一注结构基础考试笔记

1 上午篇 一 一 高等数学高等数学 共共 24 题题 1 1 函数与极限 1 数列极限的定义 xn a 记作 limxn a 2 数列极限的性质 1 数列收敛 则极限唯一 2 数列收敛则有界 无界则发散 3 数列与极限同号 保 号性 4 数列收敛于 a 则其子数列也收敛于 a 5 有界一定收敛 发散一定无界都是 错的 特例是 1 1 1 1 1 n 1 3 函数极限的定义 f x A f x 在点 x0有无极限与 f x 在点 x0有无定义无关 f x 在点在点 x0极限存在的充要条件是左右极限存在且相等 极限存在的充要条件是左右极限存在且相等 4 函数极限的性质 1 极限若存在 则唯一 2 如果极限为 A 则必有 f x M 局部有界性 3 函数 与极限同号 保号性 4 如果极限 limf x 存在 xn 为 f x 定义域收敛于 x0的数列 则 f xn 必收敛 且 limf xn limf x 5 无穷小与无穷大 1 极限为 0 是无穷小 f x M 是无穷大 无穷小与无穷大互为倒数 2 无穷小的运算 有限个无穷小的和 积为无穷小 常数与无穷小的积为无穷小 有界 函数与无穷小的积为无穷小 6 极限的运算法则 1 函数 数列 和 差 积 商的极限等于极限的和 差 积 商 2 lim cf x c limf x 3 lim f x n limf x n 4 limf x a limg x b 如果 limf x limg x 则 a b 5 复合函数 limg x u0 limf u A u g x 则 limx x0f g x limu u0f u A 7 极限存在准则 两个重要极限 1 夹逼定理 g x f x h x 如果 limg x limh x A 则 limf x A 数列极限也有同 性 2 limx 0 sinx x 1 limx sinx x 0 limx 0 cosx 1 limx 0 loga 1 x x 1 lna 3 单调有界数列必有极限 limx 1 1 n n 1 e limx 1 1 1 n n e 4 limx 1 1 x x e limx 0 1 x 1 x e limx 1 1 x x 1 e limx 0 ax 1 x lna 8 无穷小的比较 lim m m 0 是 的高阶无穷小 m 是 的低阶无穷小 2 m c 0 是 的同阶无穷小 m 1 是 的等价无穷小 lim k c 0 是 的 k 阶无穷小 9 近视计算的等价代换 只适用于乘除计算 忌用加减 近视计算的等价代换 只适用于乘除计算 忌用加减 sinx x tanx x arcsinx x arctanx x 1 cosx 1 2x2 ln 1 x x ex 1 x 1 x 1 n 1 1 n x 1 x2 1 n 1 1 n x2 10 函数连续性与间断点 1 连续的定义 lim f x0 x f x0 0 另一种表达是 limf x f x0 连续连续极限 极限 2 间断点的三种情形 f x 在点 x0没有意义 在 x0有定义 但极限不存在 在 x0有定义 极限存在 但 limf x f x0 3 无穷间断点 振荡间断点 可去间断点 上述第 种情形 跳跃间断点 极限存在属 第一类间断点 剩余的为第二类间断点 11 连续函数的运算与初等函数的连续性 1 若 g x f x 在点 x0连续 则它们的和 差 积 商在点 x0连续 2 f x 在区间 Ix 上单调连续变化 则其反函数 f 1 y 在相应区间 Iy 上单调连续变化 3 复合函数 limx x0f g x limu u0f u f u0 条件 limx x0g x u0 f x 在 u0连续 或 可表述为 limx x0f g x f limx x0g x 4 g x 在 x0连续 且 g x0 u0 f x 在 u0连续 则复合函数 f g x 在 x0连续 5 初等函数在定义域内都是连续的 12 闭区间上连续函数的性质 1 有界与最值 在闭区间上连续函数有界 则一定有最值 2 零点定理 f x 在闭区间 a b 连续 且 f a f b 0 则在开区间 a b 至少有一点使 f 0 3 介值定理 f x 在 a b 连续 且 f a A f b B 则在 a b 至少有点 f C A C B 13 多元函数的极限与连续性 1 2 导数与微分 1 导数的定义 f x0 lim x 0 f x0 x f x0 x 或 f x0 limx x0 f x f x0 x x0 2 常用导数求解 C 0 xu uxu 1 sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secx tanx cscx cscx cotx ax axlna ex ex logax 1 xlna lnx 1 x arcsinx 1 1 x2 arccosx 1 1 x2 arctanx 1 1 x2 3 arccotx 1 1 x2 3 导数的几何意义 表示 f x 在点 x0 f x0 处切线的斜率 单侧导数 切线方程 y y0 f x0 x x0 法线方程 y y0 1 f x0 x x0 4 可导可导连续 连续 可导函数必是连续的 连续则不一定可导 折线变化的函数 5 求导法则 u v u v u v u v u v u v u v u v v2 cu c u 反函数求导 f 1 x 1 f y 复合函数求导 