校本课程：常用的巧算和速算方法

校本课程校本课程 数学计算方法数学计算方法 第一讲第一讲 生活中几十乘以几十巧算方法生活中几十乘以几十巧算方法 1 十几乘十几 口诀 头乘头 尾加尾 尾乘尾 例 12 14 解 1 1 1 12 14 168 注 个位相乘 不够两位数要用 0 占位 头相同 尾互补 尾相加等于 10 口诀 一个头加 后 头乘头 尾乘尾 例 23 27 解 21 23 27 621 注 个位相乘 不够两位数要用 0 占位 第一个乘数互补 另一个乘数数字相同 口诀 一个头加 后 头乘头 尾乘尾 例 37 44 解 3 1 4 4 4 16 7 4 28 37 44 1628 注 个位相乘 不够两位数要用 0 占位 几十一乘几十一 口诀 头乘头 头加头 尾乘尾 例 21 41 解 2 4 8 2 4 6 1 1 1 21 41 861 11 乘任意数 口诀 首尾不动下落 中间之和下拉 例 11 23125 解 2 3 5 3 1 4 1 2 3 2 5 7 2 和 5 分别在首尾 11 23125 注 和满十要进一 十几乘任意数 口诀 第二乘数首位不动向下落 第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数 字 加下一位数 再向下落 例 13 326 解 13 个位是 3 3 3 2 11 3 2 6 12 3 6 18 13 326 4238 注 和满十要进一 第二讲第二讲 常用巧算速算中的思维与方法 常用巧算速算中的思维与方法 1 顺逆相加 用 顺逆相加 算式可求出若干个连续数的和 例如著名的大数学家高斯 德国 小时候就做过的 百数求和 题 可以计算为 1 2 99 100 所以 1 2 3 4 99 100 101 100 2 5050 3 5 7 97 99 3 5 7 97 99 99 3 49 2 2499 这种算法的思路 见于书籍中最早的是我国古代的 张丘建算经 张丘建利用 这一思路巧妙地解答了 有女不善织 这一名题 今有女子不善织 日减功 迟 初日织五尺 末日织一尺 今三十日织讫 问 织几何 题目的意思是 有位妇女不善于织布 她每天织的布都比上一天减少一些 并 且减少的数量都相等 她第一天织了 5 尺布 最后一天织了 1 尺 一共织了 30 天 问她一共织了多少布 张丘建在 算经 上给出的解法是 并初末日织尺数 半之 余以乘织讫日数 即得 答曰 二匹一丈 这一解法 用现代的算式表达 就是 1 匹 4 丈 1 丈 10 尺 90 尺 9 丈 2 匹 1 丈 张丘建这一解法的思路 据推测为 如果把这妇女从第一天直到第 30 天所织 的布都加起来 算式就是 5 1 在这一算式中 每一个往后加的加数 都会比它前一个紧挨着它的加数 要递 减一个相同的数 而这一递减的数不会是个整数 若把这个式子反过来 则算 式便是 1 5 此时 每一个往后的加数 就都会比它前一个紧挨着它的加数 要递增一个相 同的数 同样 这一递增的相同的数 也不是一个整数 假若把上面这两个式子相加 并在相加时 利用 对应的数相加和会相等 这一特点 那么 就会出现下面的式子 所以 加得的结果是 6 30 180 尺 但这妇女用 30 天织的布没有 180 尺 而只有 180 尺布的一半 所以 这妇女 30 天织的布是 180 2 90 尺 可见 这种解法的确是简单 巧妙和饶有趣味的 第三讲第三讲 常用巧算速算中的思维与方法 常用巧算速算中的思维与方法 2 方法一 分组计算方法一 分组计算 一些看似很难计算的题目 采用 分组计算 的方法 往往可以使它很快地解答 出来 例如 求 1 到 10 亿这 10 亿个自然数的数字之和 这道题是求 10 亿个自然数的数字之和 而不是 10 亿个自然数之和 什么是 数字之和 例如 求 1 到 12 这 12 个自然数的数字之和 算式是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 1 2 5l 显然 10 亿个自然数的数字之和 如果一个一个地相加 那是极麻烦 也极费 时间 很多年都难于算出结果 的 怎么办呢 我们不妨在这 10 亿个自然数 的前面添上一个 0 改变数字的个数 但不会改变计算的结果 然后 将它们 分组 0 和 