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2 例 2017 年河南省中考第 22 题 如图 1 在 Rt ABC 中 A 90 AB AC 点 D E 分别在边 AB AC 上 AD AE 连结 DC 点 M P N 分别为 DE DC BC 的中点 1 观察猜想 图 1 中 线段 PM 与 PN 的数量关系是 位置关系是 2 探究证明 把 ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置 连结 MN BD CE 判断 PMN 的形状 并说明理由 3 拓展延伸 把 ADE 绕点 A 在平面内自由旋转 若 AD 4 AB 10 请直接写 出 PMN 面积的最大值 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 17 河南 22 拖动点 D 绕点 A 旋转 观察左图 可以体验到 ABD 与 ACE 保持全等 对应线段的夹角为 90 PM PN 分别为两个三角形的中位线 观 察右图 可以体验到 在 AMN 中 AM 和 AN 是定值 当点 M 落在 NA 的延长线上时 MN 取得最大值 此时等腰直角三角形 PMN 的面积最大 思路点拨 1 图形在旋转的过程中 对应线段相等 对应线段所在直线的夹角等于旋转角 2 已知三个中点 不由得要想到三角形的中位线 3 要探求 PMN 面积的最大值 首先这个三角形的形状是等腰直角三角形 只要探求 斜边最大或者直角边最大就可以了 图文解析 1 PM PN PM PN 2 PMN 是等腰直角三角形 说理如下 如图 3 ABD 绕着点 A 逆时针旋转 90 与 ACE 重合 那么对应边 BD CE 对应 边 BD 与 CE 所在直线的夹角等于旋转角 等于 90 即直线 BD CE 因为 PM PN 分别是 DCE 和 CBD 的中位线 所以 PN 1 2 BD PN BD PM 1 2 CE PM CE 所以 PM PN PM PN 所以 PMN 是等腰直角三角形 3 PMN 面积的最大值为 49 2 考点伸展 第 3 题的解题思路是这样的 如图 4 连结 AM AN 在 AMN 中 AM 2 2 AN 5 2 当点 M 落在 NA 的延 长线上时 MN 取得最大值 最大值为7 2 如图 5 所示 如图 5 等腰直角三角形 PMN 的面积的最大值为 49 2 当点 M 落在线段 NA 上时 MN 取得最小值 最小值为3 2 此时等腰直角三角形 PMN 3 的面积为 9 2 图 3 图 4 图 5 4 例 2017 年河南省中考第 23 题 如图 1 直线 2 3 yxc 与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 抛物线 2 4 3 yxbxc 经过点 A B 1 求点 B 的坐标和抛物线的解析式 2 M m 0 为 x 轴上一动点 过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交 于点 P N 点 M 在线段 OA 上运动 若以 B P N 为顶点的三角形与 APM 相似 求点 M 的 坐标 点 M 在 x 轴上自由运动 若三个点 M P N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点 三点重合除外 则称 M P N 三点为 共谐点 请直接写出使得 M P N 三点成为 共谐点 的 m 的值 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名 17 河南 23 拖动点 M 在 x 轴上运动 可以体验到 BPN 可以两次成为直角三角形 观察 P M N 三点的位置关系 可以体验到 每个点都可以成 为其它两点的中点 思路点拨 1 讨论 BPN 与 APM 相似 转化为讨论直角三角形 BPN 2 分三种情况讨论 P M N 的关系 把位置关系转化为纵坐标间的数量关系 图文解析 1 将点 A 3 0 代入 2 3 yxc 得 c 2 所以 2 2 3 yx B 0 2 设抛物线的交点式为 4 3 3 yxxn 代入点 B 0 2 得 4n 2 解得 1 2 n 所以 2 41410 3 2 3233 yxxxx 2 在 Rt APM 中 tan PAM BO AO 2 3 因为 BPN 与 APM 有一组对顶角 如果它们相似 那么 BPN 是直角三角形 i 如图 2 当 BNP 90 时 BN x 轴 点 N 与点 B 关于抛物线的对称轴对称 抛物线的对称轴为直线 x 5 4 所以点 N 的横坐标为 5 2 所以 M 5 2 0 ii 如图 3 当 NBP 90 时 作 BH MN 于 H 那么 HB HN 2 3 由 HB 2 3 HN 得 2 410 