天津市佳春中学中考数学复习 二次函数的应用VIP

1 二次函数的应用二次函数的应用 一 选择题一 选择题 1 1 20122012 四川资阳四川资阳 3 3 分 分 如图是二次函数 2 y ax bx c的部分图象 由图象可知不等式 2 ax bx c 0的解集是 A 1 x5 C x5 D 15 答案答案 D 考点考点 二次函数与不等式 组 二次函数的性质 分析分析 利用二次函数的对称性 可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标 结合图象可得出 2 ax bx c 0的解集 由图象得 对称轴是 x 2 其中一个点的坐标为 5 0 图象与 x 轴的另一个交点坐标为 1 0 由图象可知 2 ax bx c 12 12 ss tt 其实际意义是刹车后到 t2时间内的平均速到 t1时间内的度小于刹车后平均 速度 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 和应用 不等式的应用 分析分析 1 描点作图即可 2 首先判断函数为二次函数 用待定系数法 由所给的任意三点即可求出函数 解析式 3 将函数解析式表示成顶点式 或用公式求 即可求得答案 4 求出 1 1 s t 与 2 2 s t 用差值法比较大小 5 5 20122012 江苏常州江苏常州 7 7 分 分 某商场购进一批 L 型服装 数量足够多 进价为 40 元 件 以 60 元 件销售 每天销售 20 件 根据市场调研 若每件每降 1 元 则每天销售数量比原来 多 3 件 现商场决定对 L 型服装开展降价促销活动 每件降价 x 元 x 为正整数 在促销 期间 商场要想每天获得最大销售利润 每件降价多少元 每天最大销售毛利润为多少 注 每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差 答案答案 解 根据题意 商场每天的销售毛利润 Z 60 40 x 20 3x 3x2 40 x 400 当 b402 x 6 2a33 时 函数 Z 取得最大值 x 为正整数 且 22 7666 33 当 x 7 时 商场每天的销售毛利润最大 最大销售毛利润为 3 72 40 7 400 533 答 商场要想每天获得最大销售利润 每件降价 7 元 每天最大销售毛利润 为 533 元 考点考点 二次函数的应用 二次函数的最值 分析分析 求出二次函数的最值 找出 x 最接近最值点的整数值即可 10 6 6 20122012 江苏无锡江苏无锡 8 8 分 分 如图 在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上 剪去图中阴影部 分的四个全等的等腰直角三角形 再沿图中的虚线折起 折成一个长方体形状的包装盒 A B C D 四个顶点正好重合于上底面上一点 已知 E F 在 AB 边上 是被剪去的一 个等腰直角三角形斜边的两个端点 设 AE BF x cm 1 若折成的包装盒恰好是个正方体 试求这个包装盒的体积 V 2 某广告商要求包装盒的表面 不含下底面 面积 S 最大 试问 x 应取何值 答案答案 解 1 根据题意 知这个正方体的底面边长 a 2x EF 2a 2x x 2x x 24 解得 x 6 则 a 62 V a3 62 3 4322 cm3 2 设包装盒的底面边长为 acm 高为 hcm 则 a 2 x 242x h2 12x 2 S 4ah a2 2 2 2 4 2x2 12x2x6x96x 6 x8238 0 x 12 当 x 8 时 S 取得最大值 384cm2 考点考点 二次函数的应用 分析分析 1 根据已知得出这个正方体的底面边长 a 2x EF 2a 2x 再利用 AB 24cm 求出 x 即可得出这个包装盒的体积 V 2 利用已知表示出包装盒的表面 从而利用函数最值求出即可 7 7 20122012 江苏盐城江苏盐城 1212 分 分 11 知识迁移 知识迁移 当0a 且0 x 时 因为 2 a x x 0 所以2 a xa x 0 从而 a x x 2 a 当 xa 时取等号 记函数 0 0 a yxax x 由上述结论可知 当xa 时 该函数 有最小值为2 a 直接应用 直接应用 已知函数 1 0 yx x 与函数 2 1 0 yx x 则当x 时 12 yy 取得最小值 为 变形应用 变形应用 已知函数 1 1 1 yxx 与函数 2 2 1 4 1 yxx 求 2 1 y y 的最小 值 并指出取得该 最小值时相应的x的值 实际应用 实际应用 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分 一是固定费用 共360元 二是燃油费 每 千米为1 6元 三是折旧费 它与路程的平方成正比 比例系数为0 001 设该汽车一次运输 的路程为x千米 