《线性代数A》补充作业题参考答案.pdf

习题一 一 单选题 1 设行列式 则 A B C D A 分析 第二行提出 号 第三列提出 系数2 交换第二 三两 行 得结果 2 若三阶行列式 则行列式 A 4 B 4 C 8 D 8 A 分析 得结果 3 行列式 A B C D C 4 若 则的值为 A B C D A 分析 5 行列式 A B C D D 分析 6 若齐次线性方程组仅有零解 则必须满足 A B C 且 D 或 C 分析 齐次方程组仅有零解 则 即且 二 填空题 1 若阶行列式 则 分析 2 行列式 分析 3 行列式 分析 4 设行列式 则 分析 即 5 行列式 分析一 分析二 选择按照某行或列展开计算可得结果 6 设行列式 则 分析 构造行列式 则行列式与仅第四列不同 其余各列相同 而行列式中的第二列与第四列成比例 所以 即 7 如果有非零解 则 分析 方程组有非零解 则 即或 三 解答题 1 计算下列4阶行列式的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 设有非齐次线性方程组 问满足什么条件时 方程组有唯一解 并 求出唯一解 解 当时 线性方程组有唯一解 而 当时 方程组有唯一解 而 习题二 一 单选题 1 设有矩阵 则下列运算中没有意义的是 A B C D C 2 设 为5阶方阵 则 A 2 B 1 C D 2 A 分析 3 设为阶方阵 且的行列式 为其伴随矩阵 则 A B C D C 分析 由 有 所以 4 设 为5阶方阵 则 A B 16 C D 8 C 分析 5 设 为同阶方阵 则下列等式正确的是 A B C D D 6 下列命题一定成立的是 A 若 则 B 若 则或 C 若 则 D 若 则 D 7 设 均为阶矩阵 为阶单位矩阵 则下列结论错误的是 A B 如果 则或 C D B 8 设 为 阶方阵 则必有 A B C D C 9 设 为阶矩阵 且可逆 则下列结论错误的是 A 若 则 B 若 则 C 若 则 D 若 则 D 10 设阶方阵 满足 则必有 A B C D D 分析 因为 所以 11 是阶方阵可逆的 A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件 D 无 关条件 A 二 填空题 1 若矩阵 则第2行第1列的元素 分析 2 设 则 3 设 为 阶方阵 则 4 为 阶可逆方阵 则 5 设 为 阶方阵 且 则 分析 由 得 故 6 设是阶方阵 且有 则 分析 由 得 从而得 7 设 则 分析 由 有 故 8 设矩阵 则A 9 设矩阵 则A 分析 令 其中 而 于是 则 10 设矩阵 则 分析 由 有 即 三 解答题 1 已知 求 解 2 设3阶方阵 满足 且 求 解 由 有 即 而 于是 即 又 所以 3 设为 阶方阵 求 解 4 设矩阵 矩阵满足 求 解 由 有 即 又 即 于是 所以 即 亦即 而 故 5 已知 其中 求矩阵 解 由 有 而 求得 于是 6 设 均为三阶方阵 已知 求 解 由 有 即 7 已知矩阵的伴随阵 且 求矩阵 解 由 得 从而得 或 即 而 且 故 所以有 又 所以 8 设矩阵 且 求矩阵 解 由 有 又 其中 则 由 求得 求得 即 所以 习题三 一 填空题 1 设矩阵 则 2 设 则 分析 由 知 而 所以 故 0 3 设矩阵 且 3 则 分析一 由 可得 0解得 或 当时 不合题意 舍 故 4 设是矩阵 且 2 而 则 分析 由 知可逆 所以 5 设为矩阵 为阶可逆方阵 且 则 分析 理由同第4题 6 增广矩阵对应的线性方程组的解是 7 增广矩阵对应的线性方程组的通解是 8 增广矩阵对应的线性方程组的通解是 9 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 则有非零解的充分必要条件 是 10 线性方程组的增广矩阵可用初等行变换化为 若方程组 无解 则 分析 由 可得 11 设 为三阶非零矩阵 且 则 分析 由为非零矩阵 可知有非零解 因而 从而 即 二 单选题 1 下列四个矩阵中 行最简形是 A B C D D 2 设为矩阵 且线性方程组只有零解 则的秩数为 A 0 B 1 C D D 3 下列增广矩阵所对应的线性方程组中 有惟一解的是 A B C D C 4 线性方程组的增广矩阵可用初等行变换化为 且方程组有 无穷多解 则的取值必满足 A 0或 4 B 0 4 C 0 D 4 C 习题四 一 填空题 1 设向量组 线性相关 则数 2 设向量组 线性相关 则 3 向量组 线性相关 则行列式 4 设向量组线性无关 则常数满足条件时 向量组 也线性无关 分析 上式记为 当时 因而由向量组 线性无关 可得向量组 也线 性无关 二 单选题 1 设向量下列为的线性组合的是 A B