山东省各地市2012年高考数学(文科)最新试题分类大汇编21：圆锥曲线(1)

山东省济宁市邹城二中 2012 届高三第二次月考文 22 本题满分 18 分 已知抛物线 C 的顶点在原点 焦点在 y 轴正半轴上 点到其准线的距离等于 5 4 mP 求抛物线 C 的方程 如图 过抛物线 C 的焦点的直线从左到右依次与抛物线 C 及圆交于1 1 22 yx A C D B 四点 试证明为定值 BDAC 过 A B 分别作抛物 C 的切线且交于点 M 求与面积之和的 21 l l 21 l lACM BDM 最小值 答案 22 解 设抛物线方程为 由题意得 0 2 2 ppyx 所以抛物线 C 的方程为 4 分5 2 4 p 2 pyx4 2 解法一 抛物线焦点与的圆心重合即为 E 0 1 1 1 22 yx 设过抛物线焦点的直线方程为 1 kxy 2211 yxByxA 得到 2 分 1 4 2 kxy yx 044 2 kxx4 4 2121 xxkxx 由抛物线的定义可知 1 1 yAE1 2 yBE 即为定值 1 3 分 21 1 1 yyBEAEBDAC1 16 2 2 2 1 xx BDAC 所以 2 4 1 xy xy 2 1 所以切线 AM 的方程为 切线 BM 的方程为 2 1 4 11 2 1 xxx x y 2 1 4 22 2 2 xxx x y 解得即 2 分 4 2 2121 xxxx M 1 2 kM 所以点 M 到直线 AB 的距离为 2 2 1 22 k k d 设 2 2 21 1 22 2 1 2 1 k k yydBDACSSy BDMACM 2 分1 24 1 1 2 22 2 2 21 kk k k xxk 令 所以 1 1 2 tktty24 3 0212 2 ty 所以在上是增函数 当 即时 即与面积之tty24 3 1 1 t0 k2 min yACM BDM 和的最小值为 2 3 分 解法二 设过抛物线焦点的直线方程为 不妨设1 kxy 2211 yxByxA 0 0 21 xx 得到 2 分 1 4 2 kxy yx 044 2 kxx4 4 2121 xxkxx 1 2 1 2 1 1 xkxkAE 2 2 2 2 1 1 xkxkBE 1 1 1 11 11 21 2 21 2 2 2 1 2 xxkxxkxkxkBDAC 即为定值 3 分1116161 1 4 222 kkk BDAC 所以 所以切线 AM 的方程为 2 4 1 xy xy 2 1 2 1 4 11 2 1 xxx x y 切线 BM 的方程为 解得即 3 分 2 1 4 22 2 2 xxx x y 4 2 2121 xxxx M 1 2 kM 所以点 M 到直线 AB 的距离为 2 2 1 22 k k d 设 2 2 2 2 1 2 1 22 1111 2 1 2 1 k k xkxkdBDACSSy BDMACM 3 分1 2 1 4 1 1 2 1 22 2 2 12 2 kk k k xxk 令 所以 1 1 2 tktty24 3 0212 2 ty 所以在上是增函数 当 即时 即与面积之tty24 3 1 1 t0 k2 min yACM BDM 和的最小值为 2 山东省济宁市金乡二中 2012 届高三 11 月月考文 2 已知双曲线 22 22 1 xy ab 过其右焦点 且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M N 两点 O 是坐标原点 若OMON 则双曲线的 离心率为 A 12 2 B 1 3 2 C 1 5 2 D 1 7 2 答案 C 山东省济宁市金乡二中 2012 届高三 11 月月考文 17 本题满分 14 分 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x C的一个焦点是抛物线xy52 2 的焦点 且双曲线 C 经过点 3 1 又知直线1 kxyl与双曲线C相交于 A B 两点 1 求双曲线 C 的方程 2 若OBOA 求实数 k 值 答案 1717 1 4 1 2 x 1 1 2 y 2 2 k 验证0 山东省济宁市金乡二中 2012 届高三 11 月月考文 19 本小题满分 13 分 已知抛物线 C 2 ymx 0m 焦点为 F 直线220 xy 交抛物线 C 于 A B 两点 P 是线段 AB 的中点 过 P 作x轴的垂线交抛物线 C 于点 Q 1 求抛物线 C 的焦点坐标 2 若抛物线 C 上有一点 2 R R x到焦点 F 的距离为3 求此时 m 的值 3 是否存在实数 m 使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形 