2017-2018学年上海市长宁区八年级(上)期末数学试卷

第 1 页 共 16 页 2017 2018 学年上海市长宁区八年级 上 期末数学试卷学年上海市长宁区八年级 上 期末数学试卷 一 选择题 本大题共 6 小题 共 12 0 分 1 的有理化因式是 A B C D 2 关于正比例函数 y 2x 的图象 下列叙述错误的是 A 点在这个图象上B 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 1 2 C 图象关于原点对称D 图象经过一 三象限 3 一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多 2cm 另一条直角边长 6cm 那么这 个直角三角形的斜边长为 A 4cmB 8cmC 10cmD 12cm 4 如图 在平面直角坐标系中 直线 AB 与 x 轴交于 点 A 2 0 与 x 轴夹角为 30 将 ABO 沿直 线 AB 翻折 点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y k 0 上 则 k 的值为 A 4 B 2 C 3 D 3 二 填空题 本大题共 12 小题 共 36 0 分 5 在实数范围内因式分解 2x2 4x 3 6 已知函数 f x 那么 f 3 2 2 7 已知关于 x 的一元二次方程 kx2 2x 1 0 有两个不相等的实数根 则实数 k 的取值 范围是 8 某地区 PM2 5 的年平均值经过测算 2015 年为 180 经过治理后 2017 年为 80 如果设 PM2 5 的平均值每年的降低率均为 x 列出关于 x 的方程 9 已知直角坐标平面内的点 A 2 1 和 B 3 4 那么 A B 两点的距离等于 10 如图 ABC 中 CD AB 于 D E 是 AC 的中点 若 AD 6 DE 5 则 CD 的长等于 11 如图 在 ABC 中 ABC 56 三角形的外角 DAC 和 ACF 的平分线交于点 E 则 ABE 度 第 2 页 共 16 页 12 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 C 30 以直角顶点 A 为圆心 AB 长为半径 画弧交 BC 于点 D 过 D 作 DE AC 于点 E 若 DE a 则 ABC 的周长用含 a 的 代数式表示为 13 如图 点 P1 P2 P2 P4在反比例函数 y x 0 的图象上 它们的横坐标依 2 次为 1 2 3 4 过这四点分别作 x 轴 y 轴的垂线 图中阴影部分的面积从左 到右依次为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3 14 已知在 ABC 中 C 90 BC 3 AC 4 点 D 是 AB 边上一点 将 ABC 沿着直 线 CD 翻折 点 A 落在直线 AB 上的点 A 处 则 A B 三 计算题 本大题共 2 小题 共 12 0 分 15 计算 1 2 3 27 1 2 48 24 6 16 解方程 x x 3x 4 3 2 8 3 四 解答题 本大题共 5 小题 共 40 0 分 17 甲 乙两车分别从 A 地将一批物资运往 B 地 两车离 A 地的距离 s 千米 与其 相关的时间 t 小时 变化的图象如图所示 读图后填空 1 A 地与 B 地之间的距离是 千米 第 3 页 共 16 页 2 甲车由 A 地前往 B 地时所对应的 s 与 t 的函数解析式及定义域是 3 甲车由 A 地前往 B 地比乙车由 A 地前往 B 地多用了 小时 18 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 B 15 边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 E 垂足为点 D 取线段 BE 的中点 F 联结 DF 求证 AC DF 说明 此题 的证明过程需要批注理由 19 已知 y y1 y2 并且 y1与 x 1 成正比例 y2与 x 成反比例 当 x 2 时 y 5 当 x 2 时 y 9 求 y 关于 x 的函数解析式 20 如图 已知直线 y x 与双曲线 y k 0 交于 1 2 A B 两点 且点 A 的横坐标为 4 1 求 k 的值 2 若双曲线 y k 0 上一点 C 的纵坐标为 第 4 页 共 16 页 8 求 AOC 的面积 3 过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y k 0 于 P Q 两点 P 点在第一 象限 若由点 A B P Q 为顶点组成的四边形面积为 24 求点 P 的坐标 21 如图 1 已知四边形 ABCD 的四条边相等 四个内角都等于 90 点 E 是 CD 边上一点 F 是 BC 边上一点 且 EAF 45 1 求证 BF DE EF 2 若 AB 6 设 BF x