物理学简明教程(马文蔚等著)第六章课后练习题答案详解

物理学简明教程 马文蔚等著 物理学简明教程 马文蔚等著 第六章课后练习题答案详解第六章课后练习题答案详解 6 6 1 电荷面密度均为 电荷面密度均为 的两块的两块 无限大无限大 均匀带电的平行平板均匀带电的平行平板 如图如图 A 放置 其周围空间各点电场强度放置 其周围空间各点电场强度E 设电场强度方向向右为设电场强度方向向右为 正 向左为负正 向左为负 随位置坐标随位置坐标x 变化的关系曲线为图变化的关系曲线为图 B 中的中的 分析与解分析与解 无限大无限大 均匀带电平板激发的电场强度为均匀带电平板激发的电场强度为 方向沿 方向沿 0 2 带电平板法向向外 依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的带电平板法向向外 依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的 大小和方向大小和方向 因而正确答案为因而正确答案为 B 6 6 2 下列说法正确的是下列说法正确的是 A 闭合曲面上各点电场强度都为零时 曲面内一定没有电荷闭合曲面上各点电场强度都为零时 曲面内一定没有电荷 B 闭合曲面上各点电场强度都为零时 曲面内电荷的代数和必定闭合曲面上各点电场强度都为零时 曲面内电荷的代数和必定 为零为零 C 闭合曲面的电通量为零时 曲面上各点的电场强度必定为零闭合曲面的电通量为零时 曲面上各点的电场强度必定为零 D 闭合曲面的电通量不为零时 曲面上任意一点的电场强度都不闭合曲面的电通量不为零时 曲面上任意一点的电场强度都不 可能为零可能为零 分析与解分析与解 依照静电场中的高斯定理 闭合曲面上各点电场强度都依照静电场中的高斯定理 闭合曲面上各点电场强度都 为零时 曲面内电荷的代数和必定为零 但不能肯定曲面内一定没为零时 曲面内电荷的代数和必定为零 但不能肯定曲面内一定没 有电荷 闭合曲面的电通量为零时 表示穿入闭合曲面的电场线数有电荷 闭合曲面的电通量为零时 表示穿入闭合曲面的电场线数 等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面 不能确等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面 不能确 定曲面上各点的电场强度必定为零 同理闭合曲面的电通量不为零 定曲面上各点的电场强度必定为零 同理闭合曲面的电通量不为零 也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 因而正确答也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 因而正确答 案为案为 B 6 6 3 下列说法正确的是下列说法正确的是 A 电场强度为零的点 电势也一定为零电场强度为零的点 电势也一定为零 B 电场强度不为零的点 电势也一定不为零电场强度不为零的点 电势也一定不为零 C 电势为零的点 电场强度也一定为零电势为零的点 电场强度也一定为零 D 电势在某一区域内为常量 则电场强度在该区域内必定为零电势在某一区域内为常量 则电场强度在该区域内必定为零 分析与解分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量 电场强电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量 电场强 度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零 电势为零表示将试度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零 电势为零表示将试 验电荷从该点移到参考零电势点时 电场力作功为零验电荷从该点移到参考零电势点时 电场力作功为零 电场中一点的电场中一点的 电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作 的功 电场强度等于负电势梯度的功 电场强度等于负电势梯度 因而正确答案为因而正确答案为 D 6 5 一半径为一半径为R 的半球壳 均匀地带有电荷 电荷面密度为的半球壳 均匀地带有电荷 电荷面密度为 求球心处电场强度的大小求球心处电场强度的大小 分析分析 这仍是一个连续带电体问题 求解的关键在于如何取电荷元这仍是一个连续带电体问题 