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大学物理 C 集体复习课 2012 4 8 静电学静电学 一 知识点 一 知识点 描述静电场性质的两个物理量 电场强度 电势描述静电场性质的两个物理量 电场强度 电势 关于关于静静电场的两个基本定理 高斯定理 环路定理电场的两个基本定理 高斯定理 环路定理 1 电场强度电场强度 1 定义式定义式 0 q F E 单位正电荷所受到的电场力单位正电荷所受到的电场力 2 真空中点电荷的库仑定律真空中点电荷的库仑定律 0 r 2 0 1 4 qq Fe r 点电荷点电荷q 产生的电场强度产生的电场强度 r 2 0 4 e r q E i i i i i i e r q EE r 2 0 4 1 3 电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理 r 2 0 4 d e r q E 矢量叠加矢量叠加 4 电场线及电通量 在电场中穿过任意曲面 电场线及电通量 在电场中穿过任意曲面 S 的电场线条数的电场线条数 SS SE dd ee 对闭合曲面对闭合曲面 S SE d e 取面元外法线方向取面元外法线方向 穿出为正 穿入为负 穿出为正 穿入为负 5 静电场的高斯定理静电场的高斯定理 e 0 1 d ESq 内 S 有源场有源场 用高斯定理求电场强度一般要求电荷 电场 分布具有对称性用高斯定理求电场强度一般要求电荷 电场 分布具有对称性 0 E 源自正电荷 汇于负电荷 总场强的通量 源自正电荷 汇于负电荷 总场强的通量 e 0 E是是曲面上曲面上的总场强 由的总场强 由所有电荷所有电荷产生产生 2 电势电势 静电场的环路定理静电场的环路定理0d L lE 1 静电场是保守场静电场是保守场 2 电势能电势能 q0 在电场在电场E中某点中某点 a 的电势能 的电势能 0 0 d a a lEqW 3 电势定义电势定义 0 0 d a a a lE q W V 4 电势差电势差 b a baab lEVVU d 已知场强分布 已知场强分布 对无限大 无限长带电体 电势能零点不能选在无限远对无限大 无限长带电体 电势能零点不能选在无限远 0E 无旋场无旋场 对路径积分对路径积分 5 点电荷电场中某点的电势点电荷电场中某点的电势 r q Va 0 4 6 电势叠加原理电势叠加原理 n i i i a r q V 1 0 4 代数和代数和 Q a r q V 0 4 d 7 计算电势的两种方法计算电势的两种方法 已知电荷分布 已知电荷分布 对带电体积分对带电体积分 2 电场强度与电势的微分关系 在直角坐标系中 电场强度与电势的微分关系 在直角坐标系中 xyz VVV EEE xyz EV 1 等势面与电场线处处正交 沿电场线方向电势降低等势面与电场线处处正交 沿电场线方向电势降低 3 E V的关系的关系 处在均匀电场中的电偶极子 处在均匀电场中的电偶极子 EpM 力矩电势能力矩电势能 p Ep E 0时稳定平衡时稳定平衡 4 电偶极子 电偶极子 Electric Dipole 等量异号电荷等量异号电荷 q q 相距为 相距为l q q l pql 电偶极矩 方向 从电偶极矩 方向 从 q 指向指向 q 理想模型理想模型 所求场点到电偶极子中心的距离 所求场点到电偶极子中心的距离r l 二 典型问题 二 典型问题 电场强度的计算电场强度的计算 电通量的计算电通量的计算 电势的计算电势的计算 电场力及做功电场力及做功 库仑定律库仑定律 场强叠加原理 高斯定理 场强叠加原理 高斯定理 对称性 电势梯度的负值 对称性 电势梯度的负值 电势定义 电势叠加原理 电势定义 电势叠加原理 电场强度的计算 电场强度的计算 一些常见均匀带电体的电场强度 一些常见均匀带电体的电场强度 无限长均匀无限长均匀带电直线 圆柱面带电直线 圆柱面 体体 外外 0 2 E r 点电荷 点电荷 均匀均匀带电球面 体 带电球面 体 外外 2 0 4 r Q E 无限长均匀带电圆柱无限长均匀带电圆柱体内体内 2 00 22 E R rr 均匀带电球均匀带电球面内面内 无限长均匀带电圆柱 无限长均匀带电圆柱面内面内0E 均匀带电球均匀带电球体内体内 3 00 4 3 Q E R rr 无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面 0 2 E 平行板电容器板间平行板电容器板间 0 E 半无限长半无限长均匀带电直导线均匀带电直导线 00 44 Eij xx 匀强电场匀强电场 圆环圆环 