6 高阶导数 常用的有 ex n ex sinx n sin x n 2 cosx n cos x n 2 ln 1 x n 1 n 1 n 1 1 x n 0 1 xn n n xn n 1 0 7 隐函数求导 注意y是关于x的函数y y x dy dx Fx Fy z x Fx Fz z y Fy Fz 参数函数求导 x y 对 t 求导 8 微分的定义 y f x0 x f x0 A x 0 x 既 dy A x 9 微分的几何意义 表示 f x 在切线上点的纵坐标的相应增量 10 微分的运算 与导数对应 11 微分的中值定理与函数的性态 1 费马定理 若 f x 在 a b 内有一点 x0取最值 极值 则 f x0 0 2 罗尔定理 若 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导且 f a f b 则必有一点使 f 0 3 拉格拉日中值定理 若 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则必有点 f f b f a b a 4 若在区间 f x 0 则 f x C 常数 5 柯西中值定理 f x g x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则至少有一点使得 f b f a g b g a f g 12 洛必达法则 解决 0 0 型求极限问题 limx a f x g x limx a f x g x 使 用条件是 g x 0 limx a f x g x 存在或无穷大 其他求极限的方法 对数极限法 可将 00 0 1 转化为 0 型 从而再变为 0 0 型 利用洛必达法则求解 型可用通分化商求解 13 函数的单调区间与极值 1 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则 f x 0 f x 单增 f x 0 f x 单减 f x 0 为驻 点 2 f x 连续 在除 x0点外可导 则可通过 x0左右两侧 f x 的符号判断 x0是极大值 极 小值 f x 不变号 则 x0不是极值点 极值点必是驻点 导数不存在的点也可能是极值极值点必是驻点 导数不存在的点也可能是极值 4 点 点 3 f x 在 x0点二阶可导 且 f x0 0 f x0 0 则 f x0 0 x0为极大值 f x0 0 x0为极小值 极值与最值的区别 极值用坐标点表示 最值是一个单纯极值与最值的区别 极值用坐标点表示 最值是一个单纯 的数字 的数字 14 曲线的凹凸性与拐点 1 f x 在 a b 上连续 若有 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 或 f x 0 则 f x 在 a b 是凹 曲线 若有 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 或 f x 0 则 f x 在 a b 是凸曲线 2 f x 在 a b 上连续 若在 C 点 f c 符号相反 则 C 点为拐点 拐点可以是不可导点 反应曲线凹凸变化的转折点 15 偏导数 高级导数 1 对于多元函数 各偏导数在某点都存在也不能保证也不能保证函数在该点连续 2 拉普拉斯方程 3 二级偏导数连续 2z x y 2z y x 16 全微分 dz z x dx z y dy 全微分存在各偏导数存在 17 方向导数 f L x0 y0 f x x0 y0 cos f y x0 y0 cos f x f y 为偏导数 方向余弦 cos cos 为非零向量与坐标轴夹角的余弦 cos2 cos2 cos2 1 18 多元函数微分的几何应用 1 曲线的切线与法平面 给定曲线参数方程 x t y t z t 切线方程 x x0 t0 y y0 t0 z z0 t0 t t0 对应点 x0 y0 z0 法平面方程 t0 x x0 t0 y y0 t0 z z0 0 2 曲面的切平面与法线 给定曲面的隐式方程 F x y z 0 切平面方程 Fx x0 y0 z0 x x0 Fy x0 y0 z0 y y0 Fz x0 y0 z0 z z0 0 法线方程 x x0 Fx x0 y0 z0 y y0 Fy x0 y0 z0 z z0 Fz x0 y0 z0 1 3 不定积分与定积分 1 不定积分的概念与性质 1 原函数加常数项称为导函数的不定积分 f x dx F x C 积分运算与微分是互逆的 d cosx sinxdx d cosx cosx C 2 性质 f x g x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx 2 换元积分法 5 1 凑微分法 f x x dx F x C f u du u x 常用的三角函数公式 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商的关系 sin cos sec csc tan cos sin csc sec cot 平方关系 sin 2 cos 2 1 1 tan 2 sec 2 1 cot 2 csc 2 两角和公式 sin A B sinAcosB cosAsinB sin A B sinAcosB sinBcosA cos A B cosAcosB