求当x为多少时 该汽车平均每千米的运输成本最低 最低是多少元 12 分析分析 直接运用 可以直接套用题意所给的结论 即可得出结果 函数 0 0 a yxax x 由上述结论可知 当xa 时 该函 数有最小值为2 a 函数 1 0 yx x 与函数 2 1 0 yx x 则当11x 时 12 yy 取得最小值为2 12 变形运用 先得出 2 1 y y 的表达式 然后将1x 看做一个整体 再运用所给结论即 可 实际运用 设该汽车平均每千米的运输成本为y元 则可表示出平均每千米的运 输成本 利用所 给的结论即可得出答案 8 8 20122012 江苏扬州江苏扬州 1212 分 分 已知抛物线 y ax2 bx c 经过 A 1 0 B 3 0 C 0 3 三 点 直线 l 是抛物线的对称轴 1 求抛物线的函数关系式 13 2 设点 P 是直线 l 上的一个动点 当 PAC 的周长最小时 求点 P 的坐标 3 在直线 l 上是否存在点 M 使 MAC 为等腰三角形 若存在 直接写出所有符合条件的 点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 A 1 0 B 3 0 经过抛物线 y ax2 bx c 可设抛物线为 y a x 1 x 3 又 C 0 3 经过抛物线 代入 得 3 a 0 1 0 3 即 a 1 抛物线的解析式为 y x 1 x 3 即 y x2 2x 3 2 连接 BC 直线 BC 与直线 l 的交点为 P 则此时的点 P 使 PAC 的周长最小 设直线 BC 的解析式为 y kx b 将 B 3 0 C 0 3 代入 得 3k b 0 b 3 解得 k 1 b 3 直线 BC 的函数关系式 y x 3 当 x 1 时 y 2 即 P 的坐标 1 2 3 存在 点 M 的坐标为 1 6 1 6 1 1 1 0 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 线段中垂线的性 质 三角形三边关系 等腰三角形的性质 分析分析 1 可设交点式 用待定系数法求出待定系数即可 2 由图知 A B 点关于抛物线的对称轴对称 那么根据抛物线的对称性以及两 点之间线段最短可知 若连接 BC 那么 BC 与直线 l 的交点即为符合条件的 P 点 14 3 由于 MAC 的腰和底没有明确 因此要分三种情况来讨论 MA AC MA MC AC MC 可先设出 M 点的坐标 然后用 M 点纵坐标表示 MAC 的 三边长 再按上面的三种情况列式求解 抛物线的对称轴为 x 1 设 M 1 m A 1 0 C 0 3 MA2 m2 4 MC2 m2 6m 10 AC2 10 若 MA MC 则 MA2 MC2 得 m2 4 m2 6m 10 得 m 1 若 MA AC 则 MA2 AC2 得 m2 4 10 得 m 6 若 MC AC 则 MC2 AC2 得 m2 6m 10 10 得 m 0 m 6 当 m 6 时 M A C 三点共线 构不成三角形 不合题意 故舍去 综上可知 符合条件的 M 点 且坐标为 1 6 1 6 1 1 1 0 9 9 20122012 福建莆田福建莆田 8 8 分 分 如图 某种新型导弹从地面发射点 处发射 在初始竖直加速 飞行阶段 导弹上升的高度 y km 与飞行时间 x s 之间的关系式为 2 11 yxx 186 0 x10 发射 3 s 后 导弹到达 A 点 此时位于与 L 同一水平面的 R 处雷达站测得 AR 的距离是 2 km 再过 3s 后 导弹到达 B 点 1 4 分 求发射点 L 与雷达站 R 之间的距离 2 4 分 当导弹到达 B 点时 求雷达站测得的仰角 即 BRL 的正切值 答案答案 解 1 把 x 3 代入 2 11 yxx 186 得 y 1 即 AL 1 在 Rt ARL 中 AR 2 LR 2222 ARAL 21 3 2 把 x 3 3 6 代入 2 11 yxx 186 得 y 3 即 BL 3 15 tan BRL BL3 3 LR3 答 发射点 L 与雷达站 R 之间的距离为3km 雷达站测得的仰角的正切值 3 考点考点 二次函数的应用 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 勾股定理 锐角三角 函数定义 分析分析 1 在解析式中 把 x 3 代入函数解析式 即可求得 AL 的长 在直角 ALR 中 利用勾股定理即可求得 LR 的长 2 在解析式中 把 x 6 代入函数解析式 即可求得 AL 的长 在直角 BLR 中 根据正切函数的定义即可求解 10 10 20122012 湖北武汉湖北武汉 1010 分 分 如图 小河上有一拱桥 拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线 的一部分 ACB 和 矩形的三边 