 6 B 9 C 12 D 15 解析 由三视图可知 该几何体为 三棱锥 A BCD 底面 BCD 为 底边为 6 高为 3 的等腰三角形 侧面 ABD 底面 BCD AO 底面 BCD 因此此几何体的体积为 故选择 B 11 6 3 39 32 V 2012 8 8 平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1 球心 O 到平面的 距离为 则此球的体积为 2 A B 6 4 3 C D 4 6 6 3 解析 如图所示 由已知 1 1O A 1 2OO 在中 球的半径 1 Rt OO A 3ROA 所以此球的体积 故选择 B 3 4 4 3 3 VR 点评 本题主要考察球面的性质及球的体积的计算 2011 8 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如图所示 则相应的侧视图可以为 解析 由几何体的正视图和侧视图可知 该几何体的底面为半圆和等腰三角形 其侧视图可以是一个 O B D C A 由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形 故选 D 2018 5 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 O1 O2 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面 是面积为 8 的正方形 该圆柱的表面积为 B 2018 9 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对 应点为 A 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短 路径的长度为 B A 2 B 172 5 C 3 D 2 2018 10 在长方形 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30 则该 长方体的体积为 C A 8 B 6 C 8 D 8 223 二 填空题二 填空题 2017 16 已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O的球面上 SC是球O的直径 若平面 SCASCB 平面 SA AC SB BC 三棱锥S ABC 的体积为 9 则球O的表面积为 解析 取的中点 连接 因为 所以 SCO OA OB SAAC SBBC OASC OBSC 因为平面平面 所以平面 设 SAC SBCOA SBCOAr 所以 3 1111 2 3323 A SBCSBC VSOArrrr 3 1 93 3 rr 所以球的表面积为 2 436r 2013 15 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点 AH HB 1 2 AB 平面 H 为垂足 截球 O 所得 截面的面积为 则球 O 的表面积为 答案 9 2 解析 如图 设球 O 的半径为 R 则 AH OH 又 EH2 EH 1 在 Rt OEH 中 R2 2 3 R 3 R R2 S球 4 R2 2 2 1 3 R 9 8 9 2 2011 16 已知两个圆锥由公共底面 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 若圆锥底面 面积是这个球面面积的 则这两个圆锥中 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 3 16 解析 设圆锥底面半径为 球的半径为 则由 知 rR 22 3 4 16 rR 22 3 4 rR 根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的O 点 因此 PBQB 设 则 POx QOy 2xyR 又 知 PO BBO Q 22 rO Bxy 即 22 3 4 xyrR 由 及可得 xy 3 22 R xR y 则这两个圆锥中 体积较小者的高与体积较大者的高的比为 1 3 故答案为 1 3 三 解答题三 解答题 2017 18 如图 在四棱锥PABCD 中 AB CD 且90BAPCDP 1 证明 平面PAB 平面PAD 2 若PAPDABDC 90APD 且四棱锥 PABCD 的体积为 8 3 求该四棱锥的侧面积 解法 1 ABAP CDDP 90BAPCDP 又 AB CD ABDP 又AP 平面PAD DP 平面PAD 且APDPP AB 平面PAD AB 平面PAB 所以 平面PAB 平面PAD 2 由题意 设 PAPDABDC a 因为90APD 所以PAD 为等腰直角三角形 即 2ADa 取AD中点E 连接PE 则 2 2 PEa PEAD 又因为平面PAB 平面PAD 所以PE 平面ABCD 因为AB 平面PAD AB CD 所以AB AD CD AD 又 ABDC a 所以四边形ABCD为矩形 所以 3 11218 2 33233 P ABCD VAB AD PEaaaa AAAA AA 即 2a 11 2 2 3 2 26 6 2 3 22 S 侧 2016 18 如图所示 已知正三棱锥的侧面是直角三角形 顶点在平面PABC 6PA P 内的正投影为点 在平面内的正投影为点 连结并延长交于点 ABCDDPABEPEABG 1 求证 是的中点 GAB 2 在题图中作出点在平面内的正投影 说明作法及理由 并求四面体的体EPACFPDEF 积 P A B D C G E 解析 1 由题意可得为正三角形 故 ABC 6PAPBPC 因为在平面内的正投影为点 故平面 PABCDPD ABC 又平面 所以 AB ABCABPD 因为在平面内的正投影为点 故平面 DPABEDE PAB 又平面 所以 AB PABABDE 因为 平面 ABPD ABDE PDDED PD DE PDG 所以平面 又平面 所以 AB PDGPG PDGABPG 