圆盘圆盘 中心 无限大平面中心 无限大平面上上0 E 一段均匀带电圆弧的圆心处一段均匀带电圆弧的圆心处 O R 0 sin 2 E R O R 0 O E 半圆弧半圆弧 两根半无限长直线 圆心两根半无限长直线 圆心O处处 叠加原理 叠加原理 直导线 点电荷 直导线 点电荷 大平板大平板 柱体柱体 柱面柱面 圆环圆环圆盘圆盘 球面球面球体球体 补偿法补偿法 厚板厚板 例例4 设半径为设半径为R的球体 电荷体密度为的球体 电荷体密度为 kr k为常 量 为常 量 求 求 电场强度分布 电场强度分布 分析 分析 随半径变化 非均匀带电球体 但随半径变化 非均匀带电球体 但 r 相同处 相同处 相同 电荷相同 电荷 电场电场 仍为球对称分布 可用高斯定理 仍为球对称分布 可用高斯定理 解 解 做半径为做半径为r的同心球面为的同心球面为高斯面高斯面 由于对称性 高 斯面上场强大小处处相同 方向沿径向 其电通量 由于对称性 高 斯面上场强大小处处相同 方向沿径向 其电通量 2 d4ESr E S 0 1 V dV 2 4krdVr dr 球体外球体外 r R 24 0 4 R V dVkrr drkR 4 2 0 4 r kR Ee r 球体内球体内 rR 24 3 222 00 000 4 44 RR rrr krr drkkR EdEer dr ee rrr 球体内球体内 r R2 R1 平行板电容器 若 平行板电容器 若R2 孤立导体球 若 孤立导体球 若R1 R2 R1 平行板电容器平行板电容器 孤立导体球孤立导体球 3 电容器的串联电容器的串联 11 i CC 等效电容小于任何一个电容器的电容 串联可以提高耐压能力 每个电容器极板所带的电量相等 等效电容小于任何一个电容器的电容 串联可以提高耐压能力 每个电容器极板所带的电量相等 2 电容器的并联电容器的并联 i CC 并联使总电容增大 可以提高容量 每个电容器两端的电势差相等 并联使总电容增大 可以提高容量 每个电容器两端的电势差相等 电场能量电场能量 电容器的储能电容器的储能 2 2 11 222 e Q WCUQU C 2 1 2 e wE 电场能量密度 任意电场能量的计算 电场能量密度 任意电场能量的计算 2 1 dd 2 V ee V WWEV 1 2 e Q WVdq 对电场存在的空间积分 对带电体的积分 对电场存在的空间积分 对带电体的积分 V 体积体积 V 电势电势 U 电势差电势差 典型问题典型问题 导体的静电感应导体的静电感应 电容的计算电容的计算 电场能量电场能量 电容器的储能公式 场强对空间的积分 电势对带电体的积分 电容器的储能公式 场强对空间的积分 电势对带电体的积分 例 例 如图 接地导体球附近有一点电荷如图 接地导体球附近有一点电荷q 相距 相距l 求 求 导体上感应电荷的电量 接地 导体上感应电荷的电量 接地 U 0 解 解 设感应电量为设感应电量为q q R o l 感应电荷分布在球面上 但不均匀 任取球面上一块电荷元 感应电荷分布在球面上 但不均匀 任取球面上一块电荷元dq 其在球心处的电势为 球心的电势为 其在球心处的电势为 球心的电势为0 等势体 等势体 R qq l 球外没有其他带电体时球外没有其他带电体时 0 0 4 q U R 0 4 dq dU R 球面在球心的电势球面在球心的电势 1 00 44 dq q U RR 0 0 4 q l 0 接地意味着导体电势为零 不意味着电荷为零接地意味着导体电势为零 不意味着电荷为零 球心总电势球心总电势 0 q 0 4 q U R 例例 两个相距 两个相距很远很远的导体球 半径分别为的导体球 半径分别为a b a 每 球各带有电荷 每 球各带有电荷q 现用一根细长导线将两球联接 静电 平衡后忽略导线中所带电荷 现用一根细长导线将两球联接 静电 平衡后忽略导线中所带电荷 求求 1 电荷迁移方向及最 终两球上的电荷量 电荷迁移方向及最 终两球上的电荷量 2 该导体组的电容 该导体组的电容 a b 解解 1 设联接后两球的电量最终 分别变为 设联接后两球的电量最终 分别变为q1 q2 则由电荷守恒 则由电荷守恒 12 2qqq 现两球相距很远 可看作两孤立导体球 忽略其电场的 相互作用 认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上 两球电势分别为 现两球相距很远 可看作两孤立导体球 忽略其电场的 相互作用 认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上 两球电势分别为 12 00 44 a qq