初二数学培优卷――等腰2(边)三角形全等辅助线

1 E DC B A B B D DC C A A E D C A B 初二数学培优卷初二数学培优卷 等腰 边 三角形等腰 边 三角形 1 1 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则这个等已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则这个等 腰三角形的顶角为腰三角形的顶角为 2 2 已知等腰三角形两腰上的高或其所在直线相交所成的锐已知等腰三角形两腰上的高或其所在直线相交所成的锐 角是角是 50 50 求这个三角形的顶角的度数 求这个三角形的顶角的度数 3 3 在在 ABC ABC 中 中 ABAB ACAC ABAB 的中垂线与的中垂线与 ACAC 所在直线相交所在直线相交 所得的锐角是所得的锐角是 50 50 求 求 B B 的度数 的度数 3 3 变 变 在等腰在等腰 ABC ABC 中 一腰上的高线为中 一腰上的高线为 BDBD 且 且 DBC 40 DBC 40 度 则顶角的度数为多少度 度 则顶角的度数为多少度 4 4 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系 xOyxOy 中 已知中 已知 A 2A 2 2 2 在 在 y y 轴轴 确定点确定点 P P 使 使 AOP AOP 为等腰三角形 则符合条件的点为等腰三角形 则符合条件的点 有有 A A 2 2 个个 D D 3 3 个个 C C 4 4 个个 D D 5 5 个个 如图 正方形如图 正方形 ABCDABCD 在平面上有一点在平面上有一点 P P 可以使可以使 PAB PAB PBC PCD PBC PCD PDA PDA 都是都是 等腰三角形这样的点有等腰三角形这样的点有 个个 6 6 如图 如图 7 AB AC BD 7 AB AC BD 则则 1 1 和和 2 2 的关系是的关系是 A A 1 2 2 1 2 2 B B 2 1 2 1802 1 2 180o o C C 1 3 2 180 1 3 2 180o o D D 3 1 2 1803 1 2 180o o 7 7 如图 在如图 在 ABC 中 中 AB AC BAD 30 AD AE 求 求 CDE 的度数 若的度数 若 BAD 40 呢 呢 8 如图 在 如图 在 ABC 中 中 D 是是 BC 边上一点边上一点 AD BD AB AC CD 求 求 BAC 的度数 的度数 9 9 已知 如图 已知 如图 ABC ABC 为正三角形 为正三角形 D D 是是 BCBC 延长线上一延长线上一 点 连结点 连结 ADAD 以 以 ADAD 为边作等边三角形为边作等边三角形 ADEADE 连结 连结 CECE 用你学过的知识探索用你学过的知识探索 ACAC CDCD CECE 三条线段的长度有何关三条线段的长度有何关 系系 试写出探求过程 试写出探求过程 1010 如图 如图 1212 在 在 Rt ABCRt ABC 中 中 ABC 90 ABC 90o o D D E E 在在 ACAC 上 上 且且 AB ADAB AD CB CECB CE 求 求 EBD EBD 的度数 若的度数 若 ABC 100 ABC 100 呢呢 o o 11 如图 点 如图 点 E 是等边是等边 ABC 内一点 且内一点 且 EA EB ABC 外一点外一点 D 满足满足 BD AC 且 且 BE 平分平分 DBC 求 求 BDE 的度数 的度数 B聄C E A 2 C F PM D B A D M A BC P F E A B E P D M C 12 已知等边 已知等边 ABC 和点和点 P 设点 设点 P 到到 ABC 三边三边 AB AC BC 的距离分别为的距离分别为 h1 h2 h3 ABC 的高为的高为 h 若点若点 P 在一边在一边 BC 上 如图 上 如图 1 此时 此时 h3 0 可可 得结论 得结论 h1 h2 h3 h 请直接应用上述信息解决下请直接应用上述信息解决下 列问题 当点列问题 当点 P 在在 ABC 内 如图 内 如图 2 以及点 以及点 P 在在 ABC 外 如图 外 如图 3 这两种情况时 上述结论是否成 这两种情况时 上述结论是否成 立 若成立 请予以证明 若不成立 立 若成立 请予以证明 若不成立 h1 h2 h3与与 h 之之 间又有怎样的关系 请写出你的猜想 不需要证明 间又有怎样的关系 请写出你的猜想 不需要证明 13 已知 如图在 已知 如图在 ABC 中 中 AD 是是 BAC 的平分线 的平分线 DE AC 交交 AB 于点于点 E EF AD 垂足是垂足是 G 且交且交 BC 的延长线于点的延长线于点 F 求证 求证 CAF B 14 已知 如图 在 已知 如图 在 ABC 中 中 ACB 90 AC BC CD AB 垂足是 垂足是 D CE 平分平分 ACD BF CE 垂足是 垂足是 G 交 交 AC 于于 F 交 交 CD 于于 H 求证 求证 DH AF 2 1 15 如图 在六边形 如图 在六边形 ABCDEF 中 若中 若 A B C D E F 且且 AB BC 11 AF CD 3 则 则 BC DE 为多少 为多少 16 16 如图 已知如图 已知 ADAD 是是 ABCABC 的中线 的中线 BEBE 交交 ACAC 于点于点 E E 交 交 ADAD 于点于点 F F 且 且 AE EFAE EF 求证 求证 AC BFAC BF 17 17 已知 如图 在等边三角形已知 如图 在等边三角形 ABCABC 中中 D E D E 分别是分别是 AB ACAB AC 边上的点 且边上的点 且 BD AE EBBD AE EB 与与 CDCD 相交于点相交于点 O EFO EF 与与 CDCD 垂直于垂直于 点点 F F 求证 求证 