999 999 999 1 和 999 999 998 2 和 999 999 997 3 和 999 999 996 4 和 999 999 995 5 和 999 999 994 依次类推 可知除最后一个数 1 000 000 000 以外 其他的自然数与添上 的 0 共 10 亿个数 共可以分为 5 亿组 各组数字之和都是 81 如 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 81 1 9 9 9 9 9 9 9 9 8 81 最后的一个数 1 000 000 000 不成对 它的数字之和是 1 所以 此题的计 算结果是 81 500 000 000 1 40 500 000 000 1 40 500 000 001 方法二 由小推大 计算复杂时 我们可以从数目较小的特殊情况入手 研究题目特点 找出一般 规律 再推出题目的结果 例如 1 计算下面方阵中所有的数的和 这是个 100 100 的大方阵 数目很多 关系较为复杂 不妨先化大为小 再由 小推大 先观察 5 5 的方阵 如下图 图 4 1 所示 容易看到 对角线上五个 5 之和为 25 这时 如果将对角线下面的部分 右下部分 用剪刀剪开 如图 4 2 那样拼接 那么将会发现 这五个斜行 每行数之和都是 25 所以 5 5 方阵的所有数之 和为 25 5 125 即 53 125 于是 很容易推出大的数阵 100 100 的方阵所有数之和为 1003 1 000 000 2 把自然数中的偶数 像图 4 3 那样排成五列 最左边的叫第一列 按从左 到右的顺序 其他叫第二 第三 第五列 那么 2002 出现在哪一列 因为从 2 到 2002 共有偶数 2002 2 1001 个 从前到后 是每 8 个偶数为 一组 每组都是前四个偶数分别在第二 三 四 五列 后四个偶数分别在第 四 三 二 一列 偶数都是按由小到大的顺序 所以 由 1001 8 125 1 可知这 1001 个偶数可以分为 125 组 还余 1 个 故 2002 应排在第二列 方法三 凑整巧算 用 凑整方法 巧算 常常能使计算变得比较简便 快速 例如 1 99 9 11 1 90 10 9 1 0 9 0 1 111 2 9 97 998 6 9 1 97 3 998 2 10 100 1000 1110 3 125 125 125 125 120 125 125 125 155 125 125 125 120 5 125 125 125 5 125 8 5 1000 5 995 第四讲第四讲 常用巧算速算中的思维与方法 常用巧算速算中的思维与方法 3 方法一 巧妙试商 除数是两位数的除法 可以采用一些巧妙试商方法 提高计算速度 1 用 商五法 试商 当除数 两位数 的 10 倍的一半 与被除数相等 或相近 时 可以直接试 商 5 如 70 14 5 125 25 5 当除数一次不能除尽被除数的时候 有些可以用 无除半商五 无除 指被除数 前两位不够除 半商五 指若被除数的前两位恰好等于 或接近 除数的一半时 则可直接商 5 例如 1248 24 52 2385 45 53 2 同头无除商八 九 同头 指被除数和除数最高位上的数字相同 无除 仍指被除数前两位不够除 这时 商定在被除数高位数起的第三位上面 再直接商 8 或商 9 5742 58 99 4176 48 87 3 用 商九法 试商 当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数 且前三位数字临时组成的数与 除数之和 大于或等于除数的 10 倍时 可以一次定商为 9 一般地说 假如被除数为 m 除数为 n 只有当 9n m 10n 时 n 除 m 的商 才是 9 同样地 10n m n 11n 这就是我们上述做法的根据 例如 4508 49 92 6480 72 90 4 用差数试商 当除数是 11 12 13 18 和 19 被除数前两位又不够除的时候 可以 用 差数试商法 即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法 若差数是 1 或 2 则初商为 9 差数是 3 或 4 则初商为 