2 2 33 mmm 解得 7 4 m 所以 M 7 4 0 5 图 2 图 3 m 的值为 1 2 1 4 或 1 考点伸展 最后一小题分三种情况讨论 如果 P 为 NM 的中点 那么2 NP yy 解方程 2 4102 22 2 333 mmm 整理 得 2m2 7m 3 0 解得 1 2 m 如图 4 所示 或 m 3 舍去 如果 N 为 PM 的中点 那么2 PN yy 解方程 2 2410 22 2 333 mmm 整理 得 4m2 11m 3 0 解得 1 4 m 如图 5 所示 或 m 3 舍去 如果 M 为 PN 的中点 那么 PN yy 解方程 2 2410 2 2 333 mmm 整理 得 m2 2m 3 0 解得 m 1 如图 6 所示 或 m 3 舍去 图 4 图 5 图 6 6 例 2016 年河南省中考第 22 题 发现 1 如图 1 点 A 为线段 BC 外一动点 且 BC a AB b 填空 当点 A 位于 时 线段 AC 的长取得最大值 且最大值为 用含 a b 的式子表示 应用 2 点 A 为线段 BC 外一动点 且 BC 3 AB 1 如图 2 所示 分别以 AB AC 为边 作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE 连结 CD BE 请找出图中与 BE 相等的线段 并说明理由 直接写出线段 BE 长的最大值 拓展 3 如图 3 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 5 0 点 P 为线段 AB 外一动点 且 PA 2 PM PB BPM 90 请直接写出线段 AM 的最 大值及此时点 P 的坐标 图 1 图 2 图 3 动感体验 请打开几何画板文件名 16 河南 22 拖动第 1 个图中的点 A 在圆上运动 可以体验 到 当点 A 落在 CB 的延长线上时 AC 最大 拖动第 2 个图中的点 A 在圆上运动 可以体 验到 当点 D 落在 CB 的延长线上时 DC 最大 BE 也最大 拖动第 3 个图中的点 P 在圆 上运动 可以体验到 当点 N 落在 BA 的延长线上时 NB 最大 AM 也最大 思路点拨 1 根据三角形的两边之和大于第三边 如果两边长是确定的 那么第三边总是小于这 两边之和的 当三点共线时 第三条线段的长取得最大值或最小值 最大值为这两边之和 最小值为这两边之差 2 第 2 题 BCD 中 两边 BC 和 BD 是确定的 线段 DC 的最大值就是 BC 与 BD 的和 3 第 3 题模仿第 2 题 先构造全等三角形 图文解析 1 如图 4 当点 A 位于 CB 的延长线上时 线段 AC 取得最大值 最大值为 a b 2 如图 5 因为 CAE DAB 60 所以 BAE DAC 又因为由 AB AD AE AC 得 BAE DAC 所以 BE DC 如图 6 线段 BE 长的最大值为 4 因为此时点 D 落在 CB 的延长线上 DC 的最大值 为 4 7 图 4 图 5 图 6 3 线段 AM 的最大值为2 23 此时点 P 的坐标为 22 2 考点伸展 第 3 题的思路是这样的 如图 7 将点 P 绕着点 A 逆时针旋转 90 得到点 N 连结 BN 由 PA PN APM NPB PM PB 得 APM NPB 所以 AM NB 如图 8 当点 N 落在 BA 的延长线上时 NB 取得最大值 此时 AM 也最大 在等腰直角三角形 APN 中 AP 2 所以 AN 2 2 AN 边上的高为2 所以 AM 的最大值为2 23 点 P 的坐标为 22 2 图 7 图 8 8 例 2016 年河南省中考第 23 题 如图 1 直线 4 3 yxn 交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 C 0 4 抛物线 2 2 3 yxbxc 经 过点 A 交 y 轴于点 B 0 2 点 P 为抛物线上一个动点 过点 P 作 x 轴的垂线 PD 过点 B 作 BD PD 于点 D 连结 PB 设点 P 的横坐标为 m 1 求抛物线的解析式 2 当 BDP 为等腰直角三角形时 求线段 PD 的长 3 如图 2 将 BDP 绕点 B 逆时针旋转 得到 BD P 且旋转角 PBP OAC 当点 P 的对应点 P 落在坐标轴上时 请直接写出点 P 的坐标 图 1 图 2 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名 16 河南 23 拖动点 P 在抛物线上运动 可以体验到 有两 个时刻 BDP 可以成为等腰直角三角形 有三个时刻点 P 可以落在坐标轴上 思路点拨 1 等腰直角三角形 BDP 按照 P D 的位置关系存在两种情况 2 第 3 题以 DBD 为旋转角 寻找或构造与 DBD 相等的角 