第四章习题解题过程和参考答案

2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P1 25 页 4 1 设单位反馈系统的开环传递函数为 当系统作用有下列输入信号时 10 1 G s s sin 30 r tt 试求系统的稳态输出 解 系统的闭环传递函数为 10 11 1 1 11 C sG s s s R sG s 这是一个一阶系统 系统增益为 时间常数为 10 11 K 1 11 T 其幅频特性为 22 1 K A T 其相频特性为 arctan T 当输入为 即信号幅值为 信号频率为 初始相角为 代 sin 30 r tt 1A 1 0 30 入幅频特性和相频特性 有 222 1 10 1110 1 122 11 1 11 K A T 1 1 1 arctanarctan5 19 11 T 所以 系统的稳态输出为 10 1 sin30 1 sin 24 81 122 c tAAtt 4 2 已知系统的单位阶跃响应为 试求系统的幅频特性和相频特性 49 1 1 80 8 0 tt c teet 解 对输出表达式两边拉氏变换 11 80 8361 49 4 9 1 1 49 C s ss ssss ss s 由于 且有 单位阶跃 所以系统的闭环传递函数为 C ss R s 1 R s s 1 1 1 49 s ss 可知 这是由两个一阶环节构成的系统 时间常数分别为 12 11 49 TT 系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积 相频特性为二个一阶环节相频特性之和 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P2 25 页 12 222222 12 111 11 1 1 1681 AAA TT 1212 arctanarctanarctanarctan 49 TT 4 3 已知系统开环传递函数如下 试概略绘出奈氏图 1 1 1 0 01 G s s 2 1 1 0 1 G s ss 3 1008 1 1000 2 sss s sG 4 2 50 0 61 41 s G s ss 解 手工绘制奈氏图 只能做到概略绘制 很难做到精确 所谓 概略 即计算与判断奈氏曲线的起点 终 点 曲线与坐标轴的交点 相角变化范围等 这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状 对一些不太复杂的系统 已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了 除做到上述要求外 若再多取若干点 如 6 8 点 并将各点光滑连线 这就一定程度上弥补了要求 A 的 精度不足的弱点 但因为要进行函数计算 例如求出实虚频率特性表格 工作量要大些 在本题解答中 作如下处理 小题 1 简单的一阶惯性系统 教材中已经研究得比较详细了 解题中只是简单套用 小题 2 示范绘制奈氏图的完整过程 小题 3 小题 4 示范概略绘制奈氏图方法 4 3 1 1 1 0 01 G s s 这是一个一阶惯性 环节 系统 例 4 3 中已详细示范过 当 T 0 5 时 奈氏曲线是一个半圆 而表 4 2 给出了任意时间常数 T 下的实虚频率特性数据 可以套用至本题 系统参数 0 型 一阶 时间常数0 01T 起终点 奈氏曲线的起点 1 0 正实轴 奈氏曲线的终点 0 0 原点 奈氏曲线的相角变化范围 0 90 第 IV 象限 求频率特性 据式 4 29 已知 实频特性 22 1 1 P T 虚频特性 22 1 T Q T 可以得出如下实频特性和虚频特性数值 01012 52550801001252004008001000 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P3 25 页 P 1 000 990 980 940 800 610 500 390 200 060 020 010 00 Q 0 00 0 10 0 12 0 24 0 40 0 49 0 50 0 49 0 40 0 24 0 12 0 100 00 绘图 00 Q P 50 80 100 125 200 1 0 5 0 5 4 3 2 1 1 0 1 G s ss 示范绘制奈氏图的完整过程 这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统 系统参数 1 型系统 n 2 m 0 起终点 奈氏曲线的起点 查表 4 7 1 型系统起点为负虚轴无穷远处 奈氏曲线的终点 n m 2 0 查表 4 7 知终点为原点 入射角为 180 奈氏曲线的相角变化范围 90 180 第 III 象限 求频率特性 2 1 0 1 1 0 1 1 0 01 j G j jj 实频特性 2 0 1 1 0 01 P 虚频特性 2 1 1 0 01 Q 当时 实频曲线有渐近线为 0 1 0 可以得出如下实频特性和虚频特性数值 00 10 20 50 6125891020 P 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 08 0 06 0 06 0 05 0 020 00 Q 10 00 5 00 2 00 1 66 0 99 0 48 0 16 0 08 0 06 0 05 0 010 