因为 所以是的中点 PAPB GAB 2 过作交于 则即为所要寻找的正投影 EEFBP PAFF E G C D B A P F 理由如下 因为 故 同理 PBPA PBEF EFPA EFPC 又 平面 所以平面 PAPCP PA PC PACEF PAC 故即为点在平面内的正投影 FEPAC 所以 1 3 D PEFPEF VSDE 1 6 PF EF DE 在中 故由等面积法知 PDG 3 2PG 6DG 2 3PD 2DE 由勾股定理知 由为等腰直角三角形知 故 2 2PE PEF 2PFEF 4 3 D PEF V 2015 18 如图四边形 ABCD 为菱形 G 为 AC 与 BD 交点 BE 平面 ABCD 证明 平面 AEC 平面 BED 若 ABC 120 AE EC 三棱锥 E ACD 的体积为 求该三棱锥的侧面积 6 3 解 BE 平面 ABCD BE AC ABCD 为菱形 BD AC AC 平面 BED 又 AC 平面 AEC 平面 AEC 平面 BED 6 分 设 AB x 在菱形 ABCD 中 由 ABC 120 可得 AG GC GB GD 在 Rt AEC 中 可得 EG 3 2 x 2 x3 2 x 在 Rt EBG 为直角三角形 可得 BE 9 分 2 2 x 解得 x 2 3 1166 32243 E ACD VAC GD BEx 由 BA BD BC 可得 AE ED EC 6 AEC 的面积为 3 EAD 的面积与 ECD 的面积均为 5 所以三棱锥 E ACD 的侧面积为 12 分3 2 5 18 解析 1 因为平面 所以 BE ABCDBEAC 又为菱形 所以 ABCDACBD 又因为 平面 BDBEB BDBE BED 所以平面 又平面 所以平面平面 AC BEDAC AECAEC BED 2 在菱形中 取 ABCD2ABBCCDADx 又 所以 120ABC 3AGGCx BGGDx 在中 所以 AEC 90AEC 1 3 2 EGACx 所以在中 RtEBG 22 2BEEGBGx 所以 解得 3 1166 22sin1202 3233 E ACD Vxxxx 1x 在 中 RtEBA RtEBC RtEBD 可得 6AEECED 所以三棱锥的侧面积 11 2256632 5 22 S 侧 2014 19 如图 三棱柱中 侧面为菱形 的中点为 且 111 CBAABC CCBB 11 CB1O 平面 AOCCBB 11 1 证明 1 ABCB 2 若 求三棱柱的高 1 ABAC 1 60 1 BCCBB 111 CBAABC 证明 连接 BC1 则 O 为 B1C 与 BC1的交点 AO 平面 BB1C1C AO B1C 2 分 因为侧面 BB1C1C 为菱形 BC1 B1C 4 分 BC1 平面 ABC1 AB 平面 ABC1 故 B1C AB 6 分 作 OD BC 垂足为 D 连结 AD AO BC BC 平面 AOD 又 BC 平面 ABC 平面 ABC 平面 AOD 交线为 AD 作 OH AD 垂足为 H OH 平面 ABC 9 分 CBB1 60 所以 CBB1为等边三角形 又 BC 1 可得 OD 3 4 由于 AC AB1 1 11 22 OABC 22 7 4 ADODOA 由 OH AD OD OA 可得 OH 又 O 为 B1C 的中点 所以点 B1到平面 ABC 的距 21 14 离为 所以三棱柱 ABC A1B1C1的高高为 12 分 21 7 21 7 另解 等体积法 CBB1 60 所以 CBB1为等边三角形 又 BC 1 可得 BO 由于 AC AB1 AB 1 AC 9 分 3 2 1 11 22 OABC 2 2 则等腰三角形 ABC 的面积为 设点 B1到平面 ABC 的距离为 22 1227 1 2248 d 由 VB1 ABC VA BB1C得 73121 8427 dd 解得 所以三棱柱 ABC A1B1C1的高高为 12 分 21 7 2013 19 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若 AB CB 2 A1C 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 6 证明 1 取 AB 的中点 O 连结 OC OA1 A1B 因为 CA CB 所以 OC AB 由于 AB AA1 BAA1 60 故 AA1B 为等边三角形 所以 OA1 AB 因为 OC OA1 O 所以 AB 平面 OA1C 又 A1C 平面 OA1C 故 AB A1C 2 解 由题设知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形 所以 OC OA1 3 又 A1C 则 A1C2 OC2 6 2 1 OA 故 OA1 OC 因为 OC AB O 所以 OA1 平面 ABC OA1为三棱柱 ABC A1B1C1的高 又 ABC 的面积 S ABC 故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABC OA1 3 3 2012 19 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 AC BC AA1 D 是棱90ACB 2 1 AA1的中点 1 证明 平面 BDC1 平面 BDC 2 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 解析 1 在中 Rt DAC ADAC 得 45ADC 同理 111 4590ADCCDC 得 1 DCDC 由题设知 BC CC1 BC AC 1 CCACC 所以平面 BC 11 ACC A 又平面 所以 1 DC 11 ACC A 1 DCBC 而 所以平面 DCBCC 1 DC BDC 又平面 故平面 BDC1 平面 BDC 1 DC 1 BDC D A1 B1 C A B C1 2 由已知 AC BC AA1 D 是棱