若存在 求出 m 的 值 若不存在 说明理由 答案 19 解 1 抛物线C 2 1 xy m 它的焦点 1 0 4 F m 2 11 23 44 R RFy mm 得 1 4 m 3 联立方程 2 220 ymx xy 消去y得 2 220mxx 设 22 1122 A x mxB x mx 则 12 12 2 2 xx m xx m P是线段AB的中点 22 1212 22 xxmxmx P 即 1 p Py m 11 Q m m 得 22 1122 1111 QAxmxQBxmx mmmm 若存在实数m 使ABQ 是以Q为直角顶点的直角三角形 则0QA QB 即 22 1212 1111 0 xxmxmx mmmm 结合 化简得 2 46 40 mm 即 2 2320mm 2m 或 1 2 m 舍去 存在实数2m 使ABQ 是以Q为直角顶点的直角三角形 山东省潍坊市 2012 届高三上学期期末考试文 15 已知双曲线 的离心率为 则其渐近线方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 32 答案 xy 3 3 山东省潍坊市 2012 届高三上学期期末考试文 10 已知点 P 是抛物线上一点 xy8 2 设 P 到此抛物线准线的距离是 d1 到直线的距离是 d2 则 dl d2的最小值是 010 yx A B C D 3 33226 答案 C 山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文 22 本小题满分 12 分 已知点 圆 与椭圆 有一 4 4PC 22 5 3 xmym E 22 22 1 0 xy ab ab 个公共点 分别是椭圆的左 右焦点 直线与圆相切 3 1A 12 FF 1 PFC 求的值与椭圆的方程 mE 设为椭圆上的一个动点 求的取值范围 QEAP AQ Q P O y x F1 A C F2 答案 22 解 点A代入圆C方程 得 m 3 m 1 圆C 1 分 2 3 15m 22 1 5xy 设直线PF1的斜率为k 则PF1 即 4 4yk x 440kxyk 直线PF1与圆C相切 2 044 5 1 kk k 解得 2 分 111 22 kk 或 当k 时 直线PF1与x轴的交点横坐标为 不合题意 舍去 11 2 36 11 当k 时 直线PF1与x轴的交点横坐标为 4 1 2 c 4 F1 4 0 F2 4 0 4 分 2a AF1 AF2 a2 18 b2 2 2 5 226 2 3 2a 椭圆E的方程为 6 分 22 1 182 xy 设Q x y 1 3 AP 3 1 AQxy 8 分 3 3 1 36AP AQxyxy 即 22 1 182 xy 22 3 18xy 而 18 6xy 18 22 3 2 3 xyxy 则的取值范围是 0 36 10 222 3 3 6186xyxyxyxy 分 的取值范围是 6 6 3xy 的取值范围是 12 0 12 分36AP AQxy 山东省临沂市 2012 届高三上学期期中文 16 在如图所示的直角坐标系中 一运动物体 经过点 A 0 9 其轨迹方程为 2 0 yaxc a 区间为 x 轴上的给定区间 为使此物落在区间 D 内 a 的取值范围是 6 7 D 答案 49 9 4 1 a 山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学 文 10 设 M 0 x 0 y 为抛物线 C 2 8xy 上一点 F 为抛物线 C 的焦点 以 F 为圆心 FM为半径的圆和抛物线 C 的 准线相交 则 0 y的取值范围是 A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 答案 C 解析 由题意只要4FM 即可 而 00 2 2 FMyy 所以 简单考查抛物线的方程 直线与圆的位置关系 抛物线的定义及几何性质 是简单题 山东省滕州二中 2012 届高三上学期期中文 22 本小题满分 14 分 设椭圆 过点分别为椭圆 C 的左 右两个焦点 且离心 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 21 2 3 1 FF 率 2 1 e 1 求椭圆 C 的方程 2 已知 A 为椭圆 C 的左顶点 直线 过右焦点 F2与椭圆 C 交于 M N 两点 若 AM AN l 的斜率满足求直线 的方程 21 k k 2 1 21 kkl 答案 22 解 1 由题意椭圆的离心率 2 1 e 2 1 a c ca2 2222 3ccab 椭圆方程为 3 分1 34 2 2 2 