习题课：函数的最值问题

习题课 函数的最值问题习题课 函数的最值问题 一 教学目标一 教学目标 一 知识目标 使学生掌握求函数最值的应用问题 二 能力目标 使学生能掌握一般的应用题解题步骤 培养学生的发散 思维 提高一题多解的能力 三 情感目标 培养学生从多方面 多角度看问题的观点 二 教学重难点二 教学重难点 一 重点 求函数的最值 二 难点 求函数的最值 三 活动设计三 活动设计 回顾 提问 演板 讲解 比较 小结 四 教学过程四 教学过程 一 回顾知识 什么是函数的最值 函数的最大 最小值怎么求 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 1 对于任意的 x I 都有 f x M f x M 2 存在 I 使得 f M 0 x0 x 那么我们称 M 是函数 y f x 的最大 小 值 二 实例讲解 例题 例题 一个救生员在救生站里看到一名游泳者发生了危险 这名游泳者距 岸 60m 从海边到救生站的距离有 150m 救生员在岸上的奔跑速度是每秒 8m 在水里游泳的速度是每秒 2m 救生员应以什么样的路线 才能以最短的 时间到达那名出危险的游泳者 分析 首先看看已知条件给出了些什么 然后再画出草图 列出相关函数 表达式 再判断用什么方法解题 解法一 求导数法 解法一 求导数法 根据题意 我们设救生员在岸上跑 x m 后跳到水里 再沿直线游到游泳者处 如图所示 再设救生员由救生站到游泳者处所用的时间为 y 则可以列出以下函数关系式 0 x 150 2 2 82 150 60 x y x 对函数 y 求关于 x 的导数得 2 2 1150 8 2 150 60 x y x 则由解得 2 2 1150 0 8 2 150 60 x x 1504 15x 而 0 15 29f 150 48 75f 300 120 15 154 15 16 f 所以 当时 y 有最小值 1504 15x 即当救生员在岸上跑 m 后跳到水里 再沿直线游到游泳者处 1504 15 才能以最短的时间到达那名出危险的游泳者 解法二 判别式法 解法二 判别式法 跟上面一样我们可以得到一个函数表达式 0 x 150 2 2 82 150 60 x y x 移项整理得 2 2 84 150 60 yx x 两边平方整理得 2 2 1516 300 64 6525 0yx y x 则我们可以得到 2 2 2 4 15 64 6525 1660078750 16 300 y yy y 解不等式得 300 120 15300 120 15 1616 yy 或 因为 y 0 所以 300 120 15 16 y 故当时 时间最短 此时解得 300 120 15 16 y 1504 15x 所以当救生员在岸上跑 m 后跳到水里 再沿直线游到游泳者处 1504 15 才能以最短的时间到达那名出危险的游泳者 解法三 三角函数法 解法三 三角函数法 如图可设角 A 为 显然有 5 0 2 arctg 则在直角三角形 AOC 中有 OC 60tg BC 150 60tg AC 60 cos 设时间为 y 则有 1506030 8cos tg y 5 0 2 arctg 即 2 15060 301 8 tg y tg 令 t tg 则 215060 301 8 t y t 5 0 2 t 求导数得 2 1530 2 1 t y t 令解得 0 y 15 15 t 所以当取时 y 取得最小值 15 15 t 故当取时 所用的时间 y 最小 15 15 arctg 五 小结五 小结 求最大最小值的方法有如下几种 1 应用正余弦函数值域有界性求相关三角最值 说明 解决此类问题通常是将三角函数化简整理为 y Asin x b 的 形式 再利用 1 sin x 1 来求函数最值 2 换元法求函数最值 说明 换元法求函数最值主要用于含根式 复合变元等的函数 通过换元 将复杂问题简单化 它常常与二次函数的值域相关联 3 配方法求函数最值 说明 配方法常与换元法相结合 对于复合变元的二次函数的最值常用此 法 4 判别式法求函数最值 说明 此方法是指利用一元二次方程根的判别式求函数最值的方法 它常 用与分式形式的二次式的最值求解 5 利用函数单调性求函数最值 说明 应用此法的关键是准确判断函数的单调性 6 数形结合求函数最值 7 求导数法 六 作业六 作业 1 有三个新兴城镇 分别位于 A B C 三点 且 今计划俣建一个中心医院 为同时方便三镇居民就医 2 bBCaACAB 准备建在的垂直平分线上的处 建立坐标系如图 BCP 1 若希望点到三镇距离的平方和为最小 点应位于何处 PP 2 若希望点到三镇的最远距离为最小 点 P 位于何处 P 2 某水厂的蓄水池中有 400 吨水 水厂每小时可向莓水池中注入 60 吨水 同时蓄水池又向居民小区不断