求解的关键在于如何取电荷元 现将半球壳分割为一组平行的细圆环 如图所示 从教材第现将半球壳分割为一组平行的细圆环 如图所示 从教材第5 3 节的例节的例1 可以看出 所有平行圆环在轴线上可以看出 所有平行圆环在轴线上P P 处的电场强度方向都处的电场强度方向都 相同 将所有带电圆环的电场强度积分 即可求得球心相同 将所有带电圆环的电场强度积分 即可求得球心O O 处的电场处的电场 强度强度 解解 将半球壳分割为一组平行细圆环 任一个圆环所带电荷元将半球壳分割为一组平行细圆环 任一个圆环所带电荷元 在点 在点O O 激发的电场强度为激发的电场强度为 R S qdsin 2dd 2 iE 3 2 22 0 d 4 1 d rx qx 由于平行细圆环在点由于平行细圆环在点O O 激发的电场强度方向相同 利用几何关系激发的电场强度方向相同 利用几何关系 统一积分变量 有统一积分变量 有 Rxcos Rrsin R R R rx qx E dcossin 2 dsin2 cos 4 1d 4 1 d 0 2 3 0 3 2 22 0 积分得积分得 0 2 0 0 4 dcossin 2 E 6 6 6 地球周围的大气犹如一部大电机 由于雷雨云和大气气流的地球周围的大气犹如一部大电机 由于雷雨云和大气气流的 作用 在晴天区域 大气电离层总是带有大量的正电荷 云层下地作用 在晴天区域 大气电离层总是带有大量的正电荷 云层下地 球表面必然带有负电荷球表面必然带有负电荷 晴天大气电场平均电场强度约为晴天大气电场平均电场强度约为 1 mV120 方向指向地面方向指向地面 试求地球表面单位面积所带的电荷试求地球表面单位面积所带的电荷 以每平方厘米的以每平方厘米的 电子数表示电子数表示 分析分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心 在大气层中取与考虑到地球表面的电场强度指向地球球心 在大气层中取与 地球同心的球面为高斯面 利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷地球同心的球面为高斯面 利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷 解解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面 其半径其半径 为地球平均半径为地球平均半径 由高斯定理由高斯定理 E RR E R q RE E 0 2 1 4dSE 地球表面电荷面密度地球表面电荷面密度 29 0 2 cm1006 1 4 E Rq E 单位面积额外电子数单位面积额外电子数 25 cm1063 6 e n 6 6 7 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面 半径分别为两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面 半径分别为R1 和和R2 R1 单位长度上的电荷为 单位长度上的电荷为 求离轴线为求离轴线为r 处的电场强度 处的电场强度 1 r R1 2 R1 r R2 3 r R2 分析分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上 电场强度也必定沿轴对称电荷分布在无限长同轴圆柱面上 电场强度也必定沿轴对称 分布 取同轴圆柱面为高斯面 只有侧面的电场强度通量不为零 分布 取同轴圆柱面为高斯面 只有侧面的电场强度通量不为零 且且 求出不同半径高斯面内的电荷 求出不同半径高斯面内的电荷 即可解得各区即可解得各区 rLEd 2SE q 域电场的分布域电场的分布 解解 作同轴圆柱面为高斯面 根据高斯定理作同轴圆柱面为高斯面 根据高斯定理 0 2 qrLE r R1 0 q 0 1 E 在带电面附近 电场强度大小不连续 电场强度有一跃变在带电面附近 电场强度大小不连续 电场强度有一跃变 R1 r R2 L q r E 0 2 2 r R2 0 q 0 3 E 在带电面附近 电场强度大小不连续 电场强度有一跃变在带电面附近 电场强度大小不连续 电场强度有一跃变 000 2 2 rL L r E 这与这与5 20 题分析讨论的结果一致题分析讨论的结果一致 6 6 8 两个同心球面的半径分别为两个同心球面的半径分别为R1 和和R2 各自带有电荷 各自带有电荷Q1 和和 Q2 求 求 1 