2019高三联考理科数学试题含答案.pdf

数学联考试题第 1页 共 6 页 绝密 启用前试卷类型 A 2018 2019 学年度上学期模块考试 高三数学联考试题 理科2019 02 数学是一门使人更有智慧 让人在逻辑的世界中遨游的学科 现在请用自己的智慧 仔细和认真细心答题 相信你一定能够成功 考生注意 1 本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 6 页 23 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 答题前 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位 置上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效 3 考试结束 将试题卷与答题卡一并交回 一 单项选择题 本大题包括 1 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题所给出的四个选项中 只有一 项是最符合题目要求的 1 已知集合 S UI GotG S I S UI GotG S I 则 的元素个数是 A 0B 1C 2D 3 2 在一次跳伞训练中 甲 乙两位学员各跳一次 设命题 P 是 甲降落在指定范围 命题 q 是 乙降落在指定范围 则命题 至少有一位学员没有降落在指定范围内 可表示为 A pq B pq C pq D p q 3 函数 2 2 x exy 在 2 2 的图象大致为 4 赵爽是三国时代的数学家 天文学家 他为 周髀算经 一书 作序时 介绍了 勾股圆方图 亦称 赵爽弦图 图中包含四个全等的直角三角形及一个小 正方形 阴影 如图 设 AB BC 1 3 若向弦图内随机抛掷 5000 颗米粒 大小忽略不计 则落在小正方形 阴影 内的米粒数大约为 A 134B 67C 200D 250 5 已知三棱锥 PABC 中 3 PAABCBAC 平面且2 1 ACAB PA 3BC 则该三棱锥的外接球的体积等于 数学联考试题第 2页 共 6 页 A 13 13 6 B 3 3 2 C 5 13 6 D 5 3 2 6 在平面直角坐标系中 已知双曲线的左焦点为 F 点 B 的 坐标为 0 b 若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P Q 两点 且 则 双曲线 C 的离心率为 A B C D 2 7 若函数有一个极值点为 且 则关于 的方程 的不同实数根个数不可能为 A 2B 3C 4D 5 8 若函数 32 3 1 2 f xaxx 存在唯一的零点 x0 且 x0 0 则实数 a 的取值范围是 A 2 2 B 2 0 C 0 2 D 2 2 9 如图 h h 是棱长为 的正方体 h 是棱长为 的正四面体 底面 h h 在同一个平面内 h h 则正方体中过 且与平面 h 平行的截面面积 是 A t B C D t 10 已知 OA OB OC 均为单位向量 满足 1 0 0 2 OA OBOA OCOB OC 设 OCxOAyOB 则xy 的最小值为 A 2 3 3 B 0C 3 3 D 1 数学联考试题第 3页 共 6 页 11 已知函数 2 11 20 nn f xxx xfxf xfxffxnN 5 12fx则在 上的最大值是 A 10 21 B 32 21 C 10 31 D 32 31 12 已知函数 UIo S I I I IUI o I 为自然对数的底 若方程 U Io UIo S 有且仅有四个不同的解 则实数 的取值范围是 A U oB U oC U oD U o 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知等比数列 的前 项和为 满足 S 是 的等差中项 设 是整数 若 存在 N 使得等式 U o S 成立 则 的最大值是 14 某同学手中有 4 张不同的 感动中国十大人物 照片 现要将其投放到 A B C 三个不同 号的箱子里 则每个箱子都不空的概率为 15 设集合 123 1 2 3 4 5 6 k MS SSS 都是 M 的含有两个元素的子集 且满足 对任意的 1 1 2 3 iijjj Sa bSa bij i jk 都有 min min jj ii iijj ab ab baba min x y表示两个数 x y中的较小者 则 k 的最大值是 16 对于函数 2 2 2 1 2 0 sin xxf xx xf 有下列 5 个结论 任取 1 x 0 2 x 都有2 21 xfxf 函数 xfy 在 5 4 上单调递增 2 2 Nkkxkfxf 对一切 0 x恒成立 函数 1ln xxfy有 3 个零点 若关于x的方程 0 mmxf有且只有两个不同的实根 1 x 2 x 则3 21 xx 则其中所有正确结论的序号是 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生 数学联考试题第 4页 共 6 页 都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 本小题满分 12 分 如图 点 分别是圆心在原点 半径为 和 的圆上的动点 动点 从初始位置 Ucos sin o开始 按逆时针方向以角速度 rad s 作圆周运动 同时点 从初始位置 U o开始 按顺时针方向以角速度 rad s 作圆周运动 记 时刻 点 的纵坐标分别为 G G 1 求 S 时刻 