2 c y c x 又点 1 在椭圆上 1 2 3 1 3 2 3 4 1 2 2 2 cc 2 c 椭圆的方程为 6 分1 34 22 yx 2 若直线 斜率不存在 显然不合题意 l 12 0kk 则直线 l 的斜率存在 7 分 设直线 为 直线 l 和椭交于 l 1 xky 11 M x y 22 N xy 将 1243 1 22 中得到代入 yxxky 01248 43 2222 kxkxk 依题意 9 分11099 2 kkk或得 由韦达定理可知 10 分 2 2 11 2 2 21 43 124 43 8 k k xx k k xx 又 2 1 2 1 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x k x y x y kk ANAM 12 11 23 22 k xx 而 4 2 4 2 1 2 1 2121 21 21 xxxx xx xx 2 2 222 22 3 12 43 416124 43 48 k k kkk kk 从而 13 分 2 11 3 12 32 2 2 kk k kkk ANAM 求得符合2k 1 k 故所求直线 MN 的方程为 14 分 1 2 xy 山东省青州市2012届高三2月月考数学 文 21 本小题满分 本小题满分12分 分 已知点分别为 21 F F 椭圆的左 右焦点 点为椭圆上任意一点 到焦点的距 0 1 2 2 2 2 ba b y a x CPP 2 F 离的最大值为 且的最大面积为 12 21F PF 1 I 求椭圆的方程 C II 点的坐标为 过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点 对M 0 4 5 2 FkLCBA 于任意的是否为定值 若是求出这个定值 若不是说明理MBMARk 答案 21 解 解 I 由题意可知 a c 1 2c b 1 有 a2 b2 c2 2 1 2 a2 2 b2 1 c2 1 所求椭圆的方程为 4 分 2 2 1 2 x y II 设直线 l 的方程为 y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 M 0 5 4 联立 2 2 2222 1 12 42 202 y k x 1 x y ykxk xk 消去得 则 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 0 k xx k k x x k 11221212 121212 5555 4444 525 416 MAxyMBxyMA MBxxy y xxx xy y 7 16 7 16xRMA MB 对任意有为定值 12分 山东省青州市 2012 届高三 2 月月考数学 文 10 设双曲线 的渐近线与抛物线相切 则该双曲线的离心率等于 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 1 2 xy A B C D 5 2 5 6 2 6 答案 B 山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考文 6 为双曲线的右支上一点 P 22 1 916 xy 分别是圆和上的点 则的最大值为MN 22 5 4xy 22 5 1xy PMPN 9 8 7 6 答案 A 山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考文 10 若直线与曲线yxb 有公共点 则 b 的取值范围是 2 34yxx A B 3 1 2 2 12 2 12 C 3 D 1 1 2 2 12 2 答案 C 山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考文 15 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 12 F F 若曲线 r 上存在点 P 满足 则曲线 r 的离心率等于 1122 4 3 2PFFFPF 答案 或 1 2 3 2 山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考文 21 如图 椭圆的焦点在 x 轴 22 2 1 2 xy C a 上 左右顶点分别为 上顶点为 B 抛物线分别以 A B 为焦点 其顶点均为坐标 1 A A 12 C C 原点 O 与相交于直线上一点 P 1 C 2 C2yx 1 求椭圆 C 及抛物线的方程 12 C C 2 若动直线 与直线 OP 垂直 且与椭圆 C 交于不同的两点 M N 已知点 求l 2 