OE 2OFOE 2OF 18 18 已知已知 ABC 中 中 BD CE DF EF 求证求证 AB AC A C D F B H G E A F G B H DE C A C B D F E A D F B C E A D F BC E O B D C E A F 3 答案答案 11 11 提示 连接 提示 连接 CE 13 13 CAF CAD B BAD 14 14 过过 E E 作作 EMEM 垂直垂直 AC AC 证明证明 DH MF AMDH MF AM 16 16 延长延长 AD DMAD DM 连接连接 MBMB 17 17 EOF OBC OCB OBC ABO 60 18 过过 E 作作 EM 平行于平行于 AB 交 交 BC 延长线于延长线于 M 4 A FDC B E CB A D C E B A D 4 3 2 1 C E BA D C E B A D 初二数学培优卷初二数学培优卷 辅助线专题辅助线专题 角平分线 全等 等腰 边 中辅助线的做法典题汇总 角平分线 全等 等腰 边 中辅助线的做法典题汇总 条件比较隐蔽时 可通过添加辅助线用判别方法条件比较隐蔽时 可通过添加辅助线用判别方法 在证明两个三角形全等时 当边或角的关系不明显时 可在证明两个三角形全等时 当边或角的关系不明显时 可 通过添加辅助线作为桥梁 沟通边或角的关系 使条件由通过添加辅助线作为桥梁 沟通边或角的关系 使条件由 隐变显 从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三隐变显 从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三 角形全等 角形全等 条件中没有现成的全等三角形时 会通过构造全等条件中没有现成的全等三角形时 会通过构造全等 三角形用判别方法三角形用判别方法有些几何问题中 往往不能直接证明一有些几何问题中 往往不能直接证明一 对三角形全等 一般需要作辅助线来构造对三角形全等 一般需要作辅助线来构造全等三角形全等三角形 例例 1 已知 如图已知 如图 3 AB AC 1 2 求证 求证 AO 平分平分 BAC 例例 2 已知 如图已知 如图 4 在 在 Rt ABC 中 中 ACB 90 AC BC D 为为 BC 的中点 的中点 CE AD 于于 E 交 交 AB 于于 F 连接 连接 DF 求证 求证 ADC BDF 例例 3 已知 如图已知 如图 16 AB AE BC ED 点 点 F 是是 CD 的中点 的中点 AF CD 求证 求证 B E 例例 4 4 如图如图 2222 AB CD E 为为 AD 上一点 且上一点 且 BE CE 分别平分分别平分 ABC BCD 求证 求证 AE ED 例例 5 如图如图 26 在 在 ABC 中 中 AB AC BD 平分平分 ABC DE BD 于于 D 交 交 BC 于点于点 E 求证 求证 CD BE 2 1 例例 6 在 在 ABC 中 中 AD 平分平分 BAC AB AC CD 求证 求证 C 2 B 例例 7 为为 ABC 的的 A 的平分线的平分线 AD 上一点 上一点 AB AC 求证 求证 AB AC EB EC 例例 8 所示 已知所示 已知 AD BC 1 2 3 4 直线 直线 DC 过点过点 E 作交作交 AD 于点于点 D 交 交 BC 于点于点 C 求证 求证 AD BC AB 例例 9 如图如图 34 ABC 中 中 ABC 90 AB BC AE 是是 A 的平分线 的平分线 CD AE 于于 D 求证 求证 CD AE 2 1 2 1 C O B A A B F D E C A D C B E A D B C E 5 例例 10 如图 如图 BDE 是等边三角形 是等边三角形 A 在在 BE 延长线上 延长线上 C 在在 BD 的延长线上 且的延长线上 且 AD AC 求证 求证 DE DC AE 例例 11 11 已知已知 ACAC BDBD AD ACAD AC 于于 A A BC BDBC BD 于于 B B 求证 求证 ADAD BCBC 例例 1212 知 如图知 如图 10 110 1 ACAC BDBD 相交于相交于 O O 点 且点 且 ABAB DCDC ACAC BDBD 求证 求证 A A D D 例例 13 如图如图 2 8 1 中 中 AB AC F 为为 BC 上一点 上一点 E 为为 AC 延长线上一点 且延长线上一点 且 BD CE DE 交交 BC 于于 F 求证 求证 DF EF 例例 14 14 如图如图 2 8 82 8 8 P P 是等边是等边 ABC ABC 外的一点 外的一点 APB APC 60 APB APC 60 求证 求证 PA PB PCPA PB PC 例例 15 15 如图如图 2 8 102 8 10 AC BCAC BC C 20 C 20 又又 M M 在在 ACAC 边上 边上 N N 在在 BCBC 边上且满足边上且满足 BAN 50 BAN 50 ABM 60 ABM 60 求 求 NMB NMB 的度数 的度数 答案 答案 1 连接连接 BC 2 过过 B 作作 BG 重直于重直于 CB 交交 CF 于于 G 4 过过 E 作作 EF 垂直垂直 BA EH 垂直垂直 DC EG 垂直垂直 BC 5 分析 要证分析 要证 CD BE 可将 可将 BE 分成两条线段 然后分成两条线段 然后 2 1 再证明再证明 CD 与这两条线段都相等 过与这两条线段都相等 过 D 作作 DF 平行于平行于 AB 交交 BC 于于 F 13 以 以 D 为圆心为圆心 DE 为半径做弧交为半径做弧交 EF 于点于点 G 14 在在 PA 上截取上截取 PD PB 连连 BD A B CD O D CB A O B D C E A F 6 15 15 30 30 简解 易证简解 易证 AB BNAB BN AM