00 绘图 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P4 25 页 0 Q P 0 1 0 3 0 1 0 2 20 10 8 5 0 4 3 3 1008 1 1000 2 sss s sG 示范概略绘制奈氏图方法 系统参数 1 型系统 n 3 m 1 起终点 奈氏曲线的起点 查表 4 7 1 型系统起点为负虚轴无穷远处 奈氏曲线的终点 n m 2 0 查表 4 7 知终点为原点 入射角为 180 奈氏曲线的相角变化范围 90 180 绘图 Q P 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P5 25 页 4 3 4 2 50 0 61 41 s G s ss 示范概略绘制奈氏图方法 系统参数 2 型系统 n 3 m 1 起终点 奈氏曲线的起点 查表 4 7 2 型系统起点为负实轴无穷远处 奈氏曲线的终点 n m 2 0 查表 4 7 知终点为原点 入射角为 180 奈氏曲线的相角变化范围 180 180 绘图 P Q 4 4 试画出下列传递函数的波德图 1 18 12 2 ss sHsG 2 2 200 1 101 G s H s sss 3 22 50 1 101 G s H s ssss 4 2 10 0 2 0 1 s G s H s ss 5 22 8 0 1 1 425 s G s H s s ssss 解 绘制波德图要按照教材 P134 135 中的 10 步 既规范也不易出错 4 4 1 18 12 2 ss sHsG 1 开环传递函数已如式 4 41 标准化 2 计算开环增益 K 计算 得系统型别 确定低频段斜率 lg20dBK 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P6 25 页 开环增益 K 2 20lg20lg26 KdB 0 型系统 低频段斜率为 0 3 求各转折频率 并从小到大按顺序标为 同时还要在转折频率旁注明对应的斜率 321 惯性环节 斜率 20 1 1 0 125 8 惯性环节 斜率 20 2 1 0 5 2 4 绘制波德图坐标 横坐标从 0 1 到 10 二个十倍频程 见图 5 绘制低频段幅频渐近线 为水平线 6 在 斜率变为 20 在 斜率变为 40 标注斜率见图 1 0 125 2 0 5 7 幅频渐近线的修正 在处修正 3dB 在处修正 1dB 在处修正 1 0 125 0 06 0 25 0 5 3dB 在处修正 1dB 注意在处有两个 1dB 修正量 共修正 dB 0 5 1 0 5 8 绘制两个惯性环节的相频曲线 9 环节相频曲线叠加 形成系统相频曲线 10 检查幅频渐近线 转折频率 相频起终点的正确性 L dB 0dB 0 90 180 270 360 90 20dB 40dB 20dB 0 1110 0 5 40 dB dec 20 r s r s 20 dB dec 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P7 25 页 4 4 2 2 200 1 101 G s H s sss 1 开环传递函数已如式 4 41 标准化 2 计算开环增益 K 计算 得系统型别 确定低频段斜率 lg20dBK 开环增益 K 200 20lg20lg20046 KdB 2 型系统 低频段斜率为 40 3 求各转折频率 惯性环节 斜率 20 1 1 0 1 10 惯性环节 斜率 20 2 1 4 以下文字略 见绘图 L dB 0dB 0 90 180 270 360 90 20dB 40dB 0 1110 40 dB dec 60dB 低频延长线过此点 L 1 46dB 60 dB dec 80 dB dec r s r s 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P8 25 页 4 4 3 22 50 1 101 G s H s ssss 1 开环传递函数标准化 22 50 2 0 5 11 101 G s H s ssss 2 计算开环增益 K 计算 得系统型别 确定低频段斜率 lg20dBK 开环增益 K 50 20lg20lg5034 KdB 2 型系统 低频段斜率为 40 3 求各转折频率 惯性环节 斜率 20 1 1 0 1 10 二阶振荡环节 阻尼比 斜率 40 2 1 0 5 4 其它 二阶振荡环节在转折频率处要按实际阻尼比按图 4 17 修正 见绘图 L dB 0dB 0 90 180 270 360 90 20dB 40dB 0 1110 40 dB dec 60dB 低频延长线过此点 L 1 34dB 60 dB dec 100 dB dec 450 r s r s 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P9 25 页 4 4 4 2 10 0 2 0 1 s G s H s ss 1 开环传递函数标准化 2 2 20 1 10 0 2 0 2 0 1 1 0 1 s s G s H s s ss s 2 计算开环增益 K 计算 得系统型别 确定低频段斜率 lg20dBK 开环增益 K 20 20lg20lg2026 KdB 2 型系统 低频段斜率为 40 3 求各转折频率 惯性环节 斜率 20 1 0 1 