DE y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出 x 的取值范 围 3 过点 A 作 AH FE 于点 H 如图 2 当 FH 2 EH 1 时 求 AFE 的面 积 第 5 页 共 16 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 的有理化因式是 故选 A 根据有理化因式的定义 两个根式相乘的积不含根号解答即可 本题主要考查了分母有理化因式的定义 比较简单 熟记定义是解题的关 键 2 答案 B 解析 解 A 当 x 1 时 y 2 1 2 所以点 1 2 在这个图象上 此选项正确 B 由 k 2 0 知函数值 y 随自变量 x 的增大而增大 此选项错误 C 正比例函数图象都关于原点对称 此选项正确 D 由 k 2 0 知图象经过一 三象限 此选项正确 故选 B 分别利用正比例函数的性质分析得出即可 此题主要考查了正比例函数的性质 熟练掌握正比例函数的性质是解题关 键 3 答案 C 解析 解 设直角三角形的斜边是 xcm 则另一条直角边是 x 2 cm 根据勾股定理 得 x 2 2 36 x2 解得 x 10 则斜边的长是 10cm 故选 C 设直角三角形的斜边是 xcm 则另一条直角边是 x 2 cm 根据勾股定理列方 程求解即可 第 6 页 共 16 页 本题考查了勾股定理的运用 解题的关键是根据勾股定理列出方程 熟练求 得方程的解 4 答案 D 解析 解 设点 C 的坐标为 x y 过点 C 作 CD x 轴 作 CE y 轴 将 ABO 沿直线 AB 翻折 CAB OAB 30 AC AO 2 ACB AOB 90 CD y AC sin60 2 ACB DCE 90 BCE ACD 30 BC BO AO tan30 2 CE x BC cos30 1 点 C 在第二象限 x 1 点 C 恰好落在双曲线 y k 0 上 k x y 1 故选 D 设点 C 的坐标为 x y 过点 C 作 CD x 轴 作 CE y 轴 由折叠的性质易 得 CAB OAB 30 AC AO 2 ACB AOB 90 用锐角三角函数的定义 得 CD CE 得点 C 的坐标 易得 k 本题主要考查了翻折的性质 锐角三角函数 反比例函数的解析式 理解翻 折的性质 求点 C 的坐标是解答此题的关键 5 答案 2 x x 2 10 2 2 10 2 解析 解 2x2 4x 3 0 的解是 x1 x2 所以可分解为 2x2 4x 3 2 x x 当要求在实数范围内进行因式分解时 分解的式子的结果一般要分到出现无 第 7 页 共 16 页 理数为止 2x2 4x 3 不是完全平方式 所以只能用求根公式法分解因式 本题考查实数范围内的因式分解 因式分解的步骤为 一提公因式 二看公 式 在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止 求根公式法分解因式 ax2 bx c a x x1 x x2 其中 x1 x2是方程 ax2 bx c 0 的两个根 6 答案 1 6 解析 解 当 x 3 时 f 3 故答案为 把 x 3 代入函数关系式 计算求值即可 本题考查求函数值 题目比较简单 已知函数解析式时 求函数值就是求代 数式的值 7 答案 k 1 且 k 0 解析 解 根据题意得 k 0 且 0 即 22 4 k 1 0 解得 k 1 实数 k 的取值范围为 k 1 且 k 0 故答案为 k 1 且 k 0 根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到 k 0 且 0 然后解两个不 等式即可得到实数 k 的取值范围 本题考查了一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 根的判别式 b2 4ac 当 0 方程有两个不相等的实数根 当 0 方程有两个相等的实数根 当 0 方 程没有实数根 也考查了一元二次方程的定义 8 答案 180 1 x 2 80 解析 第 8 页 共 16 页 解 设 PM2 5 的平均值每年的降低率均为 x 根据题意可得 180 1 x 2 80 故答案为 180 1 x 2 80 根据降低率的意义知 2016 年为 180 1 x 2017 年为 180 1 x 2 结合 2017 年为 80 可得答案 此题考查了一元二次方程的应用 属于平均增长率问题 一般情况下 假设 基数为 a 平均增长率为 x 增长的次数为 n 一般情况下为 2 增长后的量 为 b 则有表达式 a 1 x n b 类似的还有平均降低率问题 注意区分 增 与 减 9 答案 5 2 解析 解 A B 两点的距离为 5 故答案为 5 直接利用勾股定理进而得出 答案 此题主要考查了勾股定理 正确借助网格是解题关键 10 答案 8 解析 解 如图 ABC 中 CD AB 于 D E 是 AC 的中点 DE 5 DE AC 5 AC 