微积分(下)期末复习题完整版

1 期末复习题期末复习题 一 填空题一 填空题 1 x tt x x 0 2 0 dcos lim 2 若 若在在上连续上连续 则则 xf ba b x xxf x 2 d d d 3 已知已知是是的原函数 则的原函数 则等于等于 xF xf x xtatf t 0 0 d 1 4 若 若是是的一个原函数 则的一个原函数 则 2 e x xf 1 0 d xxf 5 1 1 2 d 1 x x xx 6 已知 已知 则 则在在上的平均值为上的平均值为 2 1 x x xf xf 2 0 7 设 设且且连续 连续 则则 0 sind xfxxxf xf xf 8 设曲线 设曲线 与直线与直线及及 y 轴围成的图形面积为轴围成的图形面积为 则 则 k xy 0 0 xk1 y 3 1 k 9 设 设 则 则 y x yyxyxfarcsin 1 2 22 1 0 y f 10 设设 则 则 y xz 2 e yx z 2 11 交换积分次序 交换积分次序 x yyxfx ln 0 e 1 d d 12 交换积分次序 交换积分次序 x x yyxfx 1 1 1 2 2 d d 13 交换积分次序 交换积分次序 2 21 0 d d y y xyxfy 二 选择题二 选择题 1 极限极限等于 等于 x tt x x cos1 d 1ln lim 2sin 0 0 A 1 B 2 C 4 D 8 2 设设 则 则 x x ttf x ed d d e 0 xf A B C D 2 1 x 2 1 x x2 e x2 e 3 设 设是连续函数 且是连续函数 且 则必有 则必有 B xfCxFxxf d A B d xFttf x a d xFttF x a C D d xfttF x a d afxfttF x a 2 4 设 设在在上连续 则上连续 则在在上的平均值是 上的平均值是 xf ba xf ba A B 2 bfaf b a xxfd C D b a xxf ab d 1 b a xxf ba d 1 5 积分 积分与 与 有关 有关 t s xxtftI 0 d A B C D sxts ts tx 6 下列方程中变量可分离的是 下列方程中变量可分离的是 A B 2 d d ttx t x t t x x xt sine d d C D 22 d d tx t x ln d d tx t x 7 是微分方程是微分方程满足条件满足条件的特解 的特解 0dlndln yyxxxy 2 1 e e 2 1 x y A B 0lnln 22 yx2lnln 22 yx C D 0lnln 22 yx 2 1 lnln 22 yx 三 计算题三 计算题 1 计算下列不定积分 计算下列不定积分 1 2 3 xx x 1 2 d xxxdln xxdln2 4 5 6 3 11 d x x x xx d 1 1 22 x x x d 2cos1 2 2 计算下列定积分 计算下列定积分 1 2 3 2 0 dsine xx x xxdln 2 2 e e 1 xx x x darctan 1 1 0 2 2 4 5 6 5ln 0 x x x d1e 3e e x 1 2 1 12 dex x 1 0 2 d1arctanxxx 7 8 1 2 1 2 2 d 1 x x x 4 0 d 12 x x x 3 设 设 求 求 02 2 1 20 4 1 2 x x x x xf 2 0 d 1 xxf 4 设 设 求求 0 1 0 e 2 xx x xf x 3 1 d 2 xxf 3 5 设 设是由方程是由方程确定的隐函数 求确定的隐函数 求 yxfz y z z x ln y z x z 6 设设 求 求 ln 22 yxz yyxx zz 7 求 求 y x y x y xyxfarctanarctan 22 yx f 2 8 已知 已知 求 求 2 33 yzzx x z y z 9 求函数 求函数的极值 的极值 2 e 22 yyxyxf x 10 计算二重积分 计算二重积分 其中 其中 D yx x x dd sin 10 yyxyD 11 计算二重积分 计算二重积分 其中 其中 D 是以是以为顶点的三角形区域 为顶点的三角形区域 D yxxdd1 2 1 1 0 1 0 0 12 计算计算 1 x 1 0 ded 2 yx y 13 计算 计算 1 0 1 3 2 d 1 d x y y xy