U al 1 0 4 q la a 21 00 44 b qq U bl 2 0 4 q lb b 其中其中l为两球心距离为两球心距离 12 00 44 qq ab 联接 两球等势 联接 两球等势 Ua Ub 即 即 12 q bq a a b 12 22 00 44 q aq b ab 12 ab 12 12 22 44 qq ab 面密度面密度 1212 abqq 电荷由小球电荷由小球b 大球 大球a 12 22 qaqb qq abab 或由联接前的电势高低来判断电荷的流向或由联接前的电势高低来判断电荷的流向 0 4 b q U b 由电荷守恒 联接前大球电势 显然 由电荷守恒 联接前大球电势 显然 ba UU 0 4 a q U a 小球电势 由高电势的小球 小球电势 由高电势的小球b流向低电势的大球流向低电势的大球a 得得 12 2qqq 0 4 a Ca 0 4 b Cb 2 两球的总电量为两球的总电量为2q 电势均为 电势均为 1 00 42 ab qq UU aab 0 2 4 a q Cab U a b 0 4 ab CCCab 10 4 aaa qC UaU 也可将此导体组看作是两个孤立导体球的也可将此导体组看作是两个孤立导体球的并联并联 或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联 或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联 对对 1 也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布 20 4 bbb qC UbU 12ab UUqbq a 1 2 q q 12 2qqq 已知内径已知内径 R1 外径外径 R2 的导体球壳的导体球壳 A 带电量为带电量为 Q 半径为 半径为 R0 的 导体球 的 导体球 B 带电量为带电量为 q 1 先将先将A 接地后再断开 求电荷和电势的分布 解 接地后再断开 求电荷和电势的分布 解 A与地断开后与地断开后 电荷守恒电荷守恒qQA 001 1 4 B qq V RR 2 再将再将 B 接地 求电荷和电势的分布 接地 求电荷和电势的分布 1 A 未接地时 由高斯定律 内表面电荷 为 未接地时 由高斯定律 内表面电荷 为 q 由电荷守恒 外表面电荷为 由电荷守恒 外表面电荷为 Q q 例 求 例 求 02 1 0 4 A qqQ V rrR 0 Q 接地接地 A 接地时 由高斯定律 内表面电荷仍为接地时 由高斯定律 内表面电荷仍为 q 设此时外表面电荷设为 设此时外表面电荷设为Q 均匀分布在均匀分布在A内表面 内表面 A外表面带电为零外表面带电为零 A R0 R1 R2 B 01 011202 qR R q R RR RR R 000202 4444 A QQqqq V rrRR A内A外 B接地后 设接地后 设B上的电量为上的电量为 q QQq A内A外 Qqq A外 根据孤立导体电荷守恒根据孤立导体电荷守恒 2 0E A内 Q q A内 在在A内内 0012 1 0 4 B qqqq V RRR B 球圆心处的电势 接地 球圆心处的电势 接地 A R0 R1 R2 B 电场能量 电场能量 孤立导体球的电容孤立导体球的电容RC 0 4 R Q C Q We 0 22 82 2 0 0 4 Q ErRErR r 例 例 孤立导体球 带电量孤立导体球 带电量Q 半径 半径R 求 求 电场能量 电场能量 R Q r 电场分布电场分布 222 2 242 000 1 dd 3288 ee VRR QQQ Ww Vr drr rrR 0 4 Q V R 2 00 11 22 48 e QQ QQ WVdqdq RR 导体等势 电场能量密度 导体等势 电场能量密度 2 2 0 24 0 1 232 e Q wE r 例 例 一平行板空气电容器 极板面积为一平行板空气电容器 极板面积为S 极板间距为 极板间距为d 1 充 电至两极板分别带电为 充 电至两极板分别带电为 q和和 q后 断开电源 再把两板慢慢后 断开电源 再把两板慢慢拉开 拉开 至间距为至间距为2d 2 若保持与电源连接以维持电压为若保持与电源连接以维持电压为U 再把两极 板慢慢拉至 再把两极 板慢慢拉至2d 求 求 两种过程中外力克服电场力所做的功 两种过程中外力克服电场力所做的功 解 解 1 断开电源后 移动过程中极板上的断开电源后 移动过程中极板上的电荷量将保持不变电荷量将保持不变 从而板间的场强也将保持不变从而板间的场强也将保持不变 0000 22 