sinAsinB cos A B cosAcosB sinAsinB tan A B tanA tanB 1 tanAtanB tan A B tanA tanB 1 tanAtanB cot A B cotAcotB 1 cotB cotA cot A B cotAcotB 1 cotB cotA 倍角公式 tan2A 2tanA 1 tanA 2 sin2A 2sinA cosA cos2a cosa 2 sina 2 2 cosa 2 1 1 2 sina 2 半角公式 1 cosA 2 sin A 2 2 1 cosA 2 cos A 2 2 1 cosA 1 cosA tan A 2 2 1 cosA 1 cosA cot A 2 2 tan A 2 cscA cotA 和差化积 2sinAcosB sin A B sin A B 2cosAsinB sin A B sin A B 2cosAcosB cos A B sin A B 2sinAsinB cos A B cos A B sinA sinB 2sin A B 2 cos A B 2 cosA cosB 2cos A B 2 sin A B 2 tanA tanB sin A B cosAcosB 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 2 第二类换元法 f x dx f t t dt 设 x 为 t 的函数 求得结果后将 t 换算成 x 回回 带带 3 分部积分法 udv uv vdu u v 的选取要适当 方便求解 4 有理函数积分 将有理分式化为和的形式 分别积分 可化为有理函数的积分 5 定积分 表示围区面积 A abf x dx a b 时 abf x dx 0 a b 时 abf x dx baf x dx 6 定积分性质 1 ab f x g x dx abf x dx abg x dx 2 abkf x dx k abf x dx 3 abf x dx acf x dx cbf x dx a c b 4 ab1dx b a 6 5 f x 0 abf x dx 0 f x g x abf x dx abg x dx abf x dx ab f x dx 6 m b a abf x dx M b a m M 分别为最小值和最大值 7 中值定理 f x 在 a b 上连续 则至少存在一点使得 abf x dx f b a 7 牛顿莱布尼兹公式 abf x dx F x ab F b F a 8 定积分换元法 abf x dx f t t dt 不需反代 直接计算 9 偶函数 aaf x dx 2 0af x dx 奇函数 aaf x dx 0 条件是连续函数 10 0 2f sinx dx 0 2f cosx dx 0 xf sinx dx 2 0 f sinx dx 11 定积分分部积分法 abudv uv ab abvdu 12 定积分的应用 1 求曲线 y f x 与曲线 y g x 围成的平面图形面积 A ab f x g x dx a b 为 x 的取 值范围 对应 y 函数由上减下 当对 y 积分有利时 可换成 x 的函数对 dy 积分 极坐标求法 曲线 变化范围 A 1 2 2d 2 求曲线 y f x 绕 x 轴旋转体体积 v ab f x 2 dx 3 求平面曲线弧长 直角坐标弧长 x x y f x s ab 1 y 2 dx 参数方程弧长 x t y t s 2 t 2 t dt 极坐标弧长 x cos y sin s 2 2 d 13 重积分 二重积分表示以积分区域 D 平面 为底 曲面 z f x y 为顶的柱体体积 1 二重积分性质 D Af x y Bg x y d A Df x y d B Dg x y d 可加性 Df x y d D1f x y d D2f x y d D D1 D2 D1d D 的面积 f x y g x y Df x y d Dg x y d m Df x y d M m M 分别为 f x y 在闭区间 D 上的最小值和最大值 中值定理 Df x y d f 三重积分具有以上类似的性质 2 二重积分计算法 直角坐标法 Df x y d abdx 1 2f x y dy x 从 a 到 b 变 化 对应函数 y 从 1到 2变化 实质转化为定积分的计算 极坐标法 Df x y dxdy Df cos sin d d d 1 2 f cos sin d x cos y sin dxdy d d 从 到 变化 对应函数 从 1 到 2 变化 7 3 三重积分表示密度 f x y z 与质量 M f x y z dv 的关系 三重积分计算 直角坐标 f x y z dv abdx y1y2dy z1z2f x y z dz 积分区域 是空间体 x a b y y1 y2 均属于 在平面 xoy 投影 Dxy 对应 z 的变化为 z1 z2 柱面坐标 f x y z dxdydz F z d d dz F z f cos sin z 0 2 表示过 z 轴的半平面 0 表示以 z 轴为轴的圆柱面 z 表示与平面 xoy 平行的平面 球面坐标 f x y z dxdydz F 2sin d d d F f sin cos sin sin cos 0 2 表示过 z 轴的半平面 0 表示顶点为原点 以 z 轴为轴的圆锥面 0 表示球心为原点的球面 