各区域电势分布 并画出分布曲线 各区域电势分布 并画出分布曲线 2 两球面间的两球面间的 电势差为多少 电势差为多少 分析分析 通常可采用两种方法通常可采用两种方法 1 由于电荷均匀分布在球面上 电场由于电荷均匀分布在球面上 电场 分布也具有球对称性 因此 可根据电势与电场强度的积分关系求分布也具有球对称性 因此 可根据电势与电场强度的积分关系求 电势电势 取同心球面为高斯面 借助高斯定理可求得各区域的电场强度取同心球面为高斯面 借助高斯定理可求得各区域的电场强度 分布 再由分布 再由可求得电势分布可求得电势分布 2 利用电势叠加原理求电利用电势叠加原理求电 p p VlE d 势势 一个均匀带电的球面 在球面外产生的电势为一个均匀带电的球面 在球面外产生的电势为 r Q V 0 4 在球面内电场强度为零 电势处处相等 等于球面的电势在球面内电场强度为零 电势处处相等 等于球面的电势 R Q V 0 4 其中其中R 是球面的半径是球面的半径 根据上述分析 利用电势叠加原理 将两个根据上述分析 利用电势叠加原理 将两个 球面在各区域产生的电势叠加 可求得电势的分布球面在各区域产生的电势叠加 可求得电势的分布 解解1 1 由高斯定理可求得电场分布由高斯定理可求得电场分布 2 2 0 21 3 21 2 0 1 2 11 4 4 0 Rr r QQ RrR r Q Rr r r eE eE E 由电势由电势 可求得各区域的电势分布可求得各区域的电势分布 r VlE d 当当r R1 时 有时 有 20 2 10 1 20 21 210 1 3211 4 4 4 11 4 0 ddd 2 2 1 1 R Q R Q R QQ RR Q V R R R R r lElElE 当当R1 r R2 时 有时 有 20 2 0 1 20 21 20 1 322 4 4 4 11 4 dd 2 2 R Q r Q R QQ Rr Q V R R r lElE 当当r R2 时 有时 有 r QQ V r 0 21 33 4 d lE 2 两个球面间的电势差两个球面间的电势差 210 1 212 11 4 d 2 1RR Q U R R lE 解解2 1 由各球面电势的叠加计算电势分布由各球面电势的叠加计算电势分布 若该点位于两个球面若该点位于两个球面 内 即内 即r R1 则 则 20 2 10 1 1 4 4R Q R Q V 若该点位于两个球面之间 即若该点位于两个球面之间 即R1 r R2 则 则 20 2 0 1 2 4 4R Q r Q V 若该点位于两个球面之外 即若该点位于两个球面之外 即r R2 则 则 r QQ V 0 21 3 4 2 两个球面间的电势差两个球面间的电势差 20 1 10 1 2112 4 4 2 R Q R Q VVU Rr 6 9 一圆盘半径一圆盘半径R 3 00 10 2 m 圆盘均匀带电 电荷面密 圆盘均匀带电 电荷面密 度度 2 00 10 5 C m 2 1 求轴线上的电势分布 求轴线上的电势分布 2 根据电根据电 场强度与电势梯度的关系求电场分布 场强度与电势梯度的关系求电场分布 3 计算离盘心计算离盘心30 0 cm 处处 的电势和电场强度的电势和电场强度 分析分析 将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环 利用带电细将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环 利用带电细 环轴线上一点的电势公式 将不同半径的带电圆环在轴线上一点的环轴线上一点的电势公式 将不同半径的带电圆环在轴线上一点的 电势积分相加 即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布 再根据电电势积分相加 即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布 再根据电 场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布 解解 1 带电圆环激发的电势带电圆环激发的电势 22 0 d 2 4 1 d xr rr V 由电势叠加 轴线上任一点由电势叠加 轴线上任一点P 的电势的的电势的 1 xxR xr rr V R 22 0 022 0 2 d 2 2 轴线上任一点的电场强度为轴线上任一点的电场强度为 2 iiE 22 0 1 2d d xR x x V 