灵活运用 3 4 5 进行计算 图文解析 1 将点 C 0 4 代入 4 3 yxn 得 n 4 所以 A 3 0 将 A 3 0 B 0 2 两点分别代入 2 2 3 yxbxc 得 630 2 bc c 解得 4 3 b c 2 所以抛物线的解析式为 2 24 2 33 yxx 2 点 P 的坐标可以表示为 2 24 2 33 mmm 等腰 Rt BDP 存在两种情况 如图 3 点 P 在点 D 上方时 2 24 2 2 33 mmm 解得 PD 7 2 m 如图 4 点 P 在点 D 下方时 2 24 2 2 33 mmm 解得 PD 1 2 m 9 图 3 图 4 3 点 P 的坐标为 25 11 832 44 5 5 3 或 44 5 5 3 考点伸展 第 3 题的思路是这样的 Rt AOC 的三边比是 3 4 5 如图 5 点 P 落在 y 轴上 在 Rt BDP 中 设 BD 4n PD 3n 那么 P 4n 3n 2 将点 P 4n 3n 2 代入 2 24 2 33 yxx 得 2 3216 322 33 nnn 解得 25 32 n 或 n 0 B P 重合 舍去 所以点 P 的坐标为 25 11 832 如图 6 当点 P 落在 x 轴上时 过点 D 构造 Rt P ED 和 Rt D FB 在 Rt BD F 中 设 BD 5n BF 4n D F 3n 在 Rt P ED 中 P E 2 4n 所以 P D 5 3 P E 10 20 33 n 所以点 P 到 x 轴的距离为 1020420 2 3333 nn 所以 P 420 5 33 mn 将点 P 420 5 33 mn 代入 2 24 2 33 yxx 得 2 4205020 2 3333 nnn 解得 5 5 n 所以 P 44 5 5 3 如图 6 或 44 5 5 3 如图 7 图 5 图 6 图 7 10 例 2015 年河南省中考第 22 题 如图 1 在 Rt ABC 中 B 90 BC 2AB 8 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 联结 DE 将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转 记旋转角为 1 问题发现 当 0 时 AE BD 当 180 时 AE BD 2 拓展探究 试判断当 0 360 时 AE BD 的大小有无变化 请仅图 2 的情形 给出证明 3 问题解决 当 EDC 旋转至 A D E 三点共线时 直接写出线段 BD 的长 图 1 图 2 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名 15 河南 22 拖动点 D 绕点 C 旋转 可以体验到 EDC 与 ABC 保持相似 EAC 与 DCB 保持相似 观察 A D E 三点的位置关系 可以体验到 点 E 可以落在 AD 的延长线上 也可以落在 AD 上 思路点拨 1 EDC 与 ABC 的对应边 也是 EAC 与 DCB 的对应边 2 按照点 E 与 AD 的位置关系 分两种情况讨论 A D E 三点共线 图文解析 1 如图 3 当 0 时 如图 4 当 180 时 都有 DE AB 所以 AE BD AC BC 5 2 图 3 图 4 2 当 0 360 时 AE BD 5 2 没有变化 证明如下 如图 5 由 EDC ABC 得 ECAC ACBC 又因为 ECD ACB 所以 ECA DCB 所以 ECA DCB 如图 6 所以 AE BD AC BC 5 2 11 图 5 图 6 3 当 A D E 三点共线时 BD 4 5或12 5 5 考点伸展 第 3 题的思路是这样的 如图 7 当点 E 在 AD 的延长线上时 四边形 ABCD 是矩形 此时 BD AC 4 5 如图 8 当点 E 在 AD 上时 在 Rt ACD 中 AC 4 5 DC 4 所以 AD 8 因此 AE AD ED 8 2 6 由 AE BD 5 2 得 BD 212 5 55 AE 图 7 图 8 12 例 2015 年河南省中考第 23 题 如图 1 边长为 8 的正方形 ABCD 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点的抛物线经过点 A 点 P 是抛物线上 A C 两点间的一个动点 含端点 过点 P 作 PF BC 于点 F 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 联结 PD PE DE 1 直接写出抛物线的解析式 2 小明探究点 P 的位置发现 当点 P 与点 A 或点 C 重合时 PD 与 PF 的差为定值 进 而猜想 对于任意一点 P PD 与 PF 的差为定值 请你判断该猜想是否正确 并说明理由 3 