1 4 曲线积分 1 对弧长的曲线积分性质 1 L1 L2f x y ds L1f x y ds L2f x y ds 2 L Af x y Bg x y ds A Lf x y ds B Lg x y ds 3 f x y g x y Lf x y ds Lg x y ds Lf x y ds L f x y ds 2 对弧长的曲线积分计算法 将 ds 转化为 2 t 2 t dt 实质转化为定积分计算 曲线弧L的参数方程 x t y t Lf x y ds f t t 2 t 2 t dt 特殊地 y x 时 Lf x y ds abf x x 1 2 x dx x y 时 Lf x y ds cdf y y 1 2 y dy 对于空间曲线 x t y t z t 则有 f x y z ds f t t t 2 t 2 t 2 t dt 3 对坐标的曲线积分 具有与对弧长曲线积分类似的性质 必须注意积分弧段的方向 必须注意积分弧段的方向 积分方向相反则结果相反 积分方向相反则结果相反 LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt x t y t 对应有向曲线弧 L 的起点 对应 L 的终点 不一定小于 8 特殊地 y x 时 LP x y dx Q x y dy ab P x x Q x x x dx 曲线积分的弧线函数曲线积分的弧线函数 L 与被积函数与被积函数 f x y 是代入关系 而重积分计算时的积分区域与被积是代入关系 而重积分计算时的积分区域与被积 函数无关 只确定积分的上下限 函数无关 只确定积分的上下限 4 格林公式 将曲线积分转化为二重积分 LPdx Qdy D Q x P y dxdy L 是 D 的取正向边界曲线 所谓正向是指 D 的内测始终在曲线 L 的左侧 闭区间 D 由 L 围成 1 面积公式 P y Q x D Q x P y dxdy 2 Ddxdy D 的面积 A 1 2 Lxdy ydx 2 平面曲线积分与路径无关的充要条件 LPdx Qdy 0 Q x P y 1 5 空间解析几何与向量代数 1 向量的概念 1 向量的相等 平行 特例共线 共面 零向量 负向量 向量的模 方向角 方向余方向余 弦弦 2 平行定理 a 0 a bb a 唯一 3 向量的加减法符合交换律和结合律 乘除法符合结合律和分配律 2 数量积 向量积 数量积的运算结果是一个数 向量积的运算结果是一个向量 数量积的运算结果是一个数 向量积的运算结果是一个向量 1 数量积 a b a b cos a Prjab b Prjba 投影 Prjba 表示向量 a 在向 量 b 的投影 推论 a a a 2 a b 0a b cos 2 0 2 数量积运算符合交换律和结合律 分配率 3 数量积坐标表示式 a b axbx ayby azbz cos a b a b axbx ayby azbz ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2 4 向量 c 的模 c a b sin 推论 a a 0 sin0 0 a b 0a b 5 向量积运算符合结合律 分配率 以及 a b b a 6 向量积坐标表示式 a b i j k aybz azby i azbx axbz j axby aybx k ax ay az bx by bz a b 与 a 和 b 都垂直 3 空间曲面 1 球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 x0 y0 z0 是球心 2 旋转曲面 f x2 y2 z 0 绕 z 轴 f y x2 z2 0 绕 y 轴 9 圆锥面 z x2 y2 cot 或 z2 cot 2 x2 y2 旋转单 双叶双曲面 x2 y2 a2 z2 c2 1 绕 z 轴 x2 a2 y2 z2 c2 1 绕 x 轴 3 柱面 只含两个坐标的平面方程 在空间直角坐标系里表示母线平行于另一个坐标轴 4 二次曲面 三元二次方程 有 9 种 椭圆锥面 x2 a2 y2 b2 z2 椭球面 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 单叶双曲面 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 双叶双曲面 x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 椭圆抛物面 x2 a2 y2 b2 z 双曲抛物面 x2 a2 y2 b2 z 椭圆柱面 x2 a2 y2 b2 1 双曲柱面 x2 a2 y2 b2 1 抛物柱面 x2 ay 4 空间曲线 两个曲面的交线 1 一般方程是两个曲面的方程组 参数方程 特例螺旋线 2 空间曲线在坐标面上的投影 消去方程组中某变量 再使该坐标为空间曲线在坐标面上的投影 消去方程组中某变量 再使该坐标为 0 联立 联立 5 平面 1 点法式方程 A x x0 B y y0 C z z0 0 原理是数量积原理是数量积 法向量 n A B C 平面 点 M0 x0 y0 z0 三点如何确定一个平面 三点如何确定一个平面 2 一般方程 三元一次 Ax By Cz D 0 有诸多特例 过原点 平行于坐标轴和坐标平 面 3 截距式方程 x a y b