正余弦定理专题

解斜三角形 正余弦定理灵活应用 1 正弦定理 2R 关键点 比 A a sinB b sinC c sin 利用正弦定理 可以解决以下两类有关三角形的问题 1 已知两角和任一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 从而进一步求出其他的边和角 2 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 在余弦定理中 令 C 90 这时 cosC 0 所以 c2 a2 b2 cosA cosB cosC bc acb 2 222 ca bac 2 222 ab cba 2 222 利用余弦定理 可以解决以下两类有关三角形的问题 1 已知三边 求三个角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 可能出现一解 两解或无解的情况 这时应结合 三角形中大边对大角定理及几何作图来理解 判断三角形的形状 1 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 的形状一定是 答案 C A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 2 下列条件中 ABC 是锐角三角形的是 答案 C A sinA cosA B 0 C tanA tanB tanC 0 5 1 ABBC D b 3 c 3 B 30 3 解析 由 sinA cosA 得 2sinAcosA 0 A 为钝角 5 1 25 24 由 0 得 0 cos 0 B 为钝角 ABBCBABCBABC 由 tanA tanB tanC 0 得 tan A B 1 tanAtanB tanC 0 tanAtanBtanC 0 A B C 都为锐角 由 得 sinC C 或 B b sinC c sin2 3 3 3 2 3 在 ABC 中 sinA 判断这个三角形的形状 CB CB coscos sinsin 解 a 所以 b a2 b2 c a2 c2 bc b c 所以 b c ab cba ca bac cb 22 222222 a2 b3 c3 bc b c 所以 a2 b2 bc c2 bc 所以 a2 b2 c2 所以 ABC 是直角三角形 解斜三角形 求角度和长度 4 已知 a b c b c a 3bc 则 A 解析 由已知得 b c 2 a2 3bc b2 c2 a2 bc A 答案 bc acb 2 222 2 1 3 3 5 在 ABC 中 A 30 是 sinA 的 2 1 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条 件 解析 在 ABC 中 A 30 0 sinA 1 sinA sinA 30 A 150 A 30 2 1 2 1 答案 B 6 在 ABC 中 角A B C 所对的边分别是a b c 若三角形的面积S a2 b2 c2 则 C 的度数 4 1 是 解析 由 S a2 b2 c2 得absinC 2abcosC tanC 1 C 答案 45 4 1 2 1 4 1 4 7 ABC 的三个内角 A B C 的对边分别是 a b c 如果 a2 b b c 求证 A 2B 证明 用正弦定理 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 代入 a2 b b c 中 得 sin2A sinB sinB sinC sin2A sin2B sinBsinC sinBsin A B cos2B cos2A 2 2cos1A 2 2cos1B 2 1 sinBsin A B sin A B sin A B sinBsin A B 因为 A B C 为三角形的三内角 所以 sin A B 0 所以 sin A B sinB 所以只能有 A B B 即 A 2B 该题若用余弦定理如何解决 解 利用余弦定理 由 a2 b b c 得 cosA bc acb 2 222 bc cbbcb 2 22 b bc 2 cos2B 2cos2B 1 2 2 1 1 ac bca 2 222 2 22 2ccbb ccb b bc 2 所以 cosA cos2B 因为 A B 是 ABC 的内角 所以 A 2B 评述 高考题中 涉及到三角形的题目 重点考查正弦 余弦定理 考查的侧重点还在于三角转换 这 是命题者的初衷 8 ABC 中 a b c 分别为 A B C 的对边 如果 a b c 成等差数列 B 30 ABC 的面积为 那么 b 等于 答 2 3 案 B A B 1 C D 2 2 31 3 2 32 3 解析 2b a c 平方得 a2 c2 4b2 2ac 又 ABC 的面积为 且 B 30 故由 S ABC acsinB acsin30 ac 2 3 2 1 2 1 4 1 得 ac 6 a2 c2 4b2 12 由余弦定理 得 cosB 解得 b2 4 2 又 2 3 ac bca 2 222 62 124 22 bb 4 4 2 b 2 3 3 b 为边长 b 1 3 9 已知锐角 ABC 中 sin A B sin A B 5 3 5 1 1 求证 tanA 2tanB 2 设 AB 3 求 AB 边上的高 1 证明 sin A B sin A B 5 3 5 1 2 tanA 2tanB 5 1 sincoscossin 5 3 sincoscossin BABA BABA B A BA BA tan tan 5 1 sincos 5 2 cossin 2 解 A B sin A B tan A B 2 5 3 4 3 即 将 tanA 2tanB 代入上式整理得 2tan2B 4tanB 1 0 解得 tanB 负值 BA BA tantan1 tantan 4 3 2 62 舍去 得 tanB tanA 2tanB 2 2 62 6 设 AB 边上的高为 CD 则 AB AD DB 由 AB 3 得 CD 2 所以 AB 边上的高 A CD tanB CD tan 62 3 CD 6 为 2 6 10 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 已知 a b c 成等比数列 且 a2 c2 ac bc 求 A 的大小及的值 c Bbsin 剖析 因给出的是 a b c 之间的等量关系 要求 A 需找 A 与三边的关系 故可用余弦定理 由 b2 ac 可变形为 a 再用正弦定理可求的值 c b2 c Bbsin 解法一 a b c 成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 cosA A 60 bc acb 2 222 bc bc 22 1 在 ABC 中 由正弦定理得 sinB b2 ac A 60 sin60 a Absin ac b c Bb 60sinsin 2 2 3 解法二 在 ABC 中 由面积公式得bcsinA acsinB 2 1 2 1 b2 ac A 60 bcsinA b2sinB sinA c Bbsin 2 3 评述 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常用正弦定理 11 在 ABC 中 若 C 60 则 ca b cb a 解析 ca b cb a cacb bcbaca 22 2 22 cbcacab bcacba C 60 a2 b2 c2 2abcosC ab a2 b2 ab c2 代入 式得 1 答案 1 2 22 cbcacab bcacba 取值范围题目 12 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 依次成等比数列 求 y 的取值 BB B cossin 2sin1 范围 解 b2 ac cosB 0 B ac bca 2 222 ac acca 2 22 2 1 c a a c 2 1 2 1 3 y sinB cosB sin B BB B cossin 2sin1 BB BB cossin cossin 2 2 4 B sin B 1 故 1 y 4 4 12 7 2 2 4 2 13 已知 ABC 中 2 sin2A sin2C a b sinB 外接圆半径为 22 1 求 C 2 求 ABC 面积的最大值 解 1 由 2 sin2A sin2C a b sinB 得 2 a b 22 2 2 4R a 2 2 4R c R b 2 又 R a2 c2 ab b2 a2 b2 c2 ab cosC 又 0 C 180 2 ab cba 2 222 2 1 C 60 2 S absinC ab 2sinAsinB 2sinAsin 120 A 2sinA sin120 2 1 2 1 2 3 333 cosA cos120 sinA 3sinAcosA sin2A sin2A sin2Acos2A sin 2A 30 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 当 2A 120 即 A 60 时 Smax 2 33 14 在锐角 ABC 中 边长 a 1 b 2 则边长 c 的取值范围是 解析 若 c 是最大边 则 cosC 0 0 c 又 c b a