10 在直角 ACD 中 ADC 90 AD 6 AC 10 则根据勾股定理 得 CD 8 故答案是 8 由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 求得 AC 2DE 10 然后在直 角 ACD 中 利用勾股定理来求线段 CD 的长度即可 第 9 页 共 16 页 本题考查了勾股定理 直角三角形斜边上的中线 利用直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半求得 AC 的长度是解题的难点 11 答案 28 解析 解 如图 过点 E 作 EG AD 于 G 作 EH BF 于 H 作 EK AC 于 K DAC 和 ACF 的平分线交于点 E EG EK EH EK EG EH BE 平分 ABC ABE ABC 56 28 故答案为 28 过点 E 作 EG AD 于 G 作 EH BF 于 H 作 EK AC 于 K 根据角平分线上 的点到脚的两边距离相等可得 EG EK EH EK 从而得到 EG EH 再根据 到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得 BE 平分 ABC 然后求解即 可 本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质 到角的两边距离相 等的点在角的平分线上的性质 熟记性质并作出辅助线判断出 BE 是角平分 线是解题的关键 12 答案 6 2 3 解析 解 C 30 BAC 90 DE AC BC 2AB CD 2DE 2a AB AD 点 D 是斜边 BC 的中点 BC 2CD 4a AB BC 2a AC 2a ABC 的周长 AB BC AC 2a 4a 2a 6 2 a 故答案为 6 2 a 先根据 C 30 BAC 90 DE AC 可知 BC 2AB CD 2DE 再由 AB AD 第 10 页 共 16 页 可知点 D 是斜边 BC 的中点 由此可用 a 表示出 AB 的长 根据勾股定理可 得出 AC 的长 由此可得出结论 本题考查的是含 30 的直角三角形 熟知在直角三角形中 30 角所对的直角 边等于斜边的一半是解答此题的关键 13 答案 3 2 解析 解 当 x 1 时 y 2 则 P1 1 2 当 x 4 时 y 则 P4 4 所以 S1 S2 S3 2 1 故答案为 利用反比例函数图象上点的坐标特征确定 P1 1 2 P4 4 再利用平移 把阴影部分转化为一个矩形的面积 然后利用两矩形的面积差求解 本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义 在反比例函数 y 图象中任 取一点 过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线 与坐标轴围成的矩形的面积 是定值 k 也考查了反比例函数图象上点的坐标特征 14 答案 7 5 解析 解 作 CD AB 于点 D 在直角 ABC 中 AB 5 S ABC AB CD BC AC CD 将 ABC 沿着直线 CD 翻折 点 A 落在直线 AB 上的点 A 处 AD A D BD A B A D BD 第 11 页 共 16 页 故答案为 已知在 ABC 中 C 90 BC 3 AC 4 点 D 是 AB 边上一点 将 ABC 沿 着直线 CD 翻折 点 A 落在直线 AB 上的点 A 处 则 sin A CD 本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用 三角形的面积公式 正确理解 AD A D 是关键 15 答案 解 原式 2 3 33 2 2 48 624 6 2 3 2 2 33 2 2 2 4 3 3 2 2 解析 先分母有理化和进行二次根式的除法运算 然后化简后合并即可 本题考查了二次根式的计算 先把各二次根式化为最简二次根式 再进行二 次根式的乘除运算 然后合并同类二次根式 在二次根式的混合运算中 如 能结合题目特点 灵活运用二次根式的性质 选择恰当的解题途径 往往能 事半功倍 16 答案 解 去括号得 x2 4x 3x 4 3 2 去分母得 3x2 8x 6x 8 即 3x2 14x 8 0 分解因式得 x 4 3x 2 0 解得 x1 4 x2 2 3 解析 方程去括号 去分母整理后 利用因式分解法求出解即可 此题考查了解一元二次方程 因式分解法 熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 17 答案 60 s 20t 0 t 3 2 解析 解 1 由图象可得 A 地与 B 地之间的距离是 60 千米 故答案为 60 第 12 页 共 16 页 2 设甲车由 A 地前往 B 地时所对应的 s 与 t 的函数解析式为 s kt 60 3k 得 k 20 甲车由 A 地前往 B 地时所对应的 s 