z c 1 a b c 依次在坐标轴上的截距 4 两平面的夹角 cos A1A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 两平面垂直 A1A2 B1B2 C1C2 0 两平面平行或重合 A1 A2 B1 B2 C1 C2 6 空间直线 1 一般方程是两个平面的方程组 2 参数方程 x x0 m y y0 n z z0 p t 方向向量 s m n p 直线上一点 x0 y0 z0 3 两直线的夹角 cos m1m2 n1n2 p1p2 m12 n12 p12 m22 n22 p22 两直线垂直 m1m2 n1n2 p1p2 0 两平面平行或重合 m1 m2 n1 n2 p1 p2 4 直线与平面的夹角 直线方向向量 m n p 平面法向量 n A B C sin Am Bn Cp A2 B2 C2 m2 n2 p2 直线与平面垂直 A m B n C p 直线与平面平行或重合 Am Bn Cp 0 1 6 无穷级数 10 1 常数项无穷级数 表达式 u1 u2 un 1n Un 1 常数项级数的部分和数列 sn s1 u1 s2 u1 u2 sn u1 u2 un 若 sn 极限存在为和 s 则无穷级数 Un 收敛 若 sn 没有极限 则无穷级数 Un 发散 等差数列 1 2 3 n n n 1 2 发散 等比数列 a aq aq2 aq3 aqn 1 a 1 qn 1 q q 1 收敛 q 1 发散 2 收敛级数的性质 若级数 Un 收敛于和 s 则级数 kUn 收敛于和 ks 若级数 Un Vn 分别收敛 于 s 则级数 Un Vn 收敛于 s 增减级数的有限项 不改变级数的收敛性 对级数的项任意加括号 不改变级数的敛散性 但是收敛级数去掉括号则可能改变性 状 若级数 Un 收敛它的一般项 通式 极限 limn un 0 limn un 0级数 Un 发散 特例 调和级数调和级数 1 1 2 1 3 1 n limn un 0 但发散 但发散 级数 n 1 1 n2收 敛 2 常数项级数审敛法 1 正项级数 各项均是正数或零 及其审敛法 正项级数 Un 收敛部分和数列 sn 有界 对照常数项级数的定义 定理也成立 比较法 正项级数 Un Vn Un Vn Vn 收敛 Un 收敛 Un 发散 Vn 发散 P 级数级数 1 1 2p 1 3p 1 np p 1 收敛 收敛 p 1 发散 发散 比较极限法 正项级数 Un Vn 若 limn un vn a 0 Vn 收敛 Un 收敛 Vn 发散 Un 发散 比值法 正项级数 Un 若 limn un 1 un a a 1 收敛 a 1 或 发散 a 1 不 定 根植法 正项级数 Un limn un 1 n a a 1 收敛 a 1 或 发散 a 1 不定 极限法 正项级数 Un 若 limn nun a 0 或 发散 若 p 1 limn npun a 0 收 敛 2 交错级数及其审敛法 若交错级数 1 n 1Un 满足条件 un un 1 limn un 0 则级数收敛 3 绝对收敛与条件收敛 11 若级数 Un 收敛 则称级数 Un 绝对收敛 若级数 Un 收敛 而 Un 发散 则称级数 Un 条件收敛 Un 收敛 Un 收敛 两个绝对收敛的级数的乘积 柯 西乘积 也是绝对收敛的 3 幂级数 函数项级数 表达式anxn a0 a1x a2x2 anxn 0n 1 anxn 若 x x0 0 收敛 则 x x0 的 x 使 anxn绝对收敛 若 x x0发散 则 x x0 的 x 使 anxn发散 2 若 limn an 1 an a 则收敛半径 R 的值 a 0 R 1 a a 0 R a R 0 4 泰勒级数 f x0 f x0 x x0 f x0 2 x x0 2 f n x0 n x x0 n 当 x x0时 为麦克劳林级数 f x 能展成泰勒级数的充要条件是泰勒公式中的余项 Rn x 的极限 limn Rn x 0 Rn x f n 1 n 1 x x0 n 1 1 函数 f x 展开成幂级数的步骤 求出 f x 的各级导数 计算其各级导数在 x 0 的 值 写出幂级数 f 0 f 0 x f 0 2 x2 f n 0 n xn 并计算出收敛半径 R 计算余项 Rn x 在 R R 的极限是否为 0 为 0 时即可展开为 f x f 0 f 0 x f 0 2 x2 f n 0 n xn 2 各种特殊函数的展开式 ex 1 x x2 2 xn n sinx x x3 3 x5 5 1 n 1x2n 1 2n 1 cosx 1 x2 2 x4 4 1 nx2n 2n 1 1 x 1 x x2 xn 1 1 x 1 x x2 x3 1 nxn 1 1 x2 1 x2 x4 1 nx2n ln 1 x x x2 2 x3 3 1 nxn 1 n 1 5 傅里叶级数 f x a0 2 ancos nx bnsin nx 为三角函数 1n 1 函数 f x 为周期 2 的函数 如果同时满足 一个周期内连续或有限个第一类间断点 一个周期内至多只有有限个极值点 则 f x 的傅里叶级数收敛 且在 f x 的连续点 x0 级数收敛于 f x0 在 f x 的间断点 x0 级数收敛于 1 2 f x0 f x0 1 7 微分方程 等式中含有未知函数的导数 12 微分方程的解为函数 通解 解中含有任意常数 独立 不能合并 