0Q 的最小值 QMQN 答案 21 解 由题意 A 0 B 0 故抛物线 C1的方程可设为a2 C2的方程为 1 分axy4 2 yx24 2 由 得 3 分 xy yx axy 2 24 4 2 2 28 8 4 Pa 所以椭圆 C 抛物线 C1 抛物线 C2 5 分1 216 22 yx 16 2 xy yx24 2 由 知 直线 OP 的斜率为 所以直线 的斜率为2l 2 2 设直线 方程为lbxy 2 2 由 整理得 6 分 bxy yx 2 2 1 216 22 0 168 285 22 bbxx 因为动直线 与椭圆 C 交于不同两点 所以l0 168 20128 22 bb 解得 7 分1010 b 设 M N 则 11 y x 22 y x 5 168 5 28 2 2121 b xxbxx 8 分 5 8 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 21212121 b bxx b xxbxbxyy 因为 2 2 2211 yxQNyxQM 所以2 2 2 2 2121212211 yyxxxxyxyxQNQM 10 分 5 14169 2 bb 因为 所以当时 取得最小值1010 b 9 8 bQNQM 其最小值等于 12 分 9 38 5 14 9 8 5 16 9 8 5 9 2 山东省阳信一中 2012 届高三上学期期末文 7 在平面直角坐标系中 我们称横 纵坐标 都为整数的点为整点 则方程所表示的曲线上整点的个数为 182 22 yx 答案 6 山东省阳信一中 2012 届高三上学期期末文 19 16 分 椭圆 的左 右焦点分别是 过的直线 与椭圆相交 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 1 F 2 F 1 FlC 于 两点 且 成等差数列 AB 2 AFAB 2 BF 1 求证 aAB 3 4 2 若直线 的斜率为 1 且点在椭圆上 求椭圆的方程 l 1 0 CC 答案 19 解 1 由题设 得 AB2 2 AF 2 BF 由椭圆定义 4 分AB 2 AF aBF4 2 所以 2 分aAB 3 4 2 由点在椭圆上 可设椭圆的方程为 2 分 1 0 CC 1 1 2 2 2 ay a x 设 代入椭圆的方程 整理得 11 yxA 22 yxB 0 1 cF lcyx C 2 分012 1 22 cyya 则 4 2 2 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 yyyyyyyyxxAB 2 22 22 222 2 2 2 1 8 14 1 2 1 4 1 2 2a a ac aaa c 于是有 4 分a a a 1 4 3 4 2 解得 故 椭圆的方程为 2 分2 aC1 2 2 2 y x 山东省潍坊市重点中学 2012 届高三 2 月月考文 本小题满分 14 分 给定椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 称圆心在原点O 半径为 22 ba 的圆是椭圆 C的 准圆 若椭圆C的一个焦点为 0 2 F 其短轴上的一个端点到F的距离为3 求椭圆C的方程和其 准圆 方程 点P是椭圆C的 准圆 上的一个动点 过动点P作直线 21 l l使得 21 l l与椭圆 C都只有一个交点 且 21 l l分别交其 准圆 于点NM 1 当P为 准圆 与y轴正半轴的交点时 求 21 l l的方程 2 求证 MN为定值 答案 22 解 1 3 2 bac 椭圆方程为1 3 2 2 y x 2 分 准圆方程为4 22 yx 3 分 1 因为准圆4 22 yx与y轴正半轴的交点为 2 0 P 设过点 2 0 P且与椭圆有一个公共点的直线为2 kxy 所以由 1 3 2 2 2 y x kxy 消去y 得0912 31 22 kxxk 因为椭圆与2 kxy只有一个公共点 所以0 31 94144 22 kk 解得1 k 6 分 所以 21 l l方程为2 2 xyxy 7 分 当 21 l l中有一条无斜率时 不妨设 1 l无斜率 因为 1 l与椭圆只有一个公共点 则其方程为3 x 当 1 l方程为3 x时 此时 1 l与准圆交于点 1 3 1 3 此时经过点 1 3 或 1 3 且与椭圆只有一个公共点的直线是1 y 或1 y 即 2 l为1 y 或1 y 显然直线 21 l l垂直 同理可证 1 l方程为3 x时 直线 21 l l垂直 9 分 当 21 l l都有斜率时 设点 00 yxP 其中4 2 0 2 0 yx 设经过点 00 yxP与椭圆只有一个公共点的直线为 00 