小明进一步探究得出结论 若将 使 PDE 的面积为整数 的点 P 记作 好点 则存在多个 好点 且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个 好点 请直接写出所有 好点 的个数 并求出 PDE 周长最小时 好点 的坐标 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名 15 河南 23 拖动点 P 在 A C 两点间的抛物线上运动 观察 S 随 P 变化的图像 可以体验到 使 PDE 的面积为整数 的点 P 共有 11 个 思路点拨 1 第 2 题通过计算进行说理 设点 P 的坐标 用两点间的距离公式表示 PD PF 的长 2 第 3 题用第 2 题的结论 把 PDE 的周长最小值转化为求 PE PF 的最小值 图文解析 1 抛物线的解析式为 2 1 8 8 yx 2 小明的判断正确 对于任意一点 P PD PF 2 说理如下 设点 P 的坐标为 2 1 8 8 xx 那么 PF yF yP 2 1 8 x 而 FD2 22222222 111 86 2 2 888 xxxxx 所以 FD 2 1 2 8 x 因此 PD PF 2 为定值 3 好点 共有 11 个 在 PDE 中 DE 为定值 因此周长的最小值取决于 FD PE 的最小值 而 PD PE PF 2 PE PF PE 2 因此当 P E F 三点共线时 PDE 的周 长最小 如图 2 此时 EF x 轴 点 P 的横坐标为 4 所以 PDE 周长最小时 好点 P 的坐标为 4 6 13 图 2 图 3 考点伸展 第 3 题的 11 个 好点 是这样求的 如图 3 联结 OP 那么 S PDE S POD S POE S DOE 因为 S POD 1 3 2 P ODxx S POE 2 11 16 24 P OE yx S DOE 12 所以 S PDE 2 1 316 12 4 xx 2 1 34 4 xx 2 1 6 13 4 x 因此 S 是 x 的二次函数 抛物线的开口向下 对称轴为直线 x 6 如图 4 当 8 x 0 时 4 S 13 所以面积的值为整数的个数为 10 当 S 12 时 方程 2 1 6 1312 4 x 的两个解 8 4 都在 8 x 0 范围内 所以 使 PDE 的面积为整数 的 好点 P 共有 11 个 图 4 14 例 2014 年河南省中考第 23 题 如图 1 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 5 0 两点 直线 3 3 4 yx 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于 点 D 点 P 是 x 轴上方的抛物线上的一个动点 过点 P 作 PF x 轴于点 F 交直线 CD 于点 E 设点 P 的横坐标为 m 1 求抛物线的解析式 2 若 PE 5EF 求 m 的值 3 若点 E 是点 E 关于直线 PC 的对称点 是否存在 点 P 使点 E 落在 y 轴上 若存在 请直接写出相应的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 14 河南 23 拖动点 P 运动 可以体验到 PE 与 EF 的比值 有两个时刻等于 5 当点 E 落在 y 轴上时 四边形 PE CE 是菱形 思路点拨 1 用含有 m 的式子表示 PE EF 的长 注意 EF 存在两种情况 2 第 3 题我们这样来思考 假如点 E 落在了点 C 上方的某个位置 那么 EC E 其 实是确定的 作角平分线就得到了点 P 的位置 点 P 确定了 就可以确定点 E E 的准确位 置 此时比较容易观察到菱形 PE CE 根据 EC EP 解方程的时候 转化为 m 的四次方程 把这个四次方程用开平方法转化为两个二次方程 解得到 m 的四个根 这四个根的几何意义是当点 E 在 C 上方时 角平分线所在直线与抛物线有两个交点 当点 E 在 C 下方时 角平分线所在直线与抛物线也有两个交点 注意舍去 x 轴下方的解 图文解析 1 因为抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 5 0 两点 所以 y x 1 x 5 x2 4x 5 2 点 P 的横坐标为 m 那么 P m m2 4m 5 E m 3 3 4 m F m 0 所以 22 319 45 3 2 44 PEmmmmm 若 PE 5EF 存在两种情况 如图 2 当 E 在 F 上方时 3 3 4 EFm 解方程 2 193 25 3 44 mmm 得 m 2 或 13 2 m 点 P 在 x 轴下方 舍去 如图 3 当 E 在 F 下方时 3 3 4 EFm 解方程 2 193 25 3 44 mmm 