2016届高考数学-江苏专用--【应用题中的瓶颈题】讲解

1 第第3讲应用问题中的讲应用问题中的 瓶颈题瓶颈题 数学应用问题是高考中常见题型之一 是能否锁定128分的重要突破口 常见的 应用题有 1 函数与不等式模型 2 函数与导数模型 3 三角函数模型 4 数 列模型 解决实际问题的一般步骤 1 阅读题目 理解题意 2 设置变量 建立函 数关系 3 应用函数知识或数学方法解决问题 4 检验 作答 解应用题的一般思 路可表示如下 分类解密分类解密 专题突破专题突破 函数与不等式模型的应用题 例1 某工厂有工人214名 现要生产1500件产品 每件产品由3个A型零件和 1个B型零件配套组成 每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同 现将工人分成两组 分别加工一种零件 同时开始加工 设加工A型零件的工人有x人 在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件 加工完A型零件所需时间为g x 加工完 B型零件所需时间为h x 1 比较g x 与h x 的大小 并写出完成总任务的时间f x 的解析式 2 应怎样分组 才能使完成任务用时最少 练习 如图 已知矩形油画的长为a 宽为b 在该矩形油画的四边镶金 箔 四个角 图中斜线区域 装饰矩形木雕 制成一幅矩形壁画 设壁画左右两边金箔 的宽为x 上下两边金箔的宽为y 壁画的总面积为S 1 用x y a b表示S 2 若S为定值 为节约金箔用量 应使四个矩形木雕的总面积最大 求四个矩形 木雕总面积的最大值及对应的x y的值 2 练习 函数与导数模型的应用题 例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设 阴影部分 为一公共设施 不能开发 且要求用栏栅隔开 栏栅要求在一直线上 公共设施边界 为曲线f x 1 ax2 a 0 的一部分 栏栅与矩形区域的边界交于点M N 交曲线于点P 设P t f t 1 将 OMN O为坐标原点 的面积S表示成t的函数S t 2 若在t 1 2处 S t 取得最小值 求此时a的值及S t 的最小值 例1 练习 在某次水下考古活动中 需要潜水员潜入水深为30m的水底进行 作业 其用氧量包含3个方面 下潜时 平均速度为v 米 单位时间 单位时间内用 氧量为cv2 c为正常数 在水底作业需5个单位时间 每个单位时间用氧量为 0 4 返回水面时 平均速度为2 v 米 单位时间 单位时间用氧量为0 2 记该潜水 员在此次考古活动中 总用氧量为y 1 求出y关于v的函数解析式 2 设00 km的圆形区域 轮船的航行 4 方向为西偏北45 且不改变航线 假设台风中心不移动 1 r在什么范围内 轮船在航行途中不会受到台风的影响 2 当r 60时 轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米 练习 2014 江苏卷 如图 为保护河上古桥OA 规划建一座新桥BC 同时设立一个圆形保护区 规划要求 新桥BC与河岸AB垂直 保护区的边界为圆心M在 线段OA上并与BC相切的圆 且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m 经测量 点A位于点O正北方向60m处 点C位于点O正东方向170m处 OC为河岸 tan BCO 4 3 1 求新桥BC的长 2 当OM多长时 圆形保护区的面积最大 练习 数列模型 例1 商学院为推进后勤社会化改革 与桃园新区商定 由该区向建设银行 贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓 工程于2012年年初 动工 年底竣工并交付使用 公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款 年利率5 按复 利计算 公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元 其余部分全部在年底还建 行贷款 1 若公寓收费标准定为每名学生每年800元 问 到哪一年可还清建行全部贷 款 2 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清 则每名学生每年的最低收费 标准是多少元 精确到元 参考数据 lg1 7343 0 2391 lg1 05 0 0212 1 058 1 4774 5 练习 某企业投入81万元经销某产品 经销时间共60个月 市场调研表 明 该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f x 1 120 N 1 2160 N 10 xx xxx 单位 万元 为了获得更多的利润 企业将每月获得的利 润再投入到次月的经营中 记第x个月的利润率为g x x x 个个个个个个 个个个个个个个个 例如 g 3 3 81 1 2 f ff 1 求g 10 2 求第x个月的当月利润率 3 该企业经销此产品期间 哪一个月的当月利润率最大 并求出该月的当月利 润率 立体几何体模型 例1 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 m 其中容器的 中间为圆柱形 高为l 左右两端均为半球形 半径为r 按照设计要求容器的体积为 80 3 m3 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平 方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建 