8 差数是 5 或 6 则 初商为 7 差数是 7 或 8 则初商是 6 差数是 9 时 则初商为 5 若不准确 只要调小 1 就行了 例如 1476 18 82 18 与 14 差 4 初商为 8 经试除 商 8 正确 1278 17 75 17 与 12 的差为 5 初商为 7 经试除 商 7 正确 为了便于记忆 我们可将它编成下面的口诀 差一差二商个九 差三差四八当头 差五差六初商七 差七差八先商六 差数是九五上阵 试商快速无忧愁 方法二 恒等变形 恒等变形是一种重要的思想和方法 也是一种重要的解题技巧 它利用我们学过的知识 去进行有目的的数学变形 常常能使题目很快地获得 解答 例如 1 1832 68 1832 32 68 32 1800 100 1900 2 359 7 9 9 359 7 0 1 9 9 O 1 359 8 10 349 8 第五讲第五讲 常用巧算速算中的思维与方法 常用巧算速算中的思维与方法 4 方法一 拆数加减 在分数加减法运算中 把一个分数拆成两个分数相减或相加 使隐含的数量关 系明朗化 并抵消其中的一些分数 往往可大大地简化运算 1 拆成两个分数相减 例如 又如 2 拆成两个分数相加 例如 又如 方法二 同分子分数加减 同分子分数的加减法 有以下的计算规律 分子相同 分母互质的两个分数相加 减 时 它们的结果是用原分母的积作 分母 用原分母的和 或差 乘以这相同的分子所得的积作分子 分子相同 分母不是互质数的两个分数相加减 也可按上述规律计算 只是最 后需要注意把得数约简为既约 最简 分数 例如 注意 分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母 由上面的规律还可以推出 当分子都是 1 分母是连续的两个自然数时 这两 个分数的差就是这两个分数的积 根据这一关系 我们也可以简化运算过程 例如 方法三 先借后还 先借后还 是一条重要的数学解题思想和解题技巧 例如 做这道题 按先通分后相加的一般办法 势必影响解题速度 现在从 凑整 着 眼 采用 先借后还 的办法 很快就将题目解答出来了 第六讲第六讲 常用巧算速算中的思维与方法 常用巧算速算中的思维与方法 5 方法一 个数折半 下面的几种情况下 可以运用 个数折半 的方法 巧妙地计算出题目的得数 1 分母相同的所有真分数相加 求分母相同的所有真分数的和 可采用 个 数折半法 即用这些分数的个数除以 2 就能得出结果 这一方法 也可以叙述为分母相同的所有真分数相加 只要用最后一个分数的 分子除以 2 就能得出结果 2 分母为偶数 分子为奇数的所有同分母的真分数相加 也可用 个数折半 法 求得数 比方 3 分母相同的所有既约真分数 最简真分数 相加 同样可用 个数折 半法 求得数 比方 方法二 带分数减法 带分数减法的巧算 可用下面的两个方法 1 减数凑整 例如 2 交换位置 例如 在这两种方法中 第 1 种 凑整 法 也可以运用到带分数的加法中去 例如 第七讲第七讲 常用巧算速算中的思维与方法 常用巧算速算中的思维与方法 6 方法一 带分数乘法 有些特殊的带分数相乘 可以采用一些特殊的巧算方法 1 相乘的两个带分数整数部分相同 分数部分的和是 1 则乘积也是个带分 数 它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大 1 的数 分数部分是两个 因数的分数部分的乘积 例如 2 相乘的两个带分数整数部分相差 1 分数部分和为 1 则积也是个带分数 它用较大数的整数部分的平方 减去分数部分的平方 所得的差就是这两个带 分数的乘积 例如 注 这是根据 a b a b a2 b2 推出来的 3 相乘的两个带分数 整数部分都是 1 分子也都是 1 分母相差 1 则乘 积也是个带分数 这个带分数的整数部分是 1 分子是 2 分母与较大因数的分 母相同 例如 读者自己去试一试 此处略 方法二 两分数相除 有些分数相除 可以采用以下的巧算方法 1 分子 分母分别相除 在个别情况下 分数除法可沿用整数除法的做法 用分子相除的商作分子 用分母相除的商作分母 不过 这只有在被除数的分 子 分母 分别是除数的分子 分母的整数倍数的情况下 计算才比较简便 例如 2 分母相除 一次得商 