高数各章练习题下册.pdf

高等数学第八章习题高等数学第八章习题 一 选择填空 1 已知 X 偏导数存在的函数类 Y 偏导数存在且连续的函数类 Z 可微函数类 则 A ZYX B ZXY C YZX D XYZ 2 已知函数 00 0 22 22 22 yx yx yx xy xf 在 0 0 点下列叙述正确的是 A 连续但偏导不存在 B 连续偏导也存在 C 不连续偏导也不存在 D 不连续但偏导存在 3 曲线 32 tztytx 的所有切线中与平面42 zyx平行的切线有 条 A 1 B 2 C 3 D 4 4 曲面 sin sinsinyxyxz 上点 4 3 3 6 处的法线与 xoy 面夹角的正弦值为 A 13 262 B 26 263 C 13 13 D 26 1 5 函数 yxf在 yxP点沿向量 e的方向导数为 y f A 0 1 B 1 0 C 1 0 D 0 1 6 在 0 0 yxyxfz 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又 00 yx是驻点 令 000000 CyxfByxfAyxf yyxyxx 则 yxf在 00 y x处取得极 值的条件为 A 04 2 ACB B 04 2 ACB C 04 2 ACB D CBA 任何关系 7 梯度与方向导数的关系为 梯度的方向是方向导数取得 的方向 梯度的模是方向 导数的最大值 A 极大值 B 最小值 C 最大值 D 极小值 8 二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是 A 0 x f且0 y f B xy f连续 C yx f连续 D xy f 与 yx f都连续 二 填空 1 已知 2 xxyyxyxf 则 yxf 2 空间曲线 yx zyx9 222 的参数方程为 3 已知向量AB的终点是 7 1 2 它在zyx 轴上的投影依次为7 4 4 则AB的起点A 的坐标是 4 设函数 yxzz 由方程0arctan yyxz所确定 则 2 yx z 5 本函数 ln 222 zyxu 在点 2 2 1 M处的梯度为 6 由方程0 222 zyxxyz所确定的隐函数 yxzz 在点 1 0 1 M处的全微分 7 若yaxxyxxf22 22 在点 1 1 处取得极值 则 a 8 设 wvuF是可微函数 且3 2 2 2 2 2 2 wu FF 6 2 2 2 v F 曲面 0 xzzyyxF通过 1 1 1点 则过这点的法线方程是 三 完成下列各题 1 证明函数 00 0 22 22 42 2 yx yx yx xy xf当 0 0 yx时极限不存在 2 求xyz 在条件4 yx下的极值 3 已知隐函数 yxzz 由方程0 zxzyxyG所确定 且 wvuG具有一阶连续偏 导 0 3 2 xGG 求 x z 4 求曲面3 222222 xzzyyx在点 1 1 1 处的切平面方程 四 完成下列各题 1 求函数xyz 在 0 0 点的偏导数 2 求极限 44 22 lim yx yx y x 五 完成下列各题 1 设 yxuu 具 有 二 阶 连 续 偏 导 且 2 2 2 0 xxxuxxxuuu xyyxx 求 2 2 2 xxuxxuxxu yyxyxx 2 设 1 D由 2 2xy 及0 2 yxax所围成 2 D由轴 2 2xy 及0 yax所围成 20 C 21 II D 无法判断 2 1 lim 3 0 dVzyxf r r 2222 rczbyax 为其中 且 zyxf在 上连续 A cbaf B 3 4cbaf C 3 4cbaf D cbaf 3 区域 2 42 21 2121 yx x D xyx x DDDD 按 Y 型区域应为 A 2 21 yxy y B yxy y21 C 2 21 xyx x D xyx x21 4 已知 1 0 0 1 1 yxyxDyxD D dyxI 1 D dyxJ 则 A JI B JI2 C JI3 D JI4 5 已知 为zzyx2 222 下列等式错误的是 A 0 22 dVzyx B 0 22 dVzxy C 0 22 dVyxz D 0 2 dVzyx 6 设 yxf连续 且 D dudvvufxyyxf 其中 D 由1 0 2 xxyy所围成 则 yxf A xy B xy2 C 1 xy D 8 1 xy 二二 填空填空 1 2 2 2 2 1 xx x dyyxfdx在 Y 型区域下的二次积分为 2 将 