一阶微分环节 斜率 20 2 0 2 4 其它见绘图 L dB 0dB 0 90 180 270 360 90 20dB 40dB 0 1 110 40 dB dec 60dB 低频延长线过此点 L 1 26dB 60 dB dec 40 dB dec 450 0 2 r s r s 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P10 25 页 4 4 5 22 8 0 1 1 425 s G s H s s ssss 1 开环传递函数标准化 2 222 0 032 5 1 0 1 2 0 5 11 2 0 4 55 s G s H s s ssss 2 计算开环增益 K 计算 得系统型别 确定低频段斜率 lg20dBK 开环增益 K 0 032 20lg20lg0 03230 KdB 1 型系统 低频段斜率为 20 3 求各转折频率 一阶微分环节 斜率 20 1 0 1 二阶振荡环节 阻尼比 斜率 40 2 1 0 5 二阶振荡环节 阻尼比 斜率 40 3 5 0 4 4 其它见绘图 L dB 0dB 0 90 180 270 360 90 20dB 0 1 110 20 dB dec 40dB 低频延长线过此点 L 1 30dB 40 dB dec 80 dB dec 450 5 r s r s 20dB 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P11 25 页 4 5 根据下列给定的最小相位系统对数幅频特性曲线图写出相应的传递函数 解 4 5 a 1 求结构 从图中看出 低频段斜率为 0 是 0 型系统 由渐近线的斜率变化 第 1 个转折频率处斜率变化 是一阶惯性环节 20 dB dec 第 2 个转折频率处斜率变化也是 也是一阶惯性环节 20 dB dec 因此传递函数结构为 12 1 1 K G s TsT s 2 求参数 从图中看出 低频段与零分贝线水平重合 因此 1K 对第 1 个一阶惯性环节 转折频率 则 1 1 1 1 1 1T 对第 2 个一阶惯性环节 转折频率 则 2 4 2 2 11 0 25 4 T 综合得 1 0 251 K G s ss 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P12 25 页 解 4 5 b 1 求结构 从图中看出 低频段斜率为 是 1 型系统 由渐近线的斜率变化 20 dB dec 第 1 个转折频率处斜率变化 是一阶惯性环节 20 dB dec 第 2 个转折频率处斜率变化也是 也是一阶惯性环节 20 dB dec 因此传递函数结构为 12 1 1 K G s s TsT s 2 求参数 从图中看出 低频段延长线与零分贝线交点频率 因为是 1 型系统 由式 4 67 0 100 100K 对第 1 个一阶惯性环节 转折频率 则 1 0 01 1 1 11 100 0 01 T 对第 2 个一阶惯性环节 转折频率 则 2 100 2 2 11 0 01 100 T 综合得 12 100 1 1 1001 0 011 K G s s TsT ssss 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P13 25 页 解 4 5 c 1 求结构 从图中看出 低频段斜率为 0 是 0 型系统 由渐近线的斜率变化 第 1 个转折频率处斜率变化 是一阶惯性环节 20 dB dec 第 2 个转折频率处斜率变化也是 也是一阶惯性环节 20 dB dec 第 3 个转折频率处斜率变化也是 也是一阶惯性环节 20 dB dec 因此传递函数结构为 123 1 1 1 K G s TsT sT s 2 求参数 从图中看出 低频段为水平线 幅值为 由式 4 64 48 k LdB 48 2020 1010251 k L K 对第 1 个一阶惯性环节 转折频率 则 1 1 1 1 1 1T 对第 2 个一阶惯性环节 转折频率 则 2 10 2 2 11 0 1 10 T 对第 3 个一阶惯性环节 转折频率 则 3 100 3 3 11 0 01 100 T 综合得 251 1 0 11 0 011 G s sss 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P14 25 页 解 4 5 d 1 求结构 从图中看出 低频段斜率为 是 1 型系统 由渐近线的斜率变化 20 dB dec 第 1 个转折频率处斜率变化 是二阶振荡环节 decdB 40 因此传递函数结构为 2 22 2 n nn K G s sss 2 求参数 从图中看出 低频段延长线与零分贝线交点频率 因为是 1 型系统 由式 4 67 0 100 100K 对二阶振荡环节 从图中看出 谐振峰值为 峰值频率 4 58dB45 3 r 可以由式 4 37 求出阻尼比 2 1 21 r M 当时 阻尼比为 20lg4 58 r MdB 0 31 也可简单地查表 4 5 得 0 3 由式 4 36 2 50 3 1 2 r n 综合得 22 2222 100 50 3 2 2 0 3 50 350 3 n nn K G s ssss ss 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P15 25 页 4 