在两个带分数相除的算式中 当被除数和除数的整 数与分母调换了位置 而它们的分子又相同时 根据分数除法法则 只要用原 除数的分母除以被除数的分母 所得的数就是它们的商 例如 注 用除法法则可以推出这种方法 此处略 小数的速算与巧算 凑整 知识精要 凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法 用的时候主要看末位 但是 小数计算中 小数点 一定要对齐 例题精讲 凑整法 例 1 计算 5 6 2 38 4 4 0 62 分析 5 6 与 4 4 刚好凑成 10 2 38 与 0 62 刚好凑成 3 这样先凑整运算起 来会更加简便 解答 原式 5 6 4 4 2 38 0 62 10 3 13 评注 凑整 特别是 凑十 凑百 等 是加减法速算的重要方法 例 2 计算 1 999 19 99 199 9 1999 分析 因为小数计算起来容易出错 刚好 1999 接近整千数 2000 其余各加 数看做与它接近的容易计算的整数 再把多加的那部分减去 解答 1 999 19 99 199 9 1999 2 20 200 2000 0 001 0 01 0 1 1 2222 1 111 2220 889 评注 所谓的凑整 就是两个或三个数结合相加 刚好凑成整十整百 我们 也可以引申为读整法 譬如此题 1 999 刚好与 2 相差 0 001 因此我们就可以 先把它读成 2 来进行计算 但是 一定要记住刚才 多加的 要 减掉 多减的 要 加上 A 乘法速算 一 前数相同的 1 1 十位是 1 个位互补 即 A C 1 B D 10 S 10 B D 10 A B 方法 百位为二 个位相乘 得数为后积 满十前一 例 13 17 13 7 2 在不熟练的时候作为助记符 熟练后就可以不使用了 3 7 21 221 即 13 17 221 1 2 十位是 1 个位不互补 即 A C 1 B D 10 S 10 B D 10 A B 方法 乘数的个位与被乘数相加 得数为前积 两数的个位相乘 得数为 后积 满十前一 例 15 17 15 7 22 在不熟练的时候作为助记符 熟练后就可以不使用了 5 7 35 255 即 15 17 255 1 3 十位相同 个位互补 即 A C B D 10 S A A 1 10 A B 方法 十位数加 1 得出的和与十位数相乘 得数为前积 个位数相乘 得 数为后积 例 56 54 5 1 5 30 6 4 24 3024 1 4 十位相同 个位不互补 即 A C B D 10 S A A 1 10 A B 方法 先头加一再乘头两 得数为前积 尾乘尾 的数为后积 乘数相加 看比十大几或小几 大几就加几个乘数的头乘十 反之亦然 例 67 64 6 1 6 42 7 4 28 7 4 11 11 10 1 4228 60 4288 4288 方法 2 两首位相乘 即求首位的平方 得数作为前积 两尾数的和与首 位相乘 得数作为中积 满十进一 两尾数相乘 得数作为后积 例 67 64 6 6 36 4 7 6 66 4 7 28 4288 二 后数相同的 2 1 个位是 1 十位互补 即 B D 1 A C 10 S 10A 10C 101 方法 十位与十位相乘 得数为前积 加上 101 8 2 16 101 1701 2 2 个位是 1 十位不互补 即 B D 1 A C 10 S 10A 10C 10C 10A 1 方法 十位数乘积 加上十位数之和为前积 个位为 1 例 71 91 70 90 63 70 90 16 1 6461 2 3 个位是 5 十位互补 即 B D 5 A C 10 S 10A 10C 25 方法 十位数乘积 加上十位数之和为前积 加上 25 例 35 75 3 7 5 26 25 2625 2 4个位是 5 十位不互补 即 B D 5 A C 10 S 10A 10C 525 方法 两首位相乘 即求首位的平方 得数作为前积 两十位数的和与个 位相乘 得数作为中积 满十进一 两尾数相乘 得数作为后积 例 75 95 7 9 63 7 9 5 80 25 7125 2 5 个位相同 十位互补 即 B D A C 10 S 10A 10C B100 B2 方法 