q E S 一个极板受到另一个极板的电场的吸引力一个极板受到另一个极板的电场的吸引力 2 00 22 q Fq S 板间的电场能量密度也不变板间的电场能量密度也不变 2 2 0 2 0 1 22 e q wE S 间距从间距从d到到2d 电场力做负功 电场力做负功 2 0 2 q d AFd S 而外力的功 而电场能量的增量 而外力的功 而电场能量的增量 2 0 2 2 ee q d Wwdd S S A 2 保持电源连接 移动过程中极板间的保持电源连接 移动过程中极板间的电压将保持不变电压将保持不变 而间距从而间距从d到到2d 电容减半 电容减半 0 0 1 22 S CC d 0 则电场能量的改变量为则电场能量的改变量为 222 00 111 224 e WCUC UC U 拉开极板的过程中外力做负功 在此过程中除外力做正功外 由于极板上电荷量的变化 还有 电源在做负功 拉开极板的过程中外力做负功 在此过程中除外力做正功外 由于极板上电荷量的变化 还有 电源在做负功 对电源做功对电源做功 从而导致了电场能量的减少 过程中极板上电量的改变量为 从而导致了电场能量的减少 过程中极板上电量的改变量为 0 00 2qCC UC U 把电容器极板上的电荷搬回到电源上 电源做负功 把电容器极板上的电荷搬回到电源上 电源做负功 2 0 1 0 2 C U 1 AqU 外力做功为外力做功为 21e AWA 2 222 0 2000 111 0 4244 SU AC UC UC U d 例 例 一平行板电容器 极板面积为一平行板电容器 极板面积为S 极板间距为 极板间距为d 求 求 电容器能量的变化 电容器能量的变化 充电后断开电源 保持其充电后断开电源 保持其电量电量q不变不变 将一块厚为 将一块厚为b d 的的金属板金属板平行插入 平行插入 S db 0 0 S C d 22 0 00 22 qq d W CS 解 解 插入金属板前 插入金属板后 可看作两个电容器 插入金属板前 插入金属板后 可看作两个电容器串联串联而成 电容器储能 而成 电容器储能 插入金属板 相当于把两板插入金属板 相当于把两板移近移近了了b 12000 111dbdbdb CCCSSS 下上 222 000 222 qdbq dq b W SSS 0S C db 22 0 22 qqdb W CS 0 电场能量减少 说明电场力做正功 外力做负功 金属板被吸入 电容器的边缘电场吸引金属板上产生的异号感应电荷所致 电场能量减少 说明电场力做正功 外力做负功 金属板被吸入 电容器的边缘电场吸引金属板上产生的异号感应电荷所致 2 22 0 01 111 0 2222 SbU WCUC UA d db 若充电后保持其若充电后保持其电压电压U不变不变 又如何 极板上电量将改变 又如何 极板上电量将改变 000 0 SSSbU U dbdd db 电源做正功 电源做正功 2 2 0 10 0 SbU AqUCC U d db S db 0 qCC U 电容器能量的改变量 外力做负功 电容器能量的改变量 外力做负功 2 0 211 1 0 22 SbU AWAA d db 过程中 电源提供能量 一部分储存于电场 一部分对外做功过程中 电源提供能量 一部分储存于电场 一部分对外做功 S db 讨论 讨论 若金属板带电若金属板带电 Q 此电荷如何分布 此电荷如何分布 SQ 下上 00 dd U 下下上上 00 USQdUSQd S ddS dd 下上 下上 下下上上 例 一质量例 一质量M1木块与质量木块与质量M2的小车连接 绳长的小车连接 绳长L 小车可在光滑 水平导轨上自由移动 一子弹质量 小车可在光滑 水平导轨上自由移动 一子弹质量m 射入木块中 木块上摆 的最大角度为 射入木块中 木块上摆 的最大角度为 如图 求子弹的初速度 如图 求子弹的初速度v 过程过程1 系统系统 m 和和 M1 碰撞前后 碰撞前后动量守恒动量守恒 11 mvMm v M1 v M1 M2M2 L 解 解 解 过程 解 过程2 系统系统 M1 m 和和 M2 上 摆到最大高度 具有共同速度 上 摆到最大高度 具有共同速度v2 机械能守恒机械能守恒 22 111221 11 1 cos 22 Mm vMMm vMm gL 整个碰撞和上摆过程中整个碰撞和上摆过程中 系统系统 M1 m M2 水平方向水平方向动量守恒动量守恒 112 1 2 1 cos MmMMm vgL mM 122 mvMMm v B 例 圆锥摆的角动量 已知质点质量例 圆锥摆的角动量 已知质点质量M r l 求 质点相对于 求 质点相对于A点和点和B点的角动量