的个数与方程阶数相同 1 可分离变量方程 g y dy f x dx 两端积分求解 2 一阶线性微分方程 dy dx P x y Q x 解为对应齐次方程 Q x 0 通解与非齐次方 程一个特解的和 3 可降阶的高阶微分方程 1 y n f x 积分求解 2 y f x y 令 y p 化为 p f x p 积分求 p 再积分求解 3 y f y y 令 y p 化为 p dp dy f y p 积分求 p 再积分求解 4 常系数线性微分方程 两函数的比值为常数 称之为线性相关 否则就是线性无关 1 二阶常系数齐次方程 y py qy 0 解 写出特征方程 r2 pr q 0 求出两根 r1 r2 写出通解 两个不等实根 r1 r2 通解 y C1er1x C2er2x 一个等实根 r1 r2 通解 y C1 C2 er1x 一对共轭复根 r1 2 i 通解 y eax C1cos x C2sin x 2 二阶线性微分方程解的结构 y1 x y2 x 是二阶齐次方程 y p x y q x y 0 的两个解 则 y C1y1 x C2y2 x 也是原 方程的解 若 y1 x y2 x 是线性无关的特解 则 y C1y1 x C2y2 x 是原方程的通解 二阶非齐次方程 y p x y q x y f x y x 是其特解 Y x 是对应齐次方程的通解 则 y Y x y x 是原方程的通解 二阶非齐次方程y p x y q x y f1 x f2 x y1 x y2 x 分别是方程y p x y q x y f1 x y p x y q x y f2 x 的特解 则 y1 x y2 x 是原方程的特解 1 8 概率与数理统计 1 事件的关系及运算 1 子事件 A B 从属 和事件 A B 并集 差事件 A B 差集 积事件 A B 交集 互斥事件 互不相容 AB 分离 互逆事件 A B AB 2 事件运算满足交换律 结合律和分配率 2 概率运算 不可能事件 必然事件 样本空间 P 0 P 1 1 互斥事件P A B P A P B 独立事件P AB P A P B 任意事件P A B P A P B P AB P B A P B P AB P A 1 P A A BP B A P B P A 13 2 概率 P n m 分子 n 表示所有出现的几率数 分母 m 表示所有几率存在的范围总数 Pmn m m 1 m 2 m n 1 Cmn m m 1 m 2 m n 1 n n 1 n 2 1 3 一维随机变量分布 分离散型 r 和非离散型 连续型 v 和其它 1 设X是r v 概率F x P X x X x x 称F x 为X的分布函数 F x 0 1 分布函数有 4 个性质 略 重要公式 P a X b F b F a P X a 1 F a 2 连续型随机变量 F x xf x dx f x 为 F x 的概率密度 f x dx 1 3 常见的离散型分布有零 壹分布 二项分布 几何分布 泊松分布 4 常见的连续型分布有均匀分布 指数分布 正态分布 X N 2 分布函数 F x x x 查表求解 若 n 个随机变量 来自一个正态分布样本 则 X N 1 n 2 统计量 T X s n t n 1 t 分布 4 数字特征 1 期望 均值 随机变量取值的中心 连续型E X xf x dx 离散型E X g xk pk 运算 E CX CE X E X1 X2 E X1 E X2 若 X 与 Y 独立 则 E XY E X E Y 零 壹分布 E X P 二项分布 E X nP 泊松分布 E X 指数分布 E X 1 均匀分布 E X a b 2 正态分布 E X 2 方差 反映了随机变量取值的平均分散程度 D X E X2 E X 2 运算 D C 0 D CX C2 D X D X C D X 若 X 与 Y 独立 则 D X Y D X D Y 二项分布 D X nP 1 P 泊松分布 D X 指数分布 D X 1 2 正态分布 D X 2 零 壹分布 D X P 1 P 均匀分布 D X b a 2 2 5 参数估计 1 正态分布 X N 2 区间估计 置信区间 X 0 n 1 2 X 0 n 1 2 区间长度为 2 0 n 1 2 6 假设检验 犯第一类错误的概率 P 显著性水平 犯第二类错误的概率 P 7 方差分析 8 一元回归分析 1 9 线性代数 1 行列式 14 1 行列式的性质 D D 转置 互换其中两行 列 D D 其中两行 列 完全相同 或成比例 D 0 某一行 列 乘以 k D kD 某一行 列 均为两数之和 D D1 D2 某一行 列 乘以 k 对应加到另一行 列 值不变 2 行列式的展开 若行列式 D 某一行除 aij项外均为 0 则 D aijAij 代数余子式 Aij 1 i jMij 2 矩阵 1 矩阵运算规律 加法满足交换律和结合律 A A 0 A B A B 数乘满足分配 率 相乘满足结合律和分配率 AB 为 A 的行 B 的列 只有位数相同时才能相乘 AB BA 2 矩阵转置 A A A B A B AB B A A A 3 方阵的行列式 A A A A nA AB A B 4 可逆矩阵 若 AB BA 则 A 可逆 B A 1 可逆矩阵 A 0 且A 1 1 A A A 1 1 A A 1 1 A A 1 A 1 A 1 1 A 1 AB 1 B 1 A 1 伴随矩阵 A 与 A 互换了行 列 