两点间的距离 2 求 G S G G 关于时间 U o的函数关系式 并求当 U 时 这个函数的值域 18 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 ln 1 2 f xxaxax 0 a 1 求函数 f x的单调区间 2 记函数 yF x 的图象为曲线C 设点 11 A x y 22 B xy是曲线C上的不同两 点 如果在曲线C上存在点 00 M xy 使得 12 0 2 xx x 曲线C在点M处 的切线平行于直线AB 则称函数 F x存在 中值相依切线 试问 函数 f x是否存 在 中值相依切线 请说明理由 19 本小题满分 12 分 数学联考试题第 5页 共 6 页 如图 平面 ABCD 平面 ABE 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 AE 1 F 为 CE 上的 点 且 BF 平面 ACE 1 求证 AE 平面 BCE 2 线段 AD 上是否存在一点 M 使平面 ABE 与平面 MCE 所成二面角的余弦值为 若存 在 试确定点 M 的位置 若不存在 请说明理由 20 本小题满分 12 分 已知抛物线上在第一象限内的点 H 1 t 到焦点 F 的距离为 2 1 若 过点 M H 的直线与该抛物线相交于另一点 N 求的值 2 设 A B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点 且 其中 O 为坐标原点 求证 直线 AB 必过定点 并求出该定点 Q 的坐标 过点 Q 作 AB 的垂线与该抛物线交于 G D 两点 求四边形 AGBD 面积的最小值 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 2 x h xe r xxf xh xr x 其中 e 为自然对数的底数 1 讨论函数 f x的单调性 2 当0 x 时 不等式 2 1axxh x 恒成立 求实数 a 的最大值 数学联考试题第 6页 共 6 页 3 已知点 1 0M 曲线 yf x 在点 000 11xf xx 处的切线l与直线1x 交 于点 N 求MON O 为坐标原点 的面积最小时 0 x的值 并求出面积的最小值 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在直角坐标系 ItG 中 以坐标原点为极点 I 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线h 的极 坐标方程为 S cos U o 为曲线h 上的动点 点 在射线 t 上 且满足tt t tt t S 1 求点 的轨迹h 的直角坐标方程 2 设h 与 I 轴交于点 过点 且倾斜角为 t 的直线 与h 相交于 两点 求t t t t 的值 23 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知函数 UIo S tI t tI t 1 当 S 时 求不等式 UIo I 的解集 2 若不等式 UIo 恒成立 求实数 的取值范围 数学联考试题第 7页 共 6 页 绝密 启用前试卷类型 A 2018 2019 学年度上学期模块考试 高三数学联考试题 理科2019 02 评卷总则 1 评分时 应做到给分有理 扣分有据 评卷误差应设置合理 实行双评制 2 选择题部分的评分误差应为零分 非选择题的评分误差应在 1 2 分之内 在评卷时 由每小题组组长量 化制分 合理划分 对于重要过程可适当增加占分比重 但是量化分数不得超过该题总分 3 本参考答案只给一种评分细则 对于解答题部分 如考生有其他解法 参照本评分标准进行评分 如 有新型解法 请交于本题题组组长 进行组内讨论 最终制定出较为详细的评分准则 4 实行累加得分制 如遇考生步骤错误 应注意给其累加得分到该错误得分点之前 如果考生不改变其 试题的难度 对于后续部分 可酌情给分 但应注意 此时后续得分不得超过 2 分 5 对于满分卷和零分卷 评卷组应进行复评加仲裁 确定分数的真实性 公平性 第 卷 选择题共 60 分 二 单项选择题 本大题包括 1 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题所给出的四个选项中 只有一 项是最符合题目要求的 题号123456789101112 答案DADCABAACCDD 评卷说明 对于本大题 评分时只有满分档和零分档两档 评分误差为零分 与答案不同不得分 第 卷 非选择题共 90 分 三 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请将答案直接填写在答题卡的相应位置上 13 1614 15 1116 评卷说明 对于本大题 评分时只有满分档和零分档两档 评分误差为零分 与答案不同不得分 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生 都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 评卷说明 17 23 题 答案只给出一种 若有其他答案 交与本题阅卷组讨论并且得出最终分数 17 23 题 评分误差为 1 2 分 请阅卷组仔细制定评分标准 细化到 1 分 满分不得超过该题总分 一 必考题 60 分 17 本小题满分 12 分 解 S 时 It S It S 所以 t S 2 分 又tt t S tt t S 1 分 所以t