造费用为y千元 1 求y关于r的函数解析式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时半径r的值 例1 6 归纳提升归纳提升 常见应用问题与数学模型及其处理 1 优化问题 实际问题中的 优选 控制 等问题 常需建立 不等式模型 和 线 性规划 问题解决 2 预测问题 经济计划 市场预测这类问题通常设计成 数列模型 来解决 3 最 极 值问题 工农业生产 建设及实际生活中的极限问题 常设计成 函数 模型 转化为求函数的最值 4 等量关系问题 建立 方程模型 解决 5 测量问题 可设计成 图形模型 利用几何知识解决 总之 解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言 常借助画图法抽象成数学问 题 并注意解模后的验证 考点考点1 1 函数与不等式模型的应用题函数与不等式模型的应用题 例1 分析 根据题设条件分别求出g x 和h x 然后通过作差找出分界 点 得到一个分段函数 解答 由题设 每个工人在单位时间内加工5k个A型零件 所以x个工人在单位 时间内加工5k x个A型零件 总共需要1500 3个A型零件 所以g x 1500 3 5kx 900 kx 单位时间内加工B型零件的个数为3k 所以h x 1500 3 214 kx 500 214 kx 1 g x h x 900 kx 500 214 kx 192600 1400 214 x kxx 因为1 xh x 当138 x 213时 g x 0 2 因为x y 0 所以2bx 2ay 2 2 2bx ay 当且仅当bx ay时 等号成立 从而S 4 abxy 4xy ab 令t xy 则t 0 上述不等式 可化为4t2 4 ab t ab S 0 解得 2 Sab t 2 Sab 因为t 0 所以00 可得f x 2ax P t f t 直线MN的斜率k f t 2at 则直线MN的方程为y 1 at2 2at x t 令y 0 可得xM t 2 1 2 at at 可得M 2 1 0 at t at 令x 0 可得yM 1 at2 可得N 0 1 at2 所以S t S OMN 1 2 1 at2 2 1 2 at at 22 1 4 at at 2 当t 1 2时 S t 取得最小值 S t 222 2 2 2 1 24 4 1 16 atatata at a t 22 2 2 2 1 12 4 16 ata ta a t 由题意知S 1 2 0 即12a2 1 4 4a 0 解得a 4 3 此时S t 的最小值为S 1 2 22 1 4 at at 2 41 1 34 41 4 32 2 3 练习 分析 构建函数模型 然后利用导数研究函数的单调性和最值 解答 1 潜入水底用时 30 v 单位时间 用氧量为 30 v cv2 30cv 水底作业时 用氧量为5 0 4 2 9 返回水面用时 60 v 单位时间 用氧量为 60 v 0 2 12 v 所以y 30cv 2 12 v v 0 2 y 30cv 2 12 v 2 2 12 30cv v 2 12 10c 当且仅当30cv 12 v 即v 2 5c 时取等号 当 2 5c 5 即c 2 125时 v 2 5c 时 y的最小值为2 12 10c 当 2 5c 5 即c 2 125时 y 30c 2 12 v 2 2 30 12cv v 0 因此函数y 30cv 2 12 v 在 0 5 上为减函数 所以当v 5时 y的最小值为150c 22 5 综上 当c 2 125时 下潜速度为 2 5c 时 用氧量最小为2 12 10c 当0 c 2 125时 下潜速度为5时 用氧量最小为150c 22 5 考点考点3 3 三角形与三角函数模型三角形与三角函数模型 例1 分析 用a 表示S1和S2 a固定时 1 2 S S 是关于 的函数 然后可以 利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值 解答 1 S1 1 2asin acos 1 4a2sin2 设正方形边长为x 则 BQ tan x RC xtan 所以tan x xtan x a 10 所以x 1 tan1 tan a sin2 2sin2 a 所以S2 2 sin2 2sin2 a 22 2 sin 2 4sin 24sin24 a 2 当a固定 变化时 1 2 S S 14 sin24 4 sin2 令sin2 t 则 1 2 S S 1 4 4 4 t t 0 t 1 利用单调性求得t 1时 1 2 min S S 9 4 练习 解答 1 由题意可知 点M为 PQ A 的中点 所以OM AD 设OM与BC的交点为F 则BC 2Rsin OF Rcos AB OF 1 2AD Rcos Rsin 所以S AB BC 2Rsin Rcos Rsin R2 2sin cos 2sin2 R2 sin2 1 cos2 2R2sin 2 4 R2 0 4 2 因为 0 4 则2 4 3 44 所以当2 4 2 即 8时 S有最大值 Smax 2 1 R2 故当 8时 矩形ABCD的面积S有最大值 2 1 R2 考点考点4 4 解析几何模型解析几何模型 11 例1 分析 建立平面直线坐标系 求出圆心到直线的距离d 通过弦心距 和半径作比较进行判断 解答 如图 以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy 1 由图可知轮船在直线l x y 80 0上移动 原点到直线l的距离d 40 2 例5 所以0 r40 