x x dyyxfdx 3 22 2 0 转换为极坐标形式下的二次积分 3 1 1 322 yxxyDdyxxyf D 及由 其中 所围成 且f连续 4 grad rf 其中fzyxr 222 可导 5 由曲线 0 3694 22 z yx 绕y轴旋转一周而得到的旋转面在点 3 2 0 处指向外侧的单 位法向量为 6 2 2 1 22 1 0 x x dyyxdx 三 完成下列各题三 完成下列各题 1 求 D dxdyyx 2 1 其中 D 为4 22 yx 2 求球面25 222 zyx到平面60543 zyx的最长与最短距离 3 计算二重积分 D yx de 22 max 其中 10 10 y x D 4 求由 sin2 r与 sin4 r所围均匀薄片的形心 5 已知 xy t dteyxf 0 2 求证 22 22 2 22 2 2 yx e y f x y yx f x f y x 6 求dVyx 22 其中 是由抛物面 22 4yxz 及0 z所围成的空间闭区域 四 完成下列各题四 完成下列各题 1 求由曲面zzyx 2222 所围立体的体积 2 已知 tf为可导函数 且4 0 0 0 ff 求极限 dVzyxf t t 1 lim 222 4 0 其中 2222 tzyx 3 变换 ayxv yxu2 能将06 2 22 2 2 y f yx f x f 简化为0 2 vu f 求a 高等数学第十章习题高等数学第十章习题 一一 选择填空 选择填空 1 已知曲面 的方程为 2222 azyx 则Sdzyx 222 A 0 B 4 2 a C 4 4 a D 4 6 a 2 已知 2 yx jyiayx A 为某一二元函数的梯度 则 a A 1 B 0 C 1 D 2 3 已知 uf为连续函数 则 x x dyyxfdx 2 22 1 0 A tansec 2 4 00 drf rdr B 22 sectan 0 8 drrrf C sectan 0 2 4 drrrf D sectan 0 8 drrrf 4 已知 4 4 222222222 zyxzyxzyxr 0 4 222 zyx zyx 且 rf连续 那么下列等式错误的是 A dVfdVrf 2 B dSfSdrf 2 C dsfdsrf 2 D zdxdyydzdxxdydz r zdxdy r ydzdx r xdydz 8 1 333 5 设椭圆 L 1 34 22 yx 的周长为l 则 L dsyx 2 23 A l B l 3 C l 4 D l12 6 已知 为zzyx2 222 下列等式错误的是 A 0 22 Sdzyx B 0 22 Sdzxy C 0 22 Sdyxz D 0 2 Sdzyx 7 设 G 为一单连通开区域 yxQyxP在 G 内具有一阶连续偏导 命题 0 L QdyPdxa 其中 L 为 G 内任一条分段光滑闭曲线 命题 b在 G 内 y Q y P 处 处成立 命题 cQdyPdx 某一二元函数的全微分 则命题cba 满足 A cba 彼此等价 B a与b等价与c不等价 C a与c等价与b不等价 D cba 彼此不等价 8 设 由分片光滑的所围成闭曲面的外侧 则 的体积 V A xdxdyzdzdxydydz 3 1 B zdxdyydzdxxdydz 3 1 C ydxdyxdzdxzdydz 3 1 D ydxdyzdzdxxdydz 3 1 二二 填空 填空 1 2 L x dye 其中 L 为3053 22 yx的逆时针方向 2 ln 222 zyxgraddiv 3 设 L 为9 22 yx 则 jxxiyxyF 4 22 2 按 L 的逆时针方向运动一周所 作的功为 4 设 E 为位于原点处的点电荷所产生的静电场 为介于1 z到2 z之间的圆锥面 222 yxz 的下侧 那么 E 穿过 的电通量为 5 已知 zyxfu 具有二阶连续偏导 那么 gradurot 6 已知 为向量场A中一张有向闭曲面的内侧 则 SdA 7 L ydxxdy 其中1002516 22 yxL的顺时针方向 8 取曲面 2222 azyx 的内侧 将曲面积分 zdxdyydzdxxdydz转化成对 面积的曲面积分 三三 完成下列各题 完成下列各题 1 设曲线积分 L dyxdxy 22 其中 L 为曲线xy 11上从原点经过点 1 1 到点 2 0 的一段 2 设 2 xyxg x y yxfz f具有二阶连续偏导数 g二阶可导 求 yx z 2 3 求半径为R均匀球壳 1 对于球心的转动惯量 