5 矩阵的秩 R A 为行 列 向量组的秩 向量组最大线性无关组所含向量的个数 6 相似矩阵 n 阶方阵 A 与对角阵 相似A 有 n 个线性无关的特征向量 7 特征值 Ax x x 为特征向量 为特征值 若 x 一定 则 一定 求解特征值 令 A E 0 3 线性方程组 1 齐次线性方程组有非 0 解的充要条件是其系数行列式 A 0 齐次线性方程组的系 数矩阵秩 r A n 方程组有唯一零解 齐次线性方程组的系数矩阵秩 r A n 方程组有 无数多解 2 非齐次线性方程组有解的必要条件是 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 否则直接判 为无解 如果 n 个未知量的线性方程组有解时 当 r A n 时有唯一解 当 r A n 时有无 穷多解 4 向量分析 二 二 普通物理普通物理 共共 12 题题 1 1 热学 1 内能 15 平均动能 1 2 波动学 1 1 3 光学 三 三 普通化学普通化学 共共 12 题题 1 1 物质结构 1 2 溶液 1 3 周期表 1 4 化学反应方程 1 5 氧化还原反应及电化学 1 6 有机化学 四 四 理论力学理论力学 共共 13 题题 1 1 静力学 1 平面力系向一点简化时 可得到一力和一力偶 力的大小方向与主矢相同 力偶矩为 主矩 主矩与简化点有关 主矢与简化点无关 1 2 动力学 1 3 运动学 五 五 材料力学材料力学 共共 15 题题 1 1 力 拉 压 弯 剪 扭 1 扭矩 右手法则 1 2 截面特性 16 1 面积矩 Sz Ai yi Sy Ai zi 形心公式 yc Ai yi Ai zc Ai zi Ai 2 惯性积为 0 的一对坐标轴为主惯性轴 通过截面形心的主惯性轴为形心主惯性轴 3 惯性矩 Iy Az2dA Iz Ay2dA 常用的几何参数 矩形 Iz bh3 12 圆 Iz D4 64 惯性积 Izy AzydA 惯性半径 iz Iz A iy Iy A 4 平行移轴公式 Iz Izc a2A Iy Iyc b2A Izy Izcyc abA 1 3 应力状态 1 拉 压 正应力 N A 垂直于截面 纯扭 剪应力 相切于截面 应变 l l E N EA 虎克定律 l Nl EA 2 剪应力互等定理 剪力在相互垂直的面上同时存在 数值相等 方向都垂直于这两个面的交线 且都指向 或背离该交线 3 三向应力状态 1 4 组合变形 1 5 压杆稳定 1 欧拉公式只适用于较长细的大柔度杆 Pcr 2EI l 2 六 六 流体力学流体力学 共共 12 题题 1 1 流体的物理性质 1 2 流体静力学 动力学 1 3 流动阻力和水头损失 1 4 孔口管嘴出流 有压管道恒定流 1 5 明渠恒定均匀流 17 1 6 渗流定律 井和集水廊道 1 7 相似原理和量纲分析 1 8 流体运动参数 流速流量压强 的测量 七 七 计算机应用基础计算机应用基础 共共 10 题题 1 1 计算机基础 1 2 计算机语言 1 进制转换 二进制转十进制 1101 2 1 20 0 21 1 22 1 23 13 10 从右到左乘以 2 的项次 0 十进制转二进制 173 10 10101101 2 将除以 2 的余数倒排 二进制转八进制 1100100 2 001 100 100 2 1 4 4 8 把表示形式对每三位二进制位 进行分组 应该从小数点所在位置分别从右向左划分 若整数部分倍数不是 3 的倍数 可以在最高位前面补若干个 0 对小数部分 当其位数不是的倍数时 在最低位后补若 干个 0 然后从左到右把每组的八进制码依次写出 即得转换结果 八进制转十进制 1 3 系统操作 八 八 电工电子技术电工电子技术 共共 12 题题 九 九 工程经济工程经济 共共 10 题题 下午篇 一 一 建筑材料建筑材料 共共 7 题题 18 1 基本概念与计算 1 实际密度 表观密度 容重 堆积密度 a 实际密度 材料质量 m 绝对密实状态的体积 v b 表观密度 0 材料质量 m 自然状态的体积 v0 c 堆积密度 0 材料质量 m 堆积体积 v 0 2 密实度 孔隙率 填充率 空隙率 a 密实度 D v v0 b 孔隙率 P v0 v v0 P D 1 c 填充率 D v0 v 0 d 空隙率 P v 0 v0 v 0 P D 1 3 与水有关的性质 抗渗性 渗透系数 耐久性 抗冻性 a 耐水性 软化系数 0 1 经常处于严重潮湿中不宜小于 0 85 潮湿较轻不宜小于 0 7 大于 0 8 的材料为耐水材料 b 润湿角润湿角 90 为亲水性 为亲水性 90 为憎水性 为憎水性 c 吸湿性 含水率 总质量 干质量 干质量 d 吸水性 质量吸水率 水的质量 干质量 体积吸水率 水的体积 干体积 4 导热性 率 比热容和热容量 保温隔热性 5 强度与比强度 弹性与塑性 脆性与韧性 硬度与耐磨性 2 气硬性胶体 石膏 石灰 镁质胶凝材料 与水玻璃 1 陈化是消除过火石灰过火石灰危害 2 胶体 凝胶体的特性 3 水玻璃的特性 良好的粘结性 很强的耐酸性 较好的耐高温性 4 石膏质量等级划分指标 强度 细度 凝结时间 3 水泥 水泥 1 水泥的类别特性 硅酸盐水泥 普通水泥 矿渣水泥 火山灰水泥 粉煤灰水泥 a 硅酸盐水泥 基础水泥 基本不含混合材料 成分 C3S 占 50 60 C2S 占 15 37 C3A 占 7 15 C4AF 占 10 18 