AE ED DB 组成 已知河底 ED 是水平的 ED 16m AE 8m 抛物线的顶点 C 到 ED 的 距离是 11m 以 ED 所在的直线为 x 轴 抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 1 求抛物线的解析式 2 已知从某时刻开始的 40h 内 水面与河底 ED 的距离 h 单位 m 随时间 t 单位 h 的变化满足函数 关系 2 1 h t19 8 0t40 128 且当水面到顶点 C 的距离不大于 5m 时 需禁止船只通 行 请通过计算说明 在这一时段内 需多少小时禁止船只通行 答案答案 解 1 设抛物线的为 y ax2 11 由题意得 B 8 8 64a 11 8 解得 3 a 64 16 抛物线的解析式 y 3 64 x2 11 2 画出 2 1 h t19 8 0t40 128 的图象 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时 即水面与河底 ED 的距离 h 6 当 h 6 时 2 1 6 t19 8 128 解得 t1 35 t2 3 35 3 32 小时 答 需 32 小时禁止船只通行 考点考点 二次函数的应用 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 分析分析 1 根据抛物线特点设出二次函数解析式 把 B 坐标代入即可求解 2 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时 即水面与河底 ED 的距离 h 至多为 6 把 6 代入所给二次函数关系式 求得 t 的值 相减即可得到禁止船只通行的时间 11 11 20122012湖北黄冈湖北黄冈1212分 分 某科技开发公司研制出一种新型产品 每件产品的成本为2400 元 销售单价 定为3000 元 在该产品的试销期间 为了促销 鼓励商家购买该新型产品 公司决定商家 一次购买这种 新型产品不超过10 件时 每件按3000 元销售 若一次购买该种产品超过10 件时 每多购 买一件 所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元 但销售单价均不低于2600 元 1 商家一次购买这种产品多少件时 销售单价恰好为2600 元 2 设商家一次购买这种产品x 件 开发公司所获的利润为y 元 求y 元 与x 件 之间 的函数关系式 并 写出自变量x 的取值范围 3 该公司的销售人员发现 当商家一次购买产品的件数超过某一数量时 会出现随着 一次购买的数量的增多 公司所获的利润反而减少这一情况 为使商家一次购买的数量越多 公司所获的利润越大 公司应将最低销售单价调整为多少元 其它销售条件不变 答案答案 解 1 设件数为x 依题意 得3000 10 x 10 2600 解得x 50 答 商家一次购买这种产品50件时 销售单价恰好为2600元 17 2 当0 x 10时 y 3000 2400 x 600 x 当10 x 50时 y x 即y 10 x2 700 x 当x 50时 y 2600 2400 x 200 x 2 600 x 0 x10 x y10 x700 x 10 x50 x 200 x x50 x 且且且 且且且 且且且 为数 为数 为数 3 由y 10 x2 700 x可知抛物线开口向下 当 700 x35 210 时 利 润y有最大值 此时 销售单价为3000 10 x 10 2750元 答 公司应将最低销售单价调整为 2750 元 考点考点 二次函数的应用 分析分析 1 设件数为 x 则销售单价为 3000 10 x 10 元 根据销售单价恰好为 2600 元 列方程求解 2 由利润y 销售单价 件数 及销售单价均不低于2600元 按 0 x 10 10 x 50 x 50三种情况列出函数关系式 3 由 2 的函数关系式 利用二次函数的性质求利润的最大值 并求出最大 值时x的值 确定销售单价 12 12 20122012 湖南岳阳湖南岳阳 1010 分 分 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面 经过锅心和盖心的 纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形 不妨简称为 锅线 锅口直径为 6dm 锅深 3dm 锅盖高 1dm 锅口直径与锅盖直径视为相同 建立直接坐标系如图 所示 如果把 锅纵断面的抛物线的记为 C1 把锅盖纵断面的抛物线记为 C2 1 求 C1和 C2的解析式 2 如图 过点 B 作直线 BE y 1 3 x 1 交 C1于点 E 2 5 3 连接 OE BC 在 x 轴上求一点 P 使以点 P B C 为顶点的 PBC 与 BOE 相似 求出 P 点的坐标 3 