2016年高中数学多元函数求最值问题专题

1 多元函数求最值问题多元函数求最值问题 一一 问题背景问题背景 多元函数是高等数学中的重要概念之一 但随着新课程的改革 高中数学与大学数学 知识的衔接 多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现 因其技巧性强 难度大 方法多 灵活多变而具有挑战性 成为最值求解中的难点和热点 同时 多元函 数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法 而且有利于培养学生联想 化归的解题能力 因此 怎样求多元函数的最值 是师生们非常关注和必须解决的问题 也是高考考生们必 须具备的解题技能 二二 常见的方法常见的方法 导数法 消元法 均值不等式法 1 代换 换元法 整体换元 三角换元 数形 结合法 柯西不等式法 向量法等 主要思想方法 数形结合 化归思想等 三三 范例范例 例例 1 已知实数 已知实数满足满足 且 且 则 则的最小值为 x y0 xy 2xy 21 3xyxy 方法一方法一 因为 所以422xy 2121 4 3 33 23 3 3 32 2 xyxy xyxyxyxy xyxy xyxy 当且仅当取等号 故的最小值2 21 32 2xy 21 3xyxy 32 2 4 评注 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函 数 再用单调性或基本不等式求解 二是直接用基本不等式 因已知条件中既有和的形式 又有积的形式 不能一步到位求出最值 考虑用基本不等式放缩后 再通过不等式的途径 进行 方法二方法二 利用不等式 引证 2 22 abab pqpq 记向量 因为 ab xypq pq 222 x yxy 所以 则 2 22 abab pqpq 2 21 21 32xyxyxy 32 2 4 评注 在求有些多元函数的最值时 恰当构造向量模型 利用向量数量积的性质 常可 使复杂问题变得简单明了 使繁琐的解题显得巧妙自然 方法三方法三 因为 所以 0 2xyxy 01y 2 又因为 21213 322222 11 y xyxyyyyy 当且仅当取等号 1132 2 8 24 6 3 3 y y 2 21 32 2xy 评注 该解法利用条件将不等式放缩后 通过消元 转化为一元函数 再用基本不等式 求解 方法四方法四 因为 2xy 所以 其中 2111 33221 322 xyxykk xyxyxyxykk y k x 记 11 1 322 kk g k kk 0 1k 因为 令 得 2 2 2 28404 246 kk gk kk 0gk 4 25 7 k 由于 在上递减 在上递增 g k 4 25 0 7 4 25 1 7 故 min 4 2532 2 74 g kg 所以 的最小值 21 3xyxy 32 2 4 评注 该解法充分体现了数学中的消元思想 将二元函数的最值转化为一元函数的最值 从而利用导数研究函数最值 但在处理过程中充分考虑变量的取值范围 否则容易出错 例例 2 已知任意非零实数已知任意非零实数 x y 满足满足 3x2 4xy x2 y2 恒成立 则实数恒成立 则实数 的最小值为的最小值为 方法一方法一 依题可得 222222 34344xxyxxyxy 因为均不为 故 所以 x y0 2 22 34xxy xy 44 评注 关注各项系数 直接利用基本不等式放缩 构思巧妙 方法二方法二 因为均不为 所以 x y0 2 22 2 34 34 1 y xxy x y xy x 令 则 记 由导数法可知 y t x 2 34 1 t t 2 34 1 t f t t 因为 所以 1 4f t 4 评注 利用消元思想 转化为函数最值 用导数法解决 是通解通法 方法三方法三 因为 所以 222 34xxyxy 22 3 40 xxyy 3 当时 则 显然不成立3 2 340yxy 当时 同除得 3 2 y 2 3 40 xx yy 故 解得 30 16430 4 评注 利用消元思想 转化为不等式恒成立问题 通过 法解决 但此法局限于二 次问题 变式练习变式练习 对于一切正数恒成立 则实数的最小值为 222 22xxymxy x ym 例例 3 设实数满足 则的最小值为 a b c 22 1abc abc 方法一方法一 因为 所以 22 cab 22 abcabab 22 111 222 ab 故 的最小值为abc 1 2 评注 根据条件进行放缩 利用配方法解决问题 方法二方法二 因为 所以 22 cab 22 abcabab 又因为 故 2 22 2 ab ab 2 22 2 ab abcababab 211 1 22 ab 故 的最小值为abc 1 2 评注 根据条件进行放缩 关注到基本不等式 同时有整体配方思想 方法三方法三 换元法 令 cos cos 0 1arbrr 22 2 2 2 2 cossin 2 sin 4 21 sin sin 2424 abcabab rr rr r 故 的最小值为abc 1 2 4 评注 通过换元 利用三角函数的有界性解决问题 变式练习变式练习 已知R R 且 则的最大值是 x y z 222 1 3xyzxyz xyz 5 27 例例 4 已知正实数满足 则的最大值为 a b 22 91ab 3 ab ab 方法一方法一 利用不等式可得 22 2 11 2 xy xy 则 的最大值为 2 2 221 9 11 323 2 3 b a ab ab b a 3 ab ab 2 12 评注 直接利用基本不等式解决问题 方法二方法二 由 可得 则 22 91ab 1 6 ab 因为 此两处取号时均为32 3abab 3ab 故 12 3122 32 32 36 ababab abab 评注 两次运用基本不等式 注意等号成立的条件 方法三方法三 因为 2 22 22 2 2 11 161 39616 3 9 ababab abababab ababab 由 可得 则 22 91ab 1 6 ab 2 1 372 ab ab 所以 的最大值为 3 ab ab 2 12 方法四方法四 令 则 3sin cos 0 2 ab 1sin cos 33 sincos ab ab qq qq 令 则 sincos 1 2 t t 2 1 sincos 2 t 于是 1sin cos11 33 sincos6 ab t abt qq qq 5 由于函数在区间上递增 故当时 取最大值 1 f tt t 1 2 2t 2 12 四 巩固练习四 巩固练习 1 设实数 若不等式对任意都成立 则6 n08 2 2 nxxm 2 4 x 的最小值为 nm nm 3 44 80 3 2 已知 则的最小值为 max 32 42 1 6Mxxyy M 19