C3A 是水化反应最快 放热最大的 其次是 C3S 其强度最大 初凝不宜早于 45min 终凝不宜迟于 6 5h 石膏是缓凝剂 不利于大 体积混凝土 有利于冬季施工 常用于预应力 喷射 桥梁等快凝高强结构 b 普通水泥 6 15 混合材料 最常用的水泥 不适用大体积混凝土 终凝不宜迟于 10h 19 c 矿渣水泥 耐热 大体积 抗硫酸盐侵蚀抗硫酸盐侵蚀 干缩大 不适用早强 严寒及水位范围内 的混凝土 d 火山灰水泥 水中 地下 大体积 干缩大 抗渗抗渗 抗硫酸盐侵蚀 不适用干燥 耐 磨及同矿渣水泥 e 粉煤灰水泥 水中 地上下 大体积 抗硫酸盐侵蚀 干缩小 抗裂 不适用干燥 抗碳化及同矿渣水泥 2 体积安定性 原因是水泥熟料中游离氧化钙 氧化镁过多 或石膏参量过多 4 混凝土 混凝土 1 混凝土强度等级 按照立方体抗压强度标准值抗压强度标准值确定 a 混凝土立方体抗压强度 fcu 实验确定 b 混凝土立方体抗压强度标准值 fcu k 取 fcu 的 95 保证率 见混规条文解释 c C50 即表示混凝土立方体抗压强度标准值为 50MPa fcu k 55MPa d 混凝土配制强度 fcu o e 混凝土轴心抗压强度标准值 fck 由 fcu k 计算确定 fck 0 88 1 2fcu k f 混凝土轴心抗拉强度标准值 ftk 由 fcu k 计算确定 混凝土各种强度的关系 fcu o fcu k 1 645 5 00 N mm2 fc fck fcu fcu k ft fc 6 13 2 影响混凝土强度的因素 标号 正比 水灰比 反比 骨料 正比 碎石高于卵石 养护 温度与湿度 龄期和试验条件 普通混凝土养护 7 天 火山灰 粉煤灰等其他 混凝土养护 14 天 混凝土强度试验取三组强度的算术平均值 3 混凝土组成材料 a 砂的细度模数 b 骨料含水状态 干燥 气干 饱和面干 湿润 c 骨料级配 4 混凝土和易性包括流动性 塌落度 粘聚性 保水性 影响和易性的因素有 水泥 浆用量 水泥浆稠度 水灰比 砂率 组成材料的性质 外加剂 时间和温度 5 抗渗性与抗冻性 抗渗等级 抗冻等级 6 和易性包括 流动性 粘聚性 不产生分成离析现象 保水性 不泌水 和易性测 定方法有塌落度筒法 维勃稠度法 和易性影响的主要因素 水泥浆量 水灰比 砂率 组成材料与温度 7 外加剂的种类和作用 减水剂 增强流动性 节约水泥 增加强度 改善耐久性 增加抗冻性 20 引气剂 增加和易性 增加抗冻性 降低强度 8 混凝土变形 化学变形不可恢复 干缩变形 吸水后可以部分恢复 不能完全恢复 短期荷载下有残 留塑性变形 长期荷载下 徐变 有残余变形 徐变的主要影响因素水灰比和水泥用量 均成正比例 5 钢材 1 冶炼加工 化学成分 a 含碳量 0 8 与强度与硬度成正比 与塑性 韧性 收缩率成反比 2 力学性能 拉伸 冲击 冷脆 疲劳 硬度 屈强比 屈服点与抗拉强度的比值 比值越小 表明材料的安全性和可靠性越高 但过屈强比 屈服点与抗拉强度的比值 比值越小 表明材料的安全性和可靠性越高 但过 小则钢材的有效利用性太低 造成浪费 小则钢材的有效利用性太低 造成浪费 3 工艺性能 冷弯 冷拉与冷拔 时效 焊接 6 木材 1 含水率 自由水 干燥 吸附水 强度 化学结合水 常温不变 2 湿胀干缩性的转折点的含水率是纤维饱和点纤维饱和点 3 平衡含水率 4 强度 设顺纹抗压为 1 抗弯 1 5 2 顺纹抗拉 2 3 横纹受力均小于 1 7 沥青 1 针入度 针入度 粘性 牌号 粘性 牌号 2 延伸度 塑性 3 软化点 软化点 温度敏感性 温度敏感性 4 大气稳定性 抗老化 牌号 针入度 沥青越软 即粘聚性 延度 脆性 软化点 延度 即塑性 软化点 即温度敏感性 使用寿命 牌号越大 老化越慢 8 晶体与非晶体 玻璃体 9 石材 三种岩石 岩浆岩 深成岩 花岗石 火山岩 喷出岩 玄武岩 辉绿岩 安山岩 沉积岩 化学 石膏 白云石 有机 石灰石 机械沉积岩 砂岩 页岩 变质岩 石英石 大理石 二 二 测量测量 共共 5 题题 2 1 测量基本知识 1 方位角 北方向为 0 顺时针旋转的角度 2 地面点位三要素三要素 水平角 水平距离 高差 3 国家高程控制网分一 二 三 四等级和等外测量 21 等外测量闭合差计算 山地 12 n 平地 40 L n 为测站数 L 为水准线路长 度 四等测量 平地 20 L 4 水平角测量方法 测回法和方向观测法 点位的测定方法 距离交会 方向交会 极坐标法 直角坐标法 建筑物变形观测 沉降观测 位移观测 倾斜观测 5 测距离的相对误差公式 k 往 返 平均 绝对值 等精度观测误差计算公式 mz m n n 为测量数 m 中误差 k mz D 绝对值 6 方位角正反坐标相差 180 度 经纬仪水平盘刻度是顺时针标记的 2 2 测量仪器的使用 1 水准仪 粗平 瞄准 精平 读数 水准仪两平行一垂直 水准管轴平行于视准轴 LL CC 圆水准器轴平行于竖轴 L L VV 十字丝的水平丝垂直于竖轴 2 经纬仪 对中 整平 照准和读数 经纬仪三个垂直 照准部水准管轴垂直于竖轴 LL VV 视准轴垂直于横轴 CC HH 横轴垂直于竖轴 HH VV 3 等高线 山脊 凹向山头 山谷 凸向山头 4 测量比例与误差计算 5 系统误差与偶然误差 系统误差 主要原因是仪器和工具不完善 不准确 外界温度变化也是重要因素 与人 的因素无关 误差的符号的大小相同 出现有一定的规