得 169 2 m 或 169 2 m 点 P 在 x 轴下方 舍去 15 图 2 图 3 3 点 P 的坐标为 1 11 2 4 或 4 5 或 311 2 113 考点伸展 第 3 题的思路是这样的 如图 4 当点 E 落在 y 轴上时 四边形 PE CE 是菱形 这是因为 根据对称性 CE CE PCE PCE 又因为 PE CE 所以 PCE CPE 所以 PCE CPE 所以 CE PE 所以四边形 PE CE 是平行四边形 所以四边形 PE CE 是菱形 由 E m 3 3 4 m C 0 3 得 2222 325 416 ECmmm 而 2 19 2 4 PEmm 由 EP EC 可得两个方程 解方程 2 195 2 44 mmm 得 1 2 m 或 m 4 如图 4 所示 解方程 2 195 2 44 mmm 得311m 或311m 点 P 在 x 轴下方 舍去 如图 5 所示 图 4 图 5 16 例 2013 年河南省中考第 22 题 如图 1 将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置 其中 C 90 B E 30 1 操作发现 如图 2 固定 ABC 使 DEC 绕点 C 旋转 当点 D 恰好落在 AB 边 上时 填空 线段 DE 与 AC 的位置关系是 设 BDC 的面积为 S1 AEC 的面积为 S2 则 S1与 S2的数量关系是 图 1 图 2 2 猜想论证 当 DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时 小明猜想 1 中 S1与 S2 的数量关系仍然成立 并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中 BC CE 边上的高 请你证明 小明的猜想 3 拓展探究 已知 ABC 60 点 D 是其角平分线上一点 BD CD 4 DE AB 交 BC 于点 E 如图 4 若在射线 BA 上存在点 F 使 S DCF S BDE 请直接写出 相应的 BF 的长 图 3 图 4 动感体验 请打开几何画板文件名 13 河南 22 拖动左图中的点 E 绕点 C 旋转 可以体验到 CAN 与 DCM 保持全等 AN DM 观察右图 CDF 与 BDE 的底边 CD 与 BD 相等 因此当高 GF 与 EH 相等时 CDF 与 BDE 的面积相等 符合条件的点 F 有两个 答案 1 DE 2AC S1 S2 2 如图 5 由 角角边 可以证明 CAN DCM 所以 AN DM 因此 BDC 与 AEC 是等底等高的两个三角形 面积相等 3 如图 6 作 BDE 的边 BD 上的高 EH 延长 CD 交 AB 于 G 以 G 为圆心 EH 的长为半径画圆与 AB 的两个交点 就是要求的点 F BF 8 3 3 或 4 3 3 17 图 5 图 6 18 例 2012 年河南省中考第 15 题 如图 1 在 Rt ABC 中 ACB 90 B 30 BC 3 点 D 是 BC 边上的一个 动点 不与 B C 重合 过点 D 作 DE BC 交 AB 边于点 E 将 B 沿直线 DE 翻折 点 B 落在射线 BC 上的点 F 处 当 AEF 是直角三角形时 BD 的长为 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 12 河南 15 拖动点 D 在 BC 边上运动 观察 AEF 的形状 可以体验到 AEF 60 保持不变 另外两个角各有一次机会成为直角 如图 2 图 3 答案 如图 2 BD 1 如图 3 BD 2 图 2 图 3 19 例 2012 年河南省中考第 23 题 如图 1 在平面直角坐标系中 直线 1 1 2 yx 与抛物线 y ax2 bx 3 交于 A B 两点 点 A 在 x 轴上 点 B 的纵坐标为 3 点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点 不与点 A B 重合 过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C 作 PD AB 于点 D 1 求 a b 及 sin ACP 的值 2 设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长 并求出线段 PD 长的最大值 联接 PB 线段 PC 把 PDB 分成两个三角形 是否存在适合的 m 的值 使这两个三 角形的面积比为 9 10 若存在 直接写出 m 的值 若不存在 请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 12 河南 23 拖动点 P 在直线 AB 下方的抛物线上运动 可以 体验到 PD 随点 P 