x 14 计算 计算 1 1 2 1 d sin d y x x x y 15 求微分方程满足初始条件的特解 求微分方程满足初始条件的特解 0 dd x y y x 4 3 y 16 求微分方程 求微分方程 的通解 的通解 0e x yyx 17 求方程 求方程的通解 的通解 2 x xyxy e22 18 求微分方程 求微分方程的通解 的通解 042 1 22 xyxyx 19 求解微分方程 求解微分方程 0d ln dln xxyyxx1 e x y 四 应用题四 应用题 1 求 求与与所围成的图形的面积及它绕所围成的图形的面积及它绕轴旋转而成的旋转体体积 轴旋转而成的旋转体体积 2 xy 2 yx x 2 求 求与与所围成的图形的面积所围成的图形的面积 并求此图形绕并求此图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积轴旋转一周所形成的旋转体的体积 2 xy xy 3 过曲线 过曲线上的点上的点 A 作切线 使该切线与曲线及作切线 使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形轴所围成的平面图形 D 的面积的面积 S 为为 0 3 xxy 4 3 1 求点求点 A 的坐标 的坐标 2 求平面图形求平面图形 D 绕绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积 轴旋转一周而成的旋转体体积 4 为销售某种产品 需要作两种方式的广告 当两种广告的费用分别为 为销售某种产品 需要作两种方式的广告 当两种广告的费用分别为 x 和和 y 时 销售利润的增加是时 销售利润的增加是 万元 万元 现花 现花 25 万元用于广告 问怎样分配两种方式的广告费用 可使利润的增加达万元用于广告 问怎样分配两种方式的广告费用 可使利润的增加达 y y x x 10 25 5 50 到最大 到最大 5 某厂生产产量分别为 某厂生产产量分别为 x 和和 y 的两种产品 总成本的两种产品 总成本 需求 需求50010104 22 yxyxyxyxc 4 函数分别为函数分别为 为产品单价为产品单价 且产品需求要受限制 且产品需求要受限制px25 0 70 qy5 0120 qp 求工厂获最大利润时的产量和单价 求工厂获最大利润时的产量和单价 502 yx 6 设某企业的总产量函数为 设某企业的总产量函数为 吨 吨 为两种投入要素 其单价分别为为两种投入要素 其单价分别为 1 万元万元 yxyxP 2 005 0 yx 吨和吨和 2 万元万元 吨 且该企业拥有资金吨 且该企业拥有资金 150 万元 试求万元 试求使产量最大 使产量最大 yx 7 生产某种产品需要生产某种产品需要三种原料 且产量与三种原料 且产量与原料的用量原料的用量的关系为的关系为 CBA CBA zyx zyxQ 2 005 0 已知三种原料售价分别为已知三种原料售价分别为 1 2 3 万元万元 今用 今用 2400 万元万元 购买材料 问应如何进料才能使产量最大 购买材料 问应如何进料才能使产量最大 五 证明题五 证明题 1 设 设在在上连续上连续 证明 证明 xf 10 原 原 2 00 d sin2d sin ttfttf 2 设 设在在上连续上连续 证明 证明 xf 10 原 原 00 d sin 2 d sinxxfxxfx 3 证明 证明 1 0 1 0 d 1 d 1 xxxxxx mnnm 解答 解答 一 填空题一 填空题 1 1 2 2f 2x 3 4 5 ln2 6 2 2aFaxF 1 e2 15 2 1 7 8 9 8 10 11 1 2 sin x 2 1 y2 e2 e e 1 0 d d y xyxfy 12 y y y y xyxfyxyxfy 1 1 3 0 1 1 0 1 d dd d 13 2 1 2 0 1 00 22 d dd d xx yyxfxyyxfx 二 选择题二 选择题 1 C 2 B 3 解 解选选 B 利用变上限积分函数的导数利用变上限积分函数的导数 结合 结合 得 得 d d d xfttf x x a xfxF A C D d aFxFttf x a d aFxFttF x a d xfxFttF x a 故选故选 B 4 解 解选选 C 若函数若函数在在上连续 则称上连续 则称为为在在上的平均值 故选上的平均值 故选 C xf ba b