C D A 2 设向量组 线性无关 向量组 线性相关 则 A 必可由 线性表示 B 必不可由 线性表示 C 必可由 线性表示 D 必不可由 线性表示 C 3 假设是阶方阵 其秩 那么在的个行向量中 A 必有个行向量线性无关 B 任意个行向量都线性无关 C 任意个行向量都构成极大线性无关组 D 任何一个行向量都可由其他个行向量线性表示 A 4 向量组 线性无关的充分必要条件是 A 均不为零向量 B 中任意两个向量的分量不成比例 C 中任意一个向量都不能用其余个向量线性表示 D 中有一部分向量线性无关 C 5 设 为维向量组 那么 下列结论正确的是 A 若 0 则 线性相关 B 若对任意一组不全为0的数 使 则 线性无关 C 若 线性相关 则对任意一组不全为0的数 都有 0 D 若0 0 0 0 则 线性无关 B 6 设为矩阵 齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是 A 的列向量组线性无关 B 的列向量组线性相关 C 的行向量组线性无关 D 的行向量组线性相关 A 7 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解 是对应的齐次线性方程 组的基础解系 为任意常数 则方程组的通解必是 A B C D B 8 已知解向量组是齐次线性方程组的基础解系 以下解向量组中 也是 的基础解系的是 A B C D C 9 设是4元非齐次线性方程组的三个解向量且 为任意常数 则方 程组的通解 A B C D C 10 设是含有6个未知量的非齐次线性方程组 是齐次线性方程组的线性 无关的解 是线性方程组的解 且 为任意常数 则的通解为 A B C D A 11 设矩阵 其中线性无关 向量 为任意常数 则线性方程组的通解为 A B C D C 三 解答题 1 求齐次线性方程组的基础解系 解 由 于是 所以方程组的基础解系中含有两个解向量 并且原方程组的同解方程组为 即 令自由变量 得方程组的一个基础解系 2 求非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 解 1 求原方程组的一个特解 由 于是 因此方程组有无穷多解 且原方程组的同解方程组为 即 令自由变量 得到原方程组的一个特解 2 求原方程组的导出组的一个基础解系 原方程组的导出组的同解方程组为 令自由变量 得出导出组的一个基础解系为 3 问取何值时 非齐次线性方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多解 在有无穷多解时求出 其通解 解 1 当 即时 故方程组有唯一解 2 当时 2 方程组无解 3 当时 方程组有无穷多解 且 令 得方程组的通解 4 问取何值时 非齐次线性方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多解 在有无穷多解时求出 其通解 解 1 当时 方程组无解 2 当时 方程组有解 若 得通解为 若 得通解为 5 已知向量组 1 求向量组的秩 并讨论它的线性相关性 2 求向量组的一个最大无关组 3 用最大无关组表示其余向量 解 1 由 故 即向量组线性无关 2 最大无关组为 3 用最大无关组表示 五 证明题 1 设向量组 及 且向量组线性无关 证明向量组线性无关 证法一 设有数 使得 即 或 由向量组线性无关 得 因系数行列式 所以此方程组仅有零解 故向量组线性无关 证法一 由题设 上式记为 因为 所以矩阵可逆 因而 又因为向量组线性无关 所以 3 故向量组也线性无关 2 设向量组与向量组的秩相等 且向量组可由向量组线性表示 试证 明 向量组与向量组等价 证明 由已知 向量组可由向量组线性表示 因而有 又 所以 故向量组与向量组等价 3 若 为 阶非零方阵 且 证明 证明 因为为 阶非零矩阵 所以矩阵方程有非零解 因而 4 设向量组线性无关 而向量组 线性相关 证明向量必能由 向量组线性表示 且表示式惟一 证法一 1证明向量能由向量组线性表示 因为向量组线性相关 故存在一组不全为零的数 使得 成立 其中 否则 上式成为 且不全为零 这与已知向量组线性无关矛盾 因此 故 即向量能由向量组线性表示 2证明表示式惟一 如果 且 则有成立 由向量组线性无关 有 即 所以表示式惟一 证法二 因为线性无关 而 线性相关 所以有 从而得 故向量能由向量组线性表示 且表示式惟一 5 设是一组维向量 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一维向 量都 能由它们线性表示 证明 1证明必要性 设为任一维向量 则个向量线性相关 而线性无关 所以向量可由向量线性表示 2证明充分性 若任一维向量都可由向量线性表示 则维单位