运动的图像是开口向下的抛物线的一部分 当 C 是 AB 的中点时 PD 达到最大值 观察面积比的度量值 可以体验到 左右两个三角形的面积比可以是 9 10 也可以是 10 9 思路点拨 1 第 1 题由于 CP y 轴 把 ACP 转化为它的同位角 2 第 2 题中 PD PCsin ACP 第 1 题已经做好了铺垫 3 PCD 与 PCB 是同底边 PC 的两个三角形 面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 4 两个三角形的面积比为 9 10 要分两种情况讨论 图文解析 1 设直线 1 1 2 yx 与 y 轴交于点 E 那么 A 2 0 B 4 3 E 0 1 在 Rt AEO 中 OA 2 OE 1 所以5AE 所以 2 5 sin 5 AEO 因为 PC EO 所以 ACP AEO 因此 2 5 sin 5 ACP 将 A 2 0 B 4 3 分别代入 y ax2 bx 3 得 4230 16433 ab ab 解得 1 2 a 1 2 b 2 由 2 11 3 22 P mmm 1 1 2 C mm 得 22 1111 1 3 4 2222 PCmmmmm 所以 22 2 52 5159 5 sin 4 1 55255 PDPCACPPCmmm 20 所以 PD 的最大值为 9 5 5 3 当 S PCD S PCB 9 10 时 5 2 m 当 S PCD S PCB 10 9 时 32 9 m 图 2 考点伸展 第 3 题的思路是 PCD 与 PCB 是同底边 PC 的两个三角形 面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 而 2 52 511 coscos 4 2 4 5525 DNPDPDNPDACPmmmm BM 4 m 当 S PCD S PCB 9 10 时 19 2 4 4 510 mmm 解得 5 2 m 当 S PCD S PCB 10 9 时 110 2 4 4 59 mmm 解得 32 9 m 21 例 2010 年河南省中考第 22 题 1 操作发现 如图 1 矩形 ABCD 中 E 是 AD 的中点 将 ABE 沿 BE 折叠后得到 GBE 且点 G 在矩形 ABCD 的内部 小明将 BG 延长交 DC 于点 F 认为 GF DF 你同 意吗 说明理由 2 问题解决 保持 1 中的条件不变 若 DC 2DF 求 AD AB 的值 3 类比探究 保持 1 中的条件不变 若 DC nDF 求 AD AB 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 10 河南 22 拖动点 D 改变矩形的边长 CD 可以体验到 BEF 保持直角不变 BAE 与 EDF 保持相似 如图 2 答案 1 如图 2 Rt DEF Rt GEF 所以 DF GF 2 2 AD AB 3 2AD ABn 图 2 22 例 2010 年河南省中考第 23 题 在平面直角坐标系中 已知抛物线经过 A 4 0 B 0 4 C 2 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 M 为第三象限内抛物线上一动点 点 M 的横坐标为 m AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式 并求出 S 的最大值 3 若点 P 是抛物线上的动点 点 Q 是直线 y x 上的动点 判断有几个位置能够 使得点 P Q B O 为顶点的四边形为平行四边形 直接写出相应的点 Q 的坐标 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 10 河南 23 拖动点 M 在第三象限内抛物线上运动 观察 S 随 m 变化的图像 可以体验到 当 D 是 AB 的中点时 S 取得最大值 拖动点 Q 在直线 y x 上运动 可以体验到 以点 P Q B O 为顶点的四边形有 4 种情况可以成为平行四 边形 双击按钮可以准确显示 思路点拨 1 求抛物线的解析式 设交点式比较简便 2 把 MAB 分割为共底 MD 的两个三角形 高的和为定值 OA 3 当 PQ 与 OB 平行且相等时 以点 P Q B O 为顶点的四边形是平行四边形 按 照 P Q 的上下位置关系 分两种情况列方程 图文解析 1 因为抛物线与 x 轴交于 A 4 0 C 2 0 两点 故可设 y a x 4 x 2 代入点 B 0 4 求得 1 2 a 所以抛物线的解析式为 2 11 4 2 4 22 yxxxx 2 如图 2 直线 AB 的解析式为 y x 4 过点M作x轴的垂线交AB于D 那么 22 11 4 4 2 22 MDmmmmm 所以 2 1 4 2 MDAMDB SSSMD OAmm 