6 试由下述幅值和相角计算公式确定最小相位系统的开环传递函数 1 10arctan5 0arctan2arctan90 3 1 A 2 1 0arctanarctan5arctan180 10 5 A 3 10arctan 31 arctan 1 arctan2 0arctan180 22 1 10 A 4 10arctan 3 arctanarctan90 2 5 A 解 1 10arctan5 0arctan2arctan90 3 1 A 直接可以得到 12 1 0 51 1 1 21 101 KsKs G s s TsT ssss 且有幅频特性 2 22 0 251 41 1001 K A 即 22 2 1 41 1001 1 5 101 60 3 1 25 0 251 AA K 所以 60 3 0 51 21 101 s G s sss 2 1 0arctanarctan5arctan180 10 5 A 直接可以得到 2 12 1 51 1 1 1 0 11 KsKs G s s TsT ss ss 且有幅频特性 2 222 251 1 0 011 K A 即 222 2 5 1 0 011 5 2526 1 25 57 626 251 AA K 所以 2 12 1 57 51 1 1 1 0 11 Kss G s s TsT ss ss 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P16 25 页 3 10arctan 31 arctan 1 arctan2 0arctan180 22 1 10 A 直接可以得到 2 2 2 22 2 2 1 2 11 2 1 1 2 1 1 nn nn s Kss G s s ssTs 比较二阶振荡环节的相频特性式 4 32 2 2 2 arctan 1 n n 由 得 2 arctan 1 11 1 0 5 n 二阶微分环节的参数求法与上面二阶振荡环节基本相同 差别仅是式 4 32 是正值 所以 由 得 2 arctan 1 3 22 13 23 n 一阶微分环节 0 2 一阶惯性环节 10T 所以 2 22 0 21 31 1 101 Ksss G s ssss 且有幅频特性 2222 4 22222 10 0 041 1 3 10 6 72 10 1 1001 K AK 即 4 1 1488 6 72 10 K 所以 2 22 1488 0 21 31 1 101 sss G s ssss 4 10arctan 3 arctanarctan90 2 5 A 直接可以得到 12 1 1 3 1 1 1 101 s K Ks G s s TsT ss ss 且有幅频特性 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P17 25 页 2 22 1 9 1 1001 K A 即 22 2 5 1 1001 2 5 26 2501 1312 25 1 1 9 9 A K 所以 1312 1 3 1 101 s G s s ss 4 7 画出下列各给定传递函数的奈氏图 试问这些曲线是否穿越实轴 若穿越 则求与实轴交点的频率及相 应的幅值 G j 1 2 21 1 1 ss sG 21 1 1 sss sG 3 4 1 1 2 ss sG 005 0 1 02 0 1 2 ss s sG 解 4 7 1 21 1 1 ss sG 系统参数 0 型系统 n 2 m 0 起终点 奈氏曲线的起点 查表 4 7 0 型系统 起点为正实轴无穷远处 奈氏曲线的终点 n m 2 0 查表 4 7 知终点为原点 入射角为 180 奈氏曲线的相角变化范围 0 180 从相角变化范围来看 曲线均在正实 轴以下 并未发生穿越 绘图见右 0 Q P 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P18 25 页 4 7 2 21 1 1 sss sG 系统参数 1 型系统 n 3 m 0 起终点 奈氏曲线的起点 查表 4 7 1 型系统起 点为负虚轴无穷远处 奈氏曲线的终点 n m 3 0 查表 4 7 知 终点为原点 入射角为 270 奈氏曲线的相角变化范围 90 270 从相角变化范围来看 曲线将从第 III 象限穿越至第 II 象限 发生一次实轴穿越 绘图见右 求与实轴的交点 频率特性 1 1 12 G j jjj 幅频特性 22 1 1 14 A 相频特性 90arctanarctan2 发生负实轴穿越时 相频为 180 即令 可求得穿越时的频率 180 0 707 secrad 此时的幅值 0 707 2 0 667 3 A 4 7 3 1 1 2 ss sG 系统参数 2 型系统 n 3 m 0 起终点 奈氏曲线的起点 查表 4 7 2 型系统起 点为负实轴无穷远处 奈氏曲线的终点 n m 3 0 查表 4 7 知 终点为原点 入射角为 270 奈氏曲线的相角变化范围 180 270 从相角变化范围来看 曲线均在第 III 象限 未发生穿越 绘图见右 0 Q P 0 Q P 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P19 25 页 4 7 4 005 0 1 02 0 1 2 ss s sG 系统参数 2 型系统 n 3 m 1 起终点 奈氏曲线的起点 查表 4 7 2 型系统起 