yxxty 则 1 3 2 2 00 y x txytxy 消去y 得03 3 6 31 2 0000 22 txyxtxytxt 由0 化简整理得 012 3 2 000 2 2 0 ytyxtx 11 分 因为4 2 0 2 0 yx 所以有0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 设 21 l l的斜率分别为 21 t t 因为 21 l l与椭圆只有一个公共点 所以 21 t t满足上述方程0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 所以1 21 tt 即 21 l l垂直 13 分 综合 知 因为 21 l l经过点 00 yxP 又分别交其准圆于点NM 且 21 l l垂直 所以线段MN为准圆4 22 yx的直径 所以MN 4 14 分 山东省潍坊市重点中学 2012 届高三 2 月月考文 11 若双曲线 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的 左右焦点分别为 1 F 2 F 线段 21F F被抛物线的焦点分成3 2的两段 则此双 2 1 2 xy b 曲线的离心率为 A 9 8 B 6 37 37 C D 5 3 3 5 21 21 答案 D 山东省烟台市 2012 届高三期末检测文 22 本小题满分 14 分 已知圆 M 及定点 点 P 是圆 M 上的动点 点 Q 在 NP 上 365 2 2 yx 0 5N 点 G 在 MP 上 且满足 0 2 NPGQNQNP 1 求点 G 的轨迹 C 的方程 2 过点 K 2 0 作直线与曲线 C 交于 A B 两点 O 是坐标原点 设 l 是否存在这样的直线使四边形 OASB 的对角线相等 若存在 求出直线 OBOAOS l 的方程 若不存在 说明理由 l 答案 22 1 由为 PN 的中点 且是 PN 的中垂线 Q NPGQ NQNP 0 2 GQPNGQ GNPG 4 分 6 GNGMGPGMPM 52 点 G 的轨迹是以 M N 为焦点的椭圆 又 25 3 bca 6 分 1 49 22 yx 2 四边形 OASB 为平行四边行 假设存在直线 1 使 OBOAOS 四边形 OASB 为矩形若 1 的斜率不存在 则 1 的方程为 ABOS OBOA 2 x 由 0 这与相矛盾 9 16 3 52 2 49 2 22 OBOA y x yx x 0 OBOA 1 的斜率存在 8 分 设直线 1 的方程 2 2211 yxByxAxky 1 49 2 22 yx xky 0 1363649 2222 kxkxk 10 分 49 136 49 36 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 49 20 422 2 2 2 2121 2 2121 k k xxxxkxkxkyy 由 13 分 00 2121 yyxxOBOA 2 3 0 49 20 49 136 2 2 2 2 k k k k k 存在直线 1 或满足条件 14 分 0623 yx0623 yx 山东省烟台市 2012 届高三期末检测文 5 直线经过椭圆022 yx 的一个焦点和一个顶点 则该椭圆的离心率为 01 2 2 2 2 ba b y a x A B C D 5 52 2 1 5 5 3 2 答案 A 山东省青岛市 2012 届高三期末检测文 11 以双曲线的左焦点 22 22 1 xy ab 0 0 ab 为圆心 作半径为的圆 则圆与双曲线的渐近线FbFF A 相交 B 相离 C 相切 D 不确定 答案 C 山东省青岛市 2012 届高三期末检测文 22 22 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知椭圆的离心率为 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成 C 22 22 1 0 xy ab ab 6 3 的三角形的面积为 5 2 3 求椭圆的方程 C 已知动直线与椭圆相交于 两点 1 yk x CAB 若线段中点的横坐标为 求斜率的值 AB 1 2 k 消去 y 已知点 求证 为定值 7 0 3 M MA MB 答案 解 因为满足 2 22 22 1 0 xy ab ab 222 abc 6 3 c a 分 解得 则椭圆方程为 4 分 15 2 2 23 bc 22 5 5 3 ab 22 1 5 5 3 xy 1 将代入中得 1 yk x 22 1 5 5 3 xy 6 分 2222 1 3 6350kxk xk 422