与 t 的函数解析式是 s 20t 0 t 3 故答案为 s 20t 0 t 3 3 由图象可得 甲车由 A 地前往 B 地比乙车由 A 地前往 B 地多用了 3 2 1 2 小时 故答案为 2 1 根据函数图象中的数据可以解答本题 2 根据函数图象中的数据可以求得甲车由 A 地前往 B 地时所对应的 s 与 t 的函数解析式及定义域 3 根据函数图象中的数据可以求得甲车由 A 地前往 B 地比乙车由 A 地前 往 B 地多用的时间 本题考查一次函数的应用 解答本题的关键是明确题意 利用数形结合的思 想解答 18 答案 证明 连接 AE DE 是 AB 的垂直平分线 已知 AE BE EDB 90 线段垂直平分线的 性质 EAB EBA 15 等边对等角 AEC 30 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 Rt EDB 中 F 是 BE 的中点 已知 DF BE 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 1 2 Rt ACE 中 AEC 30 已知 AC AE 直角三角形 30 角所对的直角边是斜边的一半 1 2 AC DF 等量代换 解析 先根据线段垂直平分线的性质得 AE BE 再利用直角三角形斜边中线的性 质得 DF 与 BE 的关系 最后根据直角三角形 30 度的性质得 AC 和 AE 的关 系 从而得出结论 第 13 页 共 16 页 本题考查了直角三角形含 30 度角的性质 直角三角形斜边中线及线段垂直 平分线的性质 熟练掌握性质是关键 属于基础题 19 答案 解 由题意可设 y1 k x 1 y2 y y1 y2 k x 1 把 x 2 y 5 x 2 y 9 代入可得 解得 2 1 2 5 2 1 2 9 2 6 y 关于 x 的函数解析式为 y 2 x 1 6 解析 可设 y1 k x 1 y2 把已知条件代入则可求得 y 与 x 的函数解析式 本题主要考查待定系数法求函数解析式 设出函数解析式是解题的关键 20 答案 解 1 点 A 横坐标为 4 把 x 4 代入 y x 中 1 2 得 y 2 A 4 2 点 A 是直线 y x 与双曲线 y k 0 的交点 1 2 k 4 2 8 2 解法一 如图 点 C 在双曲线上 当 y 8 时 x 1 点 C 的坐标为 1 8 过点 A C 分别做 x 轴 y 轴的垂线 垂足为 M N 得 矩形 DMON S矩形 ONDM 32 S ONC 4 S CDA 9 S OAM 4 S AOC S矩形 ONDM S ONC S CDA S OAM 32 4 9 4 15 解法二 如图 过点 C A 分别做 x 轴的垂线 垂足为 E F 点 C 在双曲线上 8 当 y 8 时 x 1 点 C 的坐标为 1 8 点 C A 都在双曲线上 8 S COE S AOF 4 S COE S梯形 CEFA S COA S AOF 第 14 页 共 16 页 S COA S梯形 CEFA S梯形 CEFA 2 8 3 15 1 2 S COA 15 3 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 OP OQ OA OB 四边形 APBQ 是平行四边形 S POA S平行四边形 APBQ 24 6 1 4 1 4 设点 P 的横坐标为 m m 0 且 m 4 得 P m 8 过点 P A 分别做 x 轴的垂线 垂足为 E F 点 P A 在双曲线上 S POE S AOF 4 若 0 m 4 如图 S POE S梯形 PEFA S POA S AOF S梯形 PEFA S POA 6 2 4 m 6 1 2 8 m1 2 m2 8 舍去 P 2 4 若 m 4 如图 S AOF S梯形 AFEP S AOP S POE S梯形 PEFA S POA 6 2 m 4 6 1 2 8 解得 m1 8 m2 2 舍去 P 8 1 点 P 的坐标是 P 2 4 或 P 8 1 解析 1 先根据直线的解析式求出 A 点的坐标 然后将 A 点坐标代入双曲线的解 析式中即可求出 k 的值 2 由 1 得出的双曲线的解析式 可求出 C 点的坐标 由于 AOC 的面积无 法直接求出 因此可通过作辅助线 通过其他图形面积的和差关系来求 得 解法不唯一 3 由于双曲线是关于原点的中心对称图形 因此以 A B P Q 为顶点的四 边形应该是平行四边形 那么 POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一 第 15 页 共 16 页 即 6 可根据双曲线的解析式设出 P 点的坐标 然后参照 2 的三角形面积的 求法表示出 POA 的面积 由于 POA 的面积为 6 由此可得出关于 P 点横 坐标的方程 即可求出 P 点的坐标 本题考查反比例解析式的确定和性质 图形的面积求法 函数图象交点等知 识及综合应用知识 解决问题的能力 难点