十位与十位相乘加上个位 得数为前积 加上个位平方 例 86 26 8 2 6 22 36 2236 2 6 个位相同 十位非互补 方法 十位与十位相乘加上个位 得数为前积 加上个位平方 再看看十 位相加比 10 大几或小几 大几就加几个个位乘十 小几反之亦然 例 73 43 7 4 3 31 9 7 4 11 3109 30 3139 3139 2 7 个位相同 十位非互补速算法 2 方法 头乘头 尾平方 再加上头加尾的结果乘尾再乘 10 例 73 43 7 4 28 9 2809 7 4 3 10 2809 11 30 2809 330 3139 3139 三 特殊类型的 3 1 一因数数首尾相同 一因数十位与个位互补的两位数相乘 方法 互补的那个数首位加 1 得出的和与被乘数首位相乘 得数为前积 两尾数相乘 得数为后积 没有十位用 0 补 例 66 37 3 1 6 24 6 7 42 2442 3 2 一因数数首尾相同 一因数十位与个位非互补的两位数相乘 方法 杂乱的那个数首位加 1 得出的和与被乘数首位相乘 得数为前积 两尾数相乘 得数为后积 没有十位用 0 补 再看看非互补的因数相加比 10 大 几或小几 大几就加几个相同数的数字乘十 反之亦然 例 38 44 3 1 4 16 8 4 32 1632 3 8 11 11 10 1 1632 40 1672 1672 3 3 一因数数首尾互补 一因数十位与个位不相同的两位数相乘 方法 乘数首位加 1 得出的和与被乘数首位相乘 得数为前积 两尾数 相乘 得数为后积 没有十位用 0 补 再看看不相同的因数尾比头大几或小几 大几就加几个互补数的头乘十 反之亦然 例 46 75 4 1 7 35 6 5 30 5 7 2 2 4 8 3530 80 3450 3450 3 4 一因数数首比尾小一 一因数十位与个位相加等于 9 的两位数相乘 方法 凑 9 的数首位加 1 乘以首数的补数 得数为前积 首比尾小一的数 的尾数的补数乘以凑 9 的数首位加 1 为后积 没有十位用 0 补 例 56 36 10 6 4 3 1 4 36 9 也等于 4 5 10 6 20 4 10 6 16 注 10 6 也可以写作 3 1 和 36 9 2016 3 5 两因数数首不同 尾互补的两位数相乘 方法 确定乘数与被乘数 反之亦然 被乘数头加一与乘数头相乘 得数 为前积 尾乘尾 得数为后积 再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几 大 几就加几个乘数的尾乘十 反之亦然 例 74 56 7 1 5 40 4 6 24 7 5 2 2 6 12 12 10 120 4024 120 4144 4144 3 6 两因数首尾差一 尾数互补的算法 方法 不用向第五个那么麻烦了 取大的头平方减一 得数为前积 大数 的尾平方的补整百数为后积 例 24 36 3 2 3 3 1 8 6 2 36 100 36 64 864 3 7 近 100 的两位数算法 方法 确定乘数与被乘数 反之亦然 再用被乘数减去乘数补数 得数为 前积 再把两数补数相乘 得数为后积 未满 10 补零 满百进一 例 93 91 100 91 9 93 9 84 100 93 7 7 9 63 8463 3 8 头互补 尾不同的两位数乘法 方法 先确定乘数与被乘数 前两位为将被乘数的头和乘数的头相乘加上 乘数的个位数 后两位为被乘数与乘数尾数的积 再看被乘数末尾的数比乘数 末尾数字小几或大几 小几就减几个乘数的头乘十 反之亦然 例 22 81 2 8 1 17 2 1 2 2 1 1 1702 1 80 1782 1782 平方速算 一 求 11 19 的平方 同上 1 2 乘数的个位与被乘数相加 得数为前积 两数的个位相乘 得数 为后积 满十前一 例 17 17 17 7 24 7 7 49 289 三 个位是 5 的两位数的平方 同上 1 3 十位加 1 乘以十位 在得数的后面接上 25 例 35 35 3 1 3 12 25 1225 四 十位是 5 的两位数的平方 同上 2 5 个位加 25 在得数的后面接上个位平方 例 53 53 25 3 28 3 3 9 2809 四 21 50 的两位数的平方 