a xxf ab d 1 xf ba 5 解 解选选 D 设设 则 则 xtu t u x u t xd 1 d 于是于是 故积分 故积分 I 与与 s 有关有关 应选应选 D t s xxtftI 0 d s uuf 0 d 6 解 解 选选B 5 由于由于可写成可写成 故应选 故应选 B t t x x xt sine d d t xt x t x sine e d d 7 解 解 选选D 将原方程分离变量并两边积分 得到通解为将原方程分离变量并两边积分 得到通解为 Cyx 22 ln 2 1 ln 2 1 代入初始条件代入初始条件 得 得 所求特解为 所求特解为 2 1 e e 2 1 x y 4 1 C 2 1 lnln 22 yx 三 计算题三 计算题 1 计算下列不定积分 计算下列不定积分 1 解解 令令 则 则 于是 于是xt 1 2 1tx ttxd2d xx x 1 2 d tt tt 1 d2 2 2 1 d 2 t t Ct arctan2Cx 1arctan2 2 解解 xxxdln 2 dln 2 x x x x x x x d 1 2 ln 2 22 Cxx x 2 2 4 1 ln 2 3 解解 xxdln2 x x xxxxd 1 ln2ln2 xxxxdln2ln2 x x xxxxxd 1 2ln2ln2Cxxxxx 2ln2ln2 4 解解 令令 tx 3 1 3 1tx ttxd3d 2 3 11 d x x t t t d 1 3 2 t t t d 1 11 3 2 t t td 1 1 1 3 Cttt 1 ln33 2 3 2 Cxxx 11 ln313 1 2 3 33 3 2 5 解解 令令 txsec tttxdtansecd Ctttt tt tt x xx sindcosd tansec tansec d 1 1 2 22 C x x 1 2 6 解解 xxxxxx x x x x x tanddsecd cos2 2 d 2cos1 2 2 2 sec lntandtantanCxxxxxxx 2 计算下列定积分 计算下列定积分 1 解 解 2 0 dsine xx x 2 0 desin x x 2 0 2 0 dcosesine xxx xx 2 0 2 decose x x 2 e dsinecose 2 0 2 0 xxx xx 1e 2 2 0 dsine xx x 解得解得 2 0 dsine xx x 1 e 2 1 2 2 解 原式解 原式xxxxdlndln 2 2 e 1 1 e 1 xxxxxxxxlndln lndln 2 2 2 2 e 1 e 1 1 e 1 1 e 1 6 xxd 2 1 e d 2 1 e 1 2 2 e 1 2 1 e 1 2 2 2 e 2 1 2e 3 1 3 解 令解 令 则 则ttxtxxtdsecd tan arctan 2 原式原式tttdtan2 4 0 tttd 1 sec2 4 0 tttttddsec 4 0 2 4 0 4 0 2 4 0 2 1 tand ttt 2 4 0 4 0 32 1 dtantan tttt 2 4 0 32 1 secln 4 t 2 32 1 2ln 2 1 4 4 解 令解 令 则 则t x 1e 2 0 22 2 d 1 2 4 1 t t t t tt 原 原原 原 2 0 2 2 d 4 2t t t 2 0 2 2 d 4 44 2t t t 2 0 2 arctan2 2 t t 4 5 解 令解 令 则 则tx 12 原式原式 1 0 dett t 1 0 1 0 1 0 deedettt ttt 1 6 解解 令令 则 则 tx 2 1 1 0 2 d1arctanxxx 1 0 2 darctan 2 1 tt 1 0 2 2 1 0 2 d 12 1 arctan 2 1 t t t tt 1 0 2 2 d 1 11 2 1 42 1 t t t 1 0 arctan 2 1 2 1 42 1 x 2 1 4 7 解解 设设 txsin 原式原式t t t d sin cos 2 4 2 2 4 1 cot d1 csc 2 4 2 4 2 tttt 8 解解 令令 原式 原式 tx 12tt t t 3 1 2 d 2 1 3 10 3 2 1 3 1 3 t t 3 解 解 2 0 d 1 xxf 1 1 d 1 ttf tx 1 02 0 