t S cos S t 2 分 即 两点间的距离为 t 1 分 依题意 G S sinU o G S sin 1 分 所以 G S sinU o sin S cos sin S cosU o 1 分 即函数关系为 G S cosU oU o 2 分 数学联考试题第 8页 共 6 页 当 U 时 U 所以 cosU o o G o 2 分 18 本小题满分 12 分 解 易知函数的定义域是 1 分 当时 即时 令 解得或 令 解得 1 分 所以 函数在和上单调递增 在上单调递减 当时 即时 显然 函数在上单调递增 1 分 当时 即时 令 解得或 令 解得 1 分 所以 函数在和上单调递增 在上单调递减 综上所述 当时 函数在和上单调递增 在上单调递减 当时 函数在上单调递增 当时 函数在和上单调递增 在上单调递 减 1 分 数学联考试题第 9页 共 6 页 假设函数存在 中值相依切线 设 是曲线上的不同两点 且 则 1 分 曲线在点处的切线斜率 1 分 依题意得 化简可得 即 1 分 设 上式化为 即 1 分 令 因为 显然 所以在上递增 显然有恒成立 所以在内不存在 使得成立 2 分 综上所述 假设不成立 所以 函数不存在 中值相依切线 1 分 19 本小题满分 12 分 解 1 BF 平面 ACE AE 平面 AC BF AE 1 分 四边形 ABCD 是正方形 BC AB 1 分 数学联考试题第 10页 共 6 页 平面 ABCD 平面 ABE 平面 ABCD 平面 ABE AB CB 平面 ABE 2 分 AE 平面 ABE CB AE 1 分 BF BC B AE 平面 BCE 1 分 2 线段 AD 上存在一点 M 当时 使平面 ABE 与平面 MCE 所成二面角的余弦值 为 1 分 证明 AE 平面 BCE BE 平面 BCE AE BE 1 分 在 Rt AEB 中 AB 2 AE 1 ABE 30 BAE 60 1 分 以 A 为原点 建立空间直角坐标系 A xyz 设 AM h 则 0 h 2 1 分 不写定义域扣 1 分 AE 1 BAE 60 M 0 0 h B 0 2 0 C 0 2 2 所以 设平面 MCE 的一个法向量 x y z 1 分 数学联考试题第 11页 共 6 页 则 令 解得 平面 ABE 的一个法向量 0 0 1 由题意可知 解得 所以当时 使平面 ABE 与平面 MCE 所成二面角的余弦值为 1 分 20 本小题满分 12 分 解 1 点 解得 1 分 故抛物线 E 的方程为 1 分 所以当时 直线的方程为 联立可得 1 分 1 分 2 证明 设直线 联立抛物线方程可得 1 分 1 分 由得 解得或 舍去 1 分 即 所以直线过定点 1 分 由 得 1 分 数学联考试题第 12页 共 6 页 同理得 1 分 则四边形面积 1 分 令 则是关于 的增函数 故当时 当且仅当时取到最小值 88 1 分 21 本小题满分 12 分 解 依题意 2 1 2 x f xex x fxex 令 x m xex 故 1 x m xe 令 0m x 解得0 x 故 m x在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 1 分 故 min 0 1m xm 故0 x ex 即 0fx 1 分 故函数 f x在 R 上单调递增 1 分 法一 令 2 1 x g xeaxx 则 21 x g xeax 1 分 令 21 x xeax 2 x xea 1 分 i 当 1 2 a 时 在 0 x 20 x xea 所以 21 x xeax 在 0 上为增函数 1 分 0 0 x 所以 0g x 所以 2 1 x g xeaxx 在 0 上为增函数 0 0g xg 适合题意 1 分 ii 当 1 2 a 时 x 和 x 变化如下表 x 0 0 ln2a ln2a ln2 a x 0 数学联考试题第 13页 共 6 页 x 0 极小值 g x0 极小值 所以函数 21 x g xeax 在 0 ln2a 上为减函数 0 0g xg 所以函数 2 1 x g xeaxx 在 0 ln2a 上为减函数 0 0g xg 不适合题意 综上 1 2 a 2 分 法二 不等式 2 1 axxh x 恒成立 得 2 1 x eaxx 1 分 当0 x 时 1 x ex 故0a 时符合要求 故只需研究0a 时的范围即可 当0a 时 222 1ln 1 ln 1 0 x eaxxxaxxxaxx 1 分 灵活变形 对数的导数一般比指数导数简单 令 2 ln 1 g xxaxx 0 0g 1 分 则 2 22 2 1 1 2 1 11 axaxa x g x axxaxx 0g x 由得 21 0 a xx a 或 1 分 i 当 21 0 0 a a a 即 1 2 a 时 g x和 g x变化如下表 x 0 21 0 a a 21a a 21 a a g x 0 g x0 极小值 故 21 0 0 a gg a 不符合 0g x 1 分 ii 当 21 0 0 a a a 即 1 0 2 a 时 当0 x 时 0g x 恒成立 g x 在 0 为单调递增函数 0 g xg 符合题意 综上可得 1 2 a a的最大值为 1 2 1 分 数学联考试题第 14页 共 6 页 依 题 意 切 线 l 的 斜 率 为 0 00 x fxex 由 此 得 切 线 l 的 方 程 为 00 2 000 1 2 xx yexexxx 令 x 1 得 000 2 00000 11 1 2 22 xxx yexexxxex 所以 00 00000 1111