如果 2 中的直线 BE 保持不变 抛物线 C1或 C2上是否存在一点 Q 使得 EBQ 的面 积最大 若存在 求出 Q 的坐标和 EBQ 面积的最大值 若不存在 请说明理由 18 答案答案 解 1 抛物线 C1 C2都过点 A 3 0 B 3 0 设它们的解析式为 y a x 3 x 3 抛物线 C1 还经过 D 0 3 3 a 0 3 0 3 解得 a 1 3 抛物线 C1 y 1 3 x 3 x 3 即 y 1 3 x2 3 3 x 3 抛物线 C2还经过 A 0 1 1 a 0 3 0 3 a 1 9 抛物线 C2 y 1 9 x 3 x 3 即 y 1 9 x2 1 3 x 3 2 直线 BE y 1 3 x 1 必过 0 1 CBO EBO tan CBO tan EBO 1 3 由 E 点坐标可知 tan AOE 1 3 即 AOE CBO 它们的补角 EOB CBx 若以点 P B C 为顶点的 PBC 与 BOE 相似 只需考虑两种情况 CBP1 EBO 且 OB BE BP1 BC 由已知和勾股定理 得 OB 3 BE 5 10 3 BC 10 3 5 10 3 BP1 10 得 BP1 9 5 OP1 OB BP1 6 5 P1 6 5 0 P2BC EBO 且 BC BP2 OB BE 即 10 BP2 3 5 10 3 得 BP2 50 9 OP2 BP2 OB 23 9 P2 23 9 0 综上所述 符合条件的 P 点有 P1 6 5 0 P2 23 9 0 19 3 如图 作直线 l 直线 BE 设直线 l y 1 3 x b 当直线 l 与抛物线 C1只有一个交点时 1 3 x b 1 3 x2 3 即 x2 x 3b 9 0 由 1 2 4 3b 9 0 得 37 b 12 此时 135 x y 212 且 该交点 Q2 135 212 且 过点 Q2作 Q2F BE 于点 F 则由 BE y 1 3 x 1 可用相似得 Q2F 的斜率 为 3 设 Q2F y 3x m 将 Q2 135 212 且 代入 可得 17 m 12 Q2F y 3x 17 12 联立 BE 和 Q2F 解得 125 x y 824 且 F 125 824 且 Q2到直线 BE y 1 3 x 1 的距离 Q2F 22 1135255 10 2812248 当直线 l 与抛物线 C2只有一个交点时 1 3 x b 1 9 x2 1 即 x2 3x 9b 9 0 由 32 4 9b 9 0 得 3 b 4 此时 33 x y 24 且 该交点 Q1 33 24 且 同上方法可得 Q1到直线 BE y 1 3 x 1 的距离 27 10 40 5 1027 1025 1027 1010 0 840404020 利用函数的图象或通过配方均 可求得该函数的最大值 提出新问题提出新问题 若矩形的面积为 1 则该矩形的周长有无最大值或最小值 若有 最大 小 值是多 少 分析问题分析问题 若设该矩形的一边长为 x 周长为 y 则 y 与 x 的函数关系式为 1 y2 x x0 x 问题就转化为研究该函数的最大 小 值了 解决问题解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验 探索函数 1 y2 x x0 x 的最大 小 值 1 实践操作 填写下表 并用描点法 画出函数 1 y2 x x0 x 的图象 x 1 4 1 3 1 2 1234 y 21 2 观察猜想 观察该函数的图象 猜想当 x 时 函数 1 y2 x x0 x 有最 值 填 大 或 小 是 3 推理论证 问题背景中提到 通过配方可求二次函数 2 1 sxx x0 2 的最大 值 请你尝试通过配方求函数 1 y2 x x0 x 的最大 小 值 以证明你的猜想 提示 当x0 时 2 x x 答案答案 解 1 填表如下 x 1 4 1 3 1 2 1234 y 1 8 2 2 6 3 545 2 6 3 1 8 2 2 1 小 4 3 证明 222 22 111 y2 x 2 x 22 2 x 4 x x x 当 1 x0 x 时 y 的最小值是 4 即 x 1 时 y 的最小值 是 4 考点考点 二次函数的最值 配方法的应用 22 分析分析 1 分别把表中 x 的值代入所得函数关系式求出 y 的对应值填入表中 并画出函 数图象即可 2 根据 1 中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可 3 利用配方法把原式化为平方的形式 再求出其最值即可 14 14 20122012 四川巴中四川巴中 9 9 分 分 某商品的进价为每件 50 元 售价为每件 60 元 每个月可卖出 200 件 如果每 件商品的售价上涨 1 元 则每个月少卖 10 件 每件售价不能高于 72 元 设每件商品的售 价上涨 x 元 x 为整数 每个月的销售利润为 