1 d 4 1 d 2 1 t t t x 1 0 0 1 2 arcsin2ln t x 2ln 6 4 解 解 设设 tx 2 3 1 d 2 xxf 1 1 d ttf 1 0 0 1 d d ttfttf 1 0 0 1 2 ded 1 ttt t e 1 3 7 5 解 解 同理 同理 z z z zxz xx 2 xz z zx 2 xzy z zy 6 解 解 22 2 yx x zx 22 2 yx y zy xx z 222 22 2 yx xy yy z 222 22 2 yx yx 7 7 解 解 y x y x x f arctan2 yx f 2 22 22 yx yx 8 解 方程两边关于 解 方程两边关于 x 求偏导 求偏导 033 22 x z y x z zx 3 3 2 2 yz x x z 方程两边关于方程两边关于 y 求偏导 求偏导 03 2 y z yz y z z 3 2 yz z x z 9 解 解 求得驻点 求得驻点 0 22 e 0 1422 e 2 22 yf yyxf x y x x 1 2 1 yx 0e2 1 2 1 xx fA0 1 2 1 xy fBe2 1 2 1 yy fC0e4 22 ACB 所以所以为极小值点 极小值为为极小值点 极小值为 1 2 1 2 e 1 2 1 f 10 解 解 原式原式 x x y x x x 2 d sin d 1 0 1 0 d sin sinxxxx1sin1 sincoscos 1 0 xxxx 11 解 解 D x d1 2 3 1 d1d1d 1 0 2 0 2 1 0 xxxyxx x 12 解解 交换积分次序 交换积分次序 y y xy 0 1 0 dde 2 原原式式 1 0 de 2 yy y 1 0 2 e 2 1 y e 1 1 2 1 13 解 解 交换积分次序 交换积分次序 原式原式 y x y xy y 03 1 0 d 1 d 1 03 2 d 1 2 1 y y y 1 0 3 1 3 1 y 3 12 14 解 解 交换积分次序 交换积分次序 原式原式 xxxy x x x x dsind sin d 1 0 1 1 1 0 2 1cos1sin 15 解 解 分离变量 分离变量 积分得 积分得 0dd yyxxCyx 22 将将代入 得代入 得 4 3 y25 C 所求特解为所求特解为 25 22 yx 16 解 解 方程改写为方程改写为 1 分 分 e1 x y x y x 3 分 分 de e e dd Cx x y x x x x x e de 1 x C Cx x x x 17 解 解 原方程为原方程为 2 x xyxy e22 dee2 e d2xd2x Cxxy x x x 2 d2 eCxx 2 x e 2 Cx 2 x 18 解 解 1 4 1 2 2 2 2 x x y x x y原原方方程程为为 D 1 2 x O y xy 1 xy 8 de 1 4 e d 1 2 2 2 d 1 2 22 Cx x x y x x x x x x 3 4 1 1 3 2 Cx x 19 解 解 原方程改写为原方程改写为 通解为 通解为 x y xx y 1 ln 1 d ln ln 1 de 1 e ln d ln d Cx x x x Cx x y xx x xx x ln 2 1 ln 1 2 Cx x 将将代入 得代入 得 故所求特解为 故所求特解为 1 e y 2 1 C ln 1 ln 2 1 x xy 四 应用题四 应用题 1 解 解 3 1 d 1 0 2 xxxS 10 3 d 1 0 222 xxxVx 2 解 解 6 1 d 0 1 2 xxxS 15 2 d 0 1 222 xxxVx 3 解 解 1 则切线的斜率 则切线的斜率 切线方程 切线方程 切线与切线与 x 轴交点轴交点0 3 aaaA原 原 2 3 1 akaxay 3 2 3 1 2 为为 S 解得 解得 0 2 3 a 4 3 4 3 d 23 43 0 3 ayaayy a 1 a 1 1 A 2 切线方程 切线方程 3 2 3 1 xy 5 2 d d 3 2 3 1 2 1 0 32 1 2 xxxxVx x y 0 3 xy A 4 解 目标函数为 解 目标函数为 约束条件 约束条件 y y x x yxL 10 25 5 50 25 yx F 25 10 25 5 50 yx y y x