点为负实轴无穷远处 奈氏曲线的终点 n m 2 0 查表 4 7 知 终点为原点 入射角为 180 奈氏曲线的相角变化范围 180 180 传递函数中 一阶微分环节贡献一个零 点 一阶惯性环节贡献一个极点 零极点发生 一定的对消效应 但并不完全对消 惯性环节 的时间常数比一阶微分环节的时间常数小 即 极点位置比零点位置更靠近虚轴 因此将发生 更大的作用 也就是说 零极点的相频特性合 成后 仍为负值 综合两个微分环节后 相频 特性 180 曲线均在第 III 象限 未发生穿越 绘图见右 4 8 试用奈氏稳定判据判别图示开环奈氏曲线对应系统的稳定性 0 Q P a 奈氏曲线包围了 1 j0 点 所以闭 环系统不稳定 b 添加辅助线后可以看出 奈氏曲线未包围 1 j0 点 所以闭环系统稳定 d 添加辅助线后可以看出 奈氏曲线未包围 1 j0 点 所 以闭环系统稳定 c 添加辅助线后可以 看出 奈氏曲线包围 了 1 j0 点 所以闭环 系统不稳定 d 添加辅助线后可以看出 奈氏曲线未包围 1 j0 点 所以闭环系统稳定 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P20 25 页 4 9 已知系统的开环传递函数为 试分别绘出当开环放大倍数K 5和K 20时的波德 1 0 11 K G s s ss 图 并判定系统的稳定性 量取相位裕量和幅值裕量 并用计算公式验证 解 先按开环增益 K 5 绘图 20lg514 dB 1 型系统 低频段斜率为 20 求各转折频率 惯性环节 斜率 20 惯性环节 斜率 20 绘图如下 1 1 2 10 L 0 1 0dB 0 90 180 270 90 20dB 40dB 1 10 3 g 20 dB dec 60 dB dec 40 dB dec 100 2 c K 5 g K 4 c K 20 r s r s 1 当 K 5 时 从图中量取各指标 见粉红色 得 故系统稳定 2 3 cg 180 c 且有稳定裕量 20 8 g KdB 2 当 K 20 时 相比于 K 5 时 幅频曲线提升 而相频曲线保持不变 从20lg2026 dB 12dB 图中量取各指标 见蓝色 得 保持不变 故系统不稳定 且有稳定裕量 4 c 3 g 180 c 10 4 g KdB 因此 提高开环增益将有损于稳定性 计算验证 幅频特性计算公式 22 20lg20lg20lg 120lg 1 0 01LK 相频特性计算公式 90arctanarctan0 1 1 当时 闭环系统稳定 1 5K 11 2 1 13 60 c rad s 11 3 16 6 80 gg rad s KdB 2 当时 闭环系统不稳定 2 20K 22 4 2 9 40 c rad s 22 3 16 5 20 gg rad s KdB 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P21 25 页 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P22 25 页 4 10 已知系统的开环传递函数为 试绘制系统的开环波德图 并判定系统的稳定性 从波 2 80 2 20 s G s ss 德图中量取各指标 并用计算公式验证 cgg K 解 开环传递函数为 2 2 8 1 80 2 2 20 1 20 s s G s s ss s 开环增益 K 8 是 2 型系统 低频段斜率为 40 20lg20lg818 KdB 求各转折频率 一阶微分环节 斜率 20 惯性环节 斜率 20 1 2 2 20 绘图如下 L 0 1 0dB 0 90 180 90 20dB 40dB r s 1 10 20 dB dec 40 dB dec 1002 40 dB dec r s 20 c 系统分析 从图中量取各指标 得 且相频曲线总在 180 之上 所以 闭环系统无条件稳定 4 5 c g 量取稳定裕量 50 g K 计算验证 幅频特性计算公式 222 20lg20lg20lg0 25120lg0 00251LK 相频特性计算公式 180arctan0 5arctan0 05 计算验证 当时 求得 故 0 c L 4 31 c rad s 127 c 53 任何均无法使 故 180 gg K 2020 04 04 e71464f988a7996af669551b2e724859 pdf P23 25 页 4 11 某单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如题4 11图所示 若要求系统具有30 的相位稳定裕量 试计算开环增益可增大的倍数 题 4 11 图 解 可从图中求得闭环传递函数为 1 1 1 1 1 255 s ss s 由开环传递函数与闭环传递函数的关系求开环传递函数 6 250 5 1 1 2 825 4 425 1 1 2 8254 425 ss G s ss sss ss s 相频特性 90arctanarctan 2 8254 425 若要求系统 相当于要求 求得 30 150 c 当时 2 016 c 150 c 幅频特性 22 0 5 1 1 2 8254 825 A 当时 2 016 c 0 1837 c A 为使成为穿越频率 要求 因此系统开环增益应增大 2 016 c 1 c A 倍 1 5 44 0 1837 K 2020 04 04 e