2 所以轮船会受到台风影响 航程为2 22 60 40 2 40km 所以当r 60km时 轮船在航行途中受到影响的航 程是40km 点评 此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系 该类问题的解决有代 数法和几何法两种方法 练习 解答 方法一 1 如图 1 所示 以O为坐标原点 OC所在直线为x轴 建立平面直角坐标系xOy 由条件知A 0 60 C 170 0 直线BC的斜率kBC tan BCO 4 3 又因为AB BC 所以直线AB的斜率kAB 3 4 设点B的坐标为 a b 则kBC 0 170 b a 4 3 kAB 60 0 b a 3 4 12 解得a 80 b 120 所以BC 22 170 80 0 120 150 m 因此新桥BC的长是150m 练习 1 2 设保护区的边界圆M的半径为rm OM dm 0 d 60 由条件知 直线BC的方程为y 4 3 x 170 即4x 3y 680 0 由于圆M与直线BC相切 故点M 0 d 到直线BC的距离是r 即r 22 3 680 43 d 680 3 5 d 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m 所以 80 60 80 r d rd 即 680 3 80 5 680 3 60 80 5 d d d d 解得10 d 35 故当d 10时 r 680 3 5 d 最大 即圆面积最大 所以当OM 10m时 圆形保护区的面积最大 方法二 13 练习 2 1 如图 2 所示 延长OA CB交于点F 因为tan FCO 4 3 所以sin FCO 4 5 cos FCO 3 5 因为OA 60 OC 170 所以OF OCtan FCO 680 3 CF cos OC FCO 850 3 从而AF OF OA 500 3 因为OA OC 所以cos AFB sin FCO 4 5 又因为AB BC 所以BF AFcos AFB 400 3 从而BC CF BF 150 因此新桥BC的长是150m 2 设保护区的边界圆M与BC的切点为D 连接MD 则MD BC 且MD是圆M的半径 并设MD r m OM dm 0 d 60 因为OA OC 所以sin CFO cos FCO 故由 1 知sin CFO MD MF MD OF OM 680 3 r d 3 5 所以r 680 3 5 d 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m 所以 80 60 80 r d rd 即 680 3 80 5 680 3 60 80 5 d d d d 解得10 d 35 14 故当d 10时 r 680 3 5 d 最大 即圆面积最大 所以当OM 10m时 圆形保护区的面积最大 考点考点5 5 数列模型数列模型 例1 分析 将该问题转化为等比数列求和问题 利率问题有两种 单 利问题 如零存整取储蓄 单利 本利和计算模型 若每期存入本金p元 每期利率为r 则n期后本利和为Sn p 1 r p 1 2r p 1 nr p 1 2 n n nr 等差数列问题 复利问题 按揭贷款的分期等额还款 复利 模型 若贷款 向银行借款 p元 采用分期 等额还款方式 从借款日算起 一期 如一年 后为第一次还款日 如此下去 分n期还 清 如果每期利率为r 按复利 那么每期等额还款x元应满足 p 1 r n x 1 r n 1 x 1 r n 2 x 1 r x 等比数列问题 解答 依题意 公寓2012年底建成 2013年开始使用 1 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款 则公寓每年收费总额为 1000 800 80 万元 扣除18万元 可偿还贷款62万元 依题意有62 1 1 5 1 5 2 1 5 n 1 500 1 5 n 1 化简得62 1 05n 1 25 1 05n 1 所以1 05n 1 7343 两边取对数整理得n lg1 7343 lg1 05 0 2391 0 0212 11 28 所以取n 12 所以到2024年年底可还清全部贷款 2 设每名学生和每年的最低收费标准为x元 因为到2020年底公寓共使用了8 年 依题意有 1000 18 10000 x 1 1 5 1 5 2 1 5 7 500 1 5 9 15 化简得 0 1x 18 8 1 05 1 1 05 1 500 1 059 所以x 10 9 8 25 1 05 18 1 05 1 10 25 1 05 1 4774 18 1 4774 1 10 18 81 2 992 故每名学生每年的最低收费标准为992元 点评 在经济活动中 如增长率 降低率 存款复利 分期付款等与年 月 份有关的实际问题 大多可归结为数列问题 即通过建立相应的数列模型来解决 在 解应用题时 是否是数列问题 一是看自变量是否与正整数有关 二是看是否符合一 定的规律 可先从特殊的情形入手 再寻找一般的规律 练习 解答 1 依题意得f 1 f 2 f 3 f 9 1 所以g 10 10 81 1 2 9 f fff 1 90 2 当x 1时 g 1 1 81 当1 x 20时 f 1 f 2 f x 1 f x 1 则g x 81 1 2 1 f x fff x 1 80 x 经验证x 1也符合上式 故当1 x 20时 g x 1 80 x 当21 x 60时 g x 81 1 2 20 21 1 f x fffff x 1 10 81 20 21 1 x ff x 16 1 10 21 20 101 20 x xx