求 25 50 之间的两数的平方时 记住 1 25 的平方就简单了 11 19 参照 第一条 下面四个数据要牢记 21 21 441 22 22 484 23 23 529 24 24 576 求 25 50 的两位数的平方 用底数减去 25 得数为前积 50 减去底数所 得的差的平方作为后积 满百进 1 没有十位补 0 例 37 37 37 25 12 50 37 2 169 1369 五 知道平方后的速算 5 1 相邻奇 偶 数的速算 方法 取平均数的平方减去 1 例 21 23 22 2 484 484 1 483 483 5 2 两数相加为 100 的速算 限用于小数为 25 49 方法 将大数减去 50 再用 2500 减去差的平方 例 36 64 64 50 14 2500 14 2 2500 196 2304 2304 5 3 两数相加为 100 的速算 限用于小数为 1 25 方法 将小数乘以 100 减去小数的平方即可 例 11 89 1100 11 2 1100 121 979 979 5 4 三位乘三位 两因数第一位相同 后两位互补的乘法 方法 前两位为被乘数第一位加 1 和另一个被乘数第一位的积 后面四位 为两个数字中每个数末尾两位的积 例 436 464 64 50 14 2500 14 2 2500 196 2304 4 5 20 5 5 和为 200 的两数乘法 方法 将大数百位上的 1 直接去掉 再用 10000 减去去掉后数的平方 例 127 73 27 2 729 10000 729 9271 9271 5 6 两数字 三位数 后两位互补 百位数差一的乘法 方法 将大数百位上的数字直接去掉 再用大数平方减一作为前两位 后 四位为 10000 减去去掉后数的平方 例 217 183 2 2 3 10000 17 2 10000 289 9711 39711 5 7 十位数相差 2 个位数相同的乘法 方法 取平均数的平方减去 100 例 25 45 25 45 2 35 35 2 100 1125 1125 5 8 百位互补 后两位相同的乘法 方法 取两数的百位相乘加上并乘以 10 后加上后两位为前两位 后面三位 为后两位的平方 位数不够用 0 补 满十进一 例 323 723 3 7 10 23 233 23 2 529 六 多位数特殊算法 6 1 一数和为 9 一数为顺子的算法 方法 凑 9 的数字按 3 4 条的方法处理 再将此数乘以顺子的头和尾的补 数 中间的数字全部替换为上一步处理完的数 例 45 步骤 1 4 1 5 10 5 5 45 9 5 任选一个即可 步骤 2 5 2 10 5 10 7 15 步骤 3 将中间的 3456 替换为全部替换为 5 6 2 一数和为 9 一数为含 890 的顺的算法 方法 凑 9 的数字按 3 4 条的方法处理 再将此数乘以顺子的头和尾的补 数 中间的数字除 9 以外全部替换为上一步处理完的数 9 替换成 0 若 0 为结 尾则先约掉 0 按 6 1 的方法算出答案后再补 0 例 36 步骤 1 3 1 4 10 6 4 36 9 4 任选一个即可 步骤 2 4 6 24 4 10 2 32 步骤 3 将 78901 替换为 44044 6 3 一数和为 9 一数为缺八顺的算法 末尾可以是 789 方法 凑 9 的数字按 3 4 条的方法处理 再将此数乘以顺子的头和尾的补 数 中间的数字全部替换为上一步处理完的数 若 0 为结尾则先约掉 0 按 6 1 的方法算出答案后再补 0 例 36 步骤 1 3 1 4 10 6 4 36 9 4 任选一个即可 步骤 2 4 5 20 4 10 4 24 步骤 3 将全部替换为 4 6 4 一数互补 一数为相同数的算法 方法 头加一和尾同时与相同数的任意一位数字相乘 中间的数字位数为 相同数的位数减 2 数字不变 例 46 步骤 1 4 1 4 20 6 4 24 步骤 2 有 9 个 4 9 2 7 抄 7 个 4 6 5 一数为相同数 一数位两位循环 相邻两位互补 的算法 方法 先将相同数的任意一位乘以循环节首位 1 再将相同数的任意一位 乘以尾数 中间数字替换成相同数的任意一位数 例 1 77 步骤 1 6 1 7 49 7 4 