2 2 4m 因此当2m 时 S 取得最大值 最大值为 4 3 设点 Q 的坐标为 xx 点 P 的坐标为 2 1 4 2 xxx 如果 PQ OB 那么 PQ OB 4 23 当点 P 在点 Q 上方时 2 1 4 4 2 xxx 解得22 5x 此时点 Q 的坐标为 22 5 22 5 如图 3 或 22 5 22 5 如图 4 当点 Q 在点 P 上方时 2 1 4 4 2 xxx 解得4x 或0 x 与点 O 重合 舍去 此时点 Q 的坐标为 4 4 如图 5 如果 PO BQ 那么 PO BQ 4 此时点 Q 的坐标为 4 4 如图 5 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在本题情境下 以点 P Q B O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗 如图 6 Q 2 2 如图 7 Q 2 2 如图 8 Q 4 4 图 6 图 7 图 8 24 例 2009 年河南省中考第 21 题 把两个含有 45 角的直角三角板如图 1 放置 点 D 在 BC 上 连结 BE AD AD 的延 长线交 BE 于点 F 1 求证 AF BE 2 把两个含有 45 角的直角三角板如图 2 放置 点 D 在 BC 上 连结 BE AD AD 的延长线交 BE 于点 F 问 AF 与 BE 是否垂直 并说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 09 河南 21 拖动点 B 改变两个直角三角形 三角板 的内 角 可以体验到 只要两个直角三角形相似 AF 与 BE 就保持垂直关系 这是为什么呢 拖动点 E 绕点 C 逆时针旋转 90 就会体验到 BEC 与 ADC 相似 BEC 与 EAF 的度数和等于 90 答案 1 根据 边角边 证明 ECB DCA 得到 EBC DAC 因此 BFA BEC FAE BEC EBC 90 所以 AF BE 2 AF 与 BE 垂直 25 例 2009 年河南省中考第 23 题 如图 1 直线 3 3 yxb 经过点 3 2 B 且与 x 轴交于点 A 将抛物线 2 1 3 yx 沿 x 轴作左右平移 记平移后的抛物线为 C 其顶点为 P 1 求 BAO 的度数 2 抛物线 C 与 y 轴交于点 E 与直线 AB 交于两点 其中一个交点为 F 当线段 EF x 轴时 求平移后的抛物线 C 对应的函数关系式 3 在抛物线 2 1 3 yx 平移的过程中 将 PAB 沿直线 AB 翻折得到 DAB 点 D 能 否落在抛物线 C 上 如能 求出此时抛物线 C 的顶点 P 的坐标 如不能 说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 09 河南 23 拖动点 P 在 x 轴上运动 可以体验到 EF 有两 个与 x 轴平行的时刻 APD 保持等边三角形的形状 当 D 落在抛物线上时 恰好 D 也落 在 y 轴上 思路点拨 1 解第 2 题的策略是 设抛物线 C 的顶点 P 的坐标为 m 0 用 m 表示点 E 的 坐标 当 EF x 轴时 根据对称性 用 m 表示点 F 的坐标 将点 F 的坐标代入直线的解析 式 解关于 m 的方程就可以了 2 解第 2 题的策略是 设等边三角形 APD 的边长为 a 用 a 表示点 D P 的坐标 将点 D 的坐标代入抛物线 C 的解析式 解关于 a 的方程就可以了 图文解析 因为直线 3 3 yxb 经过点 3 2 B 所以 3 2 3 3 b 解得3b 所以直线的解析式为 3 3 3 yx 所以直线与 x 轴的交点为 A 3 3 0 与 y 轴的交点为 0 3 因此 33 tan 33 3 BAO 所以 BAO 30 2 设抛物线 C 的顶点 P 的坐标为 m 0 那么抛物线 C 的解析式为 222 1121 3333 yxmxmxm 26 所以抛物线 C 与 y 轴的交点为 E 2 1 0 3 m 当 EF x 轴时 点 F 与点 E 关于抛物线的对称轴对称 所以点 F 的坐标可表示为 2 1 2 3 mm 将 2 1 2 3 Fmm代入直线 3 3 3 yx 得 2 12 3 3 33 mm 整理 得 2 2 390mm 解得3 3m 如图 2 或3m 如图 3 因此抛物线 C 的解析式为 2 1 3 3 3 yx 或 2 1 3 3 yx 图 2 图 3 图 4 3 设等边三角形 APD 的边长为 2a 那么点 D 的坐标可以表示为 3 3 3 aa 点 P 的坐标为 23 3 0 a 将 3 3 3 D aa 代入 C 2 1 23 3 3 yxa 得 2 1 3 3 aa 解得3 3a 因此当抛物线 C 的顶点 P 的坐标为 3 3 0 时 D 能落在抛物线 C 如图 4 事