四四 完成下列各题 完成下列各题 1 求 dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf 3 2 其中 为 3 zyx在第八卦线的下侧 2 设曲线积分 L dyxyfdxxy 2 与路径无关 xf具有连续导数 且0 0 f 求 xf 及 1 1 0 0 2 dyxyfdxxy 五 完成下列各题完成下列各题 1 计算积分 L dsyx 22 xyxL2 22 2 曲面积分 333 r zdxdy r ydzdx r xdydz 其中 222 zyxr 为上半球面 222 yxRz 下侧 3 计算二重积分 D yxyxDdyx1 22 其中 高数第十一章习题高数第十一章习题 一 填充题一 填充题 20 1 几何级数的公比为 q 当 q 满足 时 该级数发散 2 级数每一项同乘 常数 不改变其收敛性 3 正项级数收敛的充要条件是 4 P 级数 当 p 满足 时 收敛 当 p 满足 时 发散 当 p 1 时 称 为 级数 5 1n n u发散 不能肯定 1n n u发散 但若能用 审敛法或 审敛法判 定级数 1n n u发散 则 1n n u发散一定发散 6 如果 n n n a a 1 lim 则 n n nx a 1 的收敛半径 R 7 1 2 3 2 n n n n x 的收敛区间为 8 欧拉 Euler 公式是 9 周期为 2的周期函数 满足狄利克雷 Dirichlet 收敛定理条件 x 是该函数的 第一类间断点 则该函数的傅里叶级数在 x 点收敛于 10 如果幂级数 0n n nx C和 1 1 n n nx nC的收敛半径分别为 21 R R 则 1 R与 2 R的大 小关系为 二 选择题 20 1 级数 1n n a收敛是0 lim n n a的 A 充分条件 非必要条件 C 必要条件 非充分条件 B 充要条件 D 既非充分也非必要 2 级数发散 对该级数的各项任意加括号所成级数 A 绝对收敛 C 条件收敛 B 发散 D 不一定 3 f x 是周期为 2的周期函数 在一个周期上可积 则当 f x 为偶函数时 f x 的傅 里叶级数是 A 正弦级数 C 余弦级数 B 既有正弦 又有余弦的级数 4 106 1 104 1 102 1 100 1 A 大于等于 100 1 C 小于等于 100 1 B 等于 100 1 D 可能大于等于 也可能小于等于 100 1 5 若级数 1n n a发散 1n n b收敛则 A 1 n nn ba发散 B 1 n nn ba可能发散 也可能收敛 C 1n nnb a发散 D 1 22 n nn ba发散 6 若级数 1 2 n n n xC在 x 4 处是收敛的 则此级数在 x 1 处 A 发散 C 条件收敛 B 绝对收敛 D 收敛性不能确定 7 当4 x时 幂级数 n n n xxxx 443424 3 3 2 2 的和函数是 A 4ln x B 1ln 4x C 4 1ln x D 4 1ln x 8 级数 0 lg n n x的收敛区间是 A 1 1 B 10 10 C 10 1 10 1 D 10 10 1 9 设幂级数 n n nn nn x ba ba 0 0 ba 则所给级数的收敛半径 R 等于 A b C a 1 B b 1 D R 的值与 a b 无关 10 幂级数 43 1 33 1 23 1 1 3 3 2 2 xxx 在其收敛区间的两个端点处 A 全是发散的 C 左端点收敛 右端点发散 B 全是收敛的 D 右端点收敛 左端点发散 三 求幂级数 1 2 n n x n n 的收敛区间及和函数 6 四 判别级数 1 2 100 n n n n 的敛散性 6 五 确定级数 1 n xn n n xn 的收敛域 6 六 若级数 1n n a收敛 1n n b收敛 且 nnn bca 3 2 1 n 证明 1n n c收敛 6 七 判别级数 1 1 2 1 2 n n n n 是否收敛 如果收敛 是绝对收敛 还是条件收敛 6 八 已知级数 1 2 2 6 1 n n 求级数 1 2 1 1 1 n n n 的和 6 九 求级数 1 1 3 12 1 n n n nn 的和 6 十 将函数 4 2 1 xx xf展开成关于 x 1 的泰勒级数 6 十一 证明 若 1 212 n nn aa收敛且0 lim n n a 则 1n n a收敛 6 十二 设 为曲面1 222 zyx的外侧 计算曲面积分 dxdyzdzdxydydzxI 333 6 高等数学第十二章习题高