28 步骤 2 将 4646 替换为 7777 例 2 44 步骤 1 7 1 4 32 7 4 28 步骤 2 将 37373 替换为 44444 6 6 多个 9 乘以任意数 位数要少于或等于前数的总位数 方法 先将 任意数 1 然后把 任意数 的位数和 多个 9 比较位 数的多少 少几位则在中间写几个 9 写完 9 后写补数 熟练者可以直接看出 位数 写补数 如果两个数位数相同 中间则没有 9 例 1536 第一步 1536 1 1535 第二步 6 6 个 9 4 1536 是 4 位数 2 第三步 10000 1536 8464 答案 加减法 一 补数的概念与应用 补数的概念 补数是指从 10 100 1000 中减去某一数后所剩下的数 例如 10 减去 9 等于 1 因此 9 的补数是 1 反过来 1 的补数是 9 补数的应用 在速算方法中将很常用到补数 例如求两个接近 100 的数的 乘法或除数 将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等 除法速算 一 某数除以 5 25 125 时 1 被除数 5 被除数 10 2 被除数 10 2 被除数 2 10 2 被除数 25 被除数 4 100 被除数 2 2 100 3 被除数 125 被除数 8 1000 被除数 2 2 2 1000 速算方法 帅哥读书 速算方法大揭秘 速算方法大揭秘 一 九几乘九几 左减右补数 后面空两格 写上补乘补 被乘数减 去乘数的补数 后面写上两个数的补数的乘积 如 93 95 95 的补数是 5 93 5 88 93 的补数是 7 7 5 35 93 95 8835 原理 93 95 93 100 5 9300 5 93 9300 5 100 7 9300 500 5 7 8800 35 8835 00 看作两个 空格 二 任意数乘 25 等于此数除以 4 整除补 00 余 1 补 25 余 2 补 50 余 3 补 75 如 24 25 24 4 6 补 00 600 25 25 25 4 6 1 补 25 625 26 25 26 4 6 2 补 50 650 27 25 27 4 6 3 补 75 675 三 任意数乘 15 等于此数加上自己的一半 单数后面补 5 双数后面补 0 如 33 15 33 16 49 补 5 495 32 15 32 16 48 补 0 480 四 任意数乘 55 等于此数折半 单数补 5 双数补 0 再乘 11 如 37 55 37 2 18 补 5 185 11 2035 32 55 32 2 16 补 0 160 11 1760 五 十同个凑 10 十加 1 乘十 后面空两格 写上个乘个 十位数相同 个位数相加等于 10 的两位数相乘 等于十位数加 1 再乘以十位数 后面写上个 位数乘以个位数 如 36 34 3 1 3 12 后面写 6 4 24 36 34 1224 六 被乘数的两位数之和是 10 乘数的两位数相同 算法同上 如 37 66 3 1 6 24 后面写上 7 6 2442 原理 37 66 30 60 7 60 30 6 7 6 30 60 10 60 42 30 10 60 42 2442 七 十补个相同 十乘十加个 后面空两格 写上个乘个 十位数相加 等于 10 个位数相同的两个两位数相乘 十位乘十位加上个位 后面写上个乘 个 如 78 38 7 3 8 29 后面写上 8 8 64 78 38 2964 八 个位是 1 的两位数相乘 等于十乘十空一格 加上十加十 后面写上 1 如 41 51 4 5 20 4 5 209 后面写 1 2091 九 一个数的各个位数相加的和能被 3 整除 则这个数能被 3 整除 因为 34 3 102 所以一个能被 3 整除的数乘以 34 可以用此数除以 3 再乘 以 102 如 135 34 45 102 45 90 39 34 1326 67 3 201 也可以用上述技巧 如 69 67 46 23 37 3 111 同样可以用上面的技巧 如 135 37 45 111 两位数乘以 111 首 尾不变中间重复相加 45 111 4 4 5 4 5 5 4995 速算技巧 乘法速算 一 十位数是 1 