y 元 1 求 y 与 x 的函数关系式 并直接写出 x 的取值范围 2 每件商品的售价定为多少元时 每个月可获得最大利润 最大月利润是多少元 答案答案 解 1 设每件商品的售价上涨 x 元 x 为正整数 则每件商品的利润为 60 50 x 元 总销量为 200 10 x 件 商品利润为 y 60 50 x 200 10 x 10 x2 100 x 2000 原售价为每件 60 元 每件售价不能高于 72 元 0 x 12 2 y 10 x2 100 x 2000 10 x 5 2 2250 当 x 5 时 最大月利润 y 2250 答 每件商品的售价定为 5 元时 每个月可获得最大利润 最大月利润 是 2250 元 考点考点 二次函数的应用 二次函数的最值 分析分析 1 根据题意 得出每件商品的利润以及商品总的销量 即可得出 y 与 x 的函数 关系式 2 根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式 或用公式法 从而得出当 x 5 时得出 y 的 最大值 15 15 20122012 辽宁锦州辽宁锦州 1010 分 分 某商店经营儿童益智玩具 已知成批购进时的单价是 20 元 调查发现 销售单价是 30 元时 月销售量是 230 件 而销售单价每上涨 1 元 月销售量就 减少 10 件 但每件玩具售价不能高于 40 元 设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时 x 为 正整数 月销售利润为 y 元 23 1 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 2 每件玩具的售价定为多少元时 月销售利润恰为 2520 元 3 每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大 最大的月利润是多少 答案答案 解 1 依题意得 2 y 30 x20 23010 x 10 x130 x2300 自变量 x 的取值范围是 0 x 10 且 x 为正整数 2 当 y 2520 时 得 2 10 x130 x23002520 解得 x1 2 x2 11 不合题意 舍去 当 x 2 时 30 x 32 每件玩具的售价定为 32 元时 月销售利润恰为 2520 元 3 22 y10 x130 x230010 x6 5 2722 5 a 10 0 当 x 6 5 时 y 有最大值为 2722 5 0 x 10 且 x 为正整数 当 x 6 时 30 x 36 y 2720 当 x 7 时 30 x 37 y 2720 每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时 每个月可获得最大利润 最大的月利润是 2720 元 考点考点 二次函数的应用 二次函数的最值 解一元二次方程 分析分析 1 根据销售利润 销售量 销售单价即可得 y 与 x 的函数关系式 因为 x 为正整 数 所以 x 0 因为每件玩具售价不能高于 40 元 所以 x 40 30 10 故自变量 x 的取值范围是 0 x 10 且 x 为正整数 2 求出函数值等于 2520 时自变量 x 的值即可 3 将函数式化为顶点式即可求 16 16 20122012 河北省河北省 9 9 分 分 某工厂生产一种合金薄板 其厚度忽略不计 这些薄板的形状 均为正方形 边长 单位 cm 在 5 50 之间 每张薄板的成本价 单位 元 与它的面 积 单位 cm2 成正比例 每张薄板的出厂价 单位 元 由基础价和浮动价两部分组成 其中基础价与薄板的大小无关 是固定不变的 浮动价与薄板的边长成正比例 在营销过 程中得到了表格中的数据 薄板的边长 cm 2030 24 出厂价 元 张 5070 1 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式 2 已知出厂一张边长为 40cm 的薄板 获得的利润为 26 元 利润 出厂价 成本价 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式 当边长为多少时 出厂一张薄板所获得的利润最大 最大利润是多少 参考公式 抛物线 y ax2 bx c a 0 的顶点坐标为 2 b4acb 2a4a 且 答案答案 解 1 设一张薄板的边长为 xcm 它的出厂价为 y 元 基础价为 n 元 浮动价 为 kx 元 则 y kx n 由表格中的数据 得 5020kn 7030kn 解得 k 2 n 10 一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为 y 2x 10 2 设一张薄板的利润为 p 元 它的成本价为 mx2元 由题意 得 p y mx2 2x 10 m