的两位数相乘 乘数的个位与被乘数相加 得数为前积 乘数的个位与被乘数的个位相乘 得 数为后积 满十前一 例 15 17 15 7 22 5 7 35 255 即 15 17 255 解释 15 17 15 10 7 15 10 15 7 150 10 5 7 150 70 5 7 150 70 5 7 为了提高速度 熟练以后可以直接用 15 7 而不用 150 70 例 17 19 17 9 26 7 9 63 连在一起就是 255 即 260 63 323 二 个位是 1 的两位数相乘 方法 十位与十位相乘 得数为前积 十位与十位相加 得数接着写 满十进 一 在最后添上 1 例 51 31 50 30 1500 50 30 80 1580 因为 1 1 1 所以后一位一定是 1 在得数的后面添上 1 即 1581 数字 0 在不熟练的时候作为助记符 熟练后就可以不使用了 例 81 91 80 90 7200 80 90 170 7370 7371 原理大家自己理解就可以了 三 十位相同个位不同的两位数相乘 被乘数加上乘数个位 和与十位数整数相乘 积作为前积 个位数与个位数相 乘作为后积加上去 例 43 46 43 6 40 1960 3 6 18 1978 例 89 87 89 7 80 7680 9 7 63 7743 四 首位相同 两尾数和等于 10 的两位数相乘 十位数加 1 得出的和与十位数相乘 得数为前积 个位数相乘 得数为后积 没有十位用 0 补 例 56 54 5 1 5 30 6 4 24 3024 例 73 77 7 1 7 56 3 7 21 5621 例 21 29 2 1 2 6 1 9 9 609 代表十位和个位 因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零 请大家明白 不要忘了 这点是很容易被忽略的 五 首位相同 尾数和不等于 10 的两位数相乘 两首位相乘 即求首位的平方 得数作为前积 两尾数的和与首位相乘 得 数作为中积 满十进一 两尾数相乘 得数作为后积 例 56 58 5 5 25 6 8 5 7 6 8 48 3248 得数的排序是右对齐 即向个位对齐 这个原则很重要 六 被乘数首尾相同 乘数首尾和是 10 的两位数相乘 乘数首位加 1 得出的和与被乘数首位相乘 得数为前积 两尾数相乘 得数 为后积 没有十位用 0 补 例 66 37 3 1 6 24 6 7 42 2442 例 99 19 1 1 9 18 9 9 81 1881 七 被乘数首尾和是 10 乘数首尾相同的两位数相乘 与帮助 6 的方法相似 两首位相乘的积加上乘数的个位数 得数作为前积 两 尾数相乘 得数作为后积 没有十位补 0 例 46 99 4 9 9 45 6 9 54 4554 例 82 33 8 3 3 27 2 3 6 2706 八 两首位和是 10 两尾数相同的两位数相乘 两首位相乘 积加上一个尾数 得数作为前积 两尾数相乘 即尾数的平方 得数作为后积 没有十位补 0 例 78 38 7 3 8 29 8 8 64 2964 例 23 83 2 8 3 19 3 3 9 1909 平方速算 一 求 11 19 的平方 底数的个位与底数相加 得数为前积 底数的个位乘以个位相乘 得数为后积 满十前一 例 17 17 17 7 24 7 7 49 289 参阅乘法速算中的 十位是 1 的两位相乘 二 个位是 1 的两位数的平方 底数的十位乘以十位 即十位的平方 得为前积 底数的十位加十位 即十 位乘以 2 得数为后积 在个位加 1 例 71 71 7 7 49 7 2 14 5041 参阅乘法速算中的 个位数是 1 的两位数相乘 三 个位是 5 的两位数的平方 十位加 1 乘以十位 在得数的后面接上 25 例 35 35 3 1 3 12 25 1225 四 21 50 的两位数的平方 在这个范围内有四个数字是个关键 在求 25 50 之间的两数的平方时 若把它 们记住了 就可以很省事了 它们是 21 21 441 22 22 484 23 23 529 24 24 576 求 25 50 的两位数的平方 用底数减去 25 得数为前积 50 减去底数所得的 差的平方作为后积 满