电场强度方向沿电场强度方向沿x 轴方向轴方向 3 将场点至盘心的距离将场点至盘心的距离x 30 0 cm 分别代入式分别代入式 1 和式和式 2 得 得 V1691 V 1 mV5607 E 当当x R 时 圆盘也可以视为点电荷 其电荷为时 圆盘也可以视为点电荷 其电荷为 依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式 依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式 C1065 5 82 Rq 有有 V1695 4 0 x q V 1 2 0 mV5649 4 x q E 由此可见 当由此可见 当x R 时 可以忽略圆盘的几何形状 而将带电的时 可以忽略圆盘的几何形状 而将带电的 圆盘当作点电荷来处理圆盘当作点电荷来处理 在本题中作这样的近似处理 在本题中作这样的近似处理 E E 和和V V 的误差的误差 分别不超过分别不超过0 3 和 和0 8 这已足以满足一般的测量精度 这已足以满足一般的测量精度 6 10 在一次典型的闪电中 两个放电点间的电势差约为在一次典型的闪电中 两个放电点间的电势差约为109 被迁移的电荷约为 被迁移的电荷约为30 C 1 如果释放出来的能量都用来使如果释放出来的能量都用来使0 的冰融化成的冰融化成0 的水 则可溶解多少冰 的水 则可溶解多少冰 冰的融化热冰的融化热L 3 34 105 J kg 2 假设每一个家庭一年消耗的能量为假设每一个家庭一年消耗的能量为300kW h 则可 则可 为多少个家庭提供一年的能量消耗 为多少个家庭提供一年的能量消耗 解解 1 若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收 故可融化冰的若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收 故可融化冰的 质量质量 Kg1098 8 4 L qU L E m 即可融化约即可融化约 90 吨冰吨冰 2 一个家庭一年消耗的能量为一个家庭一年消耗的能量为 J1008 1 hkW3000 10 0 E 8 2 00 E qU E E n 一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3 个家庭一年消个家庭一年消 耗的电能耗的电能 6 11 一真空二极管 其主要构件是一个半径一真空二极管 其主要构件是一个半径R 5 0 0 10 4 4m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外 半径的圆柱形阴极和一个套在阴极外 半径R 4 4 5 10 3 3m 的同轴圆 的同轴圆 筒形阳极 阳极电势比阴极电势高筒形阳极 阳极电势比阴极电势高300V 阴极与阳极的长度均为 阴极与阳极的长度均为L 2 5 2 5 10 m 假设电子从阴极射出时的速度为零 求 假设电子从阴极射出时的速度为零 求 该电子到达阳极时所具有的动能和速率 电子刚从阳极射出该电子到达阳极时所具有的动能和速率 电子刚从阳极射出 时所受的力 时所受的力 分析分析 1 1 由于半径由于半径R L 因此可将电极视作无限长圆柱面 因此可将电极视作无限长圆柱面 阴极和阳极之间的电场具有轴对称性 从阴极射出的电子在电场力阴极和阳极之间的电场具有轴对称性 从阴极射出的电子在电场力 作用下从静止开始加速 电子所获得的动能等于电场力所作的功 作用下从静止开始加速 电子所获得的动能等于电场力所作的功 也即等于电子势能的减少 由此 可求得电子到达阳极时的动能和也即等于电子势能的减少 由此 可求得电子到达阳极时的动能和 速率 速率 2 2 计算阳极表面附近的电场强度 由计算阳极表面附近的电场强度 由F qE 求出电子在阴极求出电子在阴极 表面所受的电场力 表面所受的电场力 解解 1 1 电子到达阳极时 势能的减少量为电子到达阳极时 势能的减少量为 J108 4 17 eVEep 由于电子的初始速度为零 故由于电子的初始速度为零 故 J108 4 17 epekek EEE 因此电子到达阳极的速率为因此电子到达阳极的速率为 1 7 sm1003 1 22 m eV m Eek v 2 2 两极间的电场强度为两极间的电场强度为 r r eE 0 2 两极间的电势差两极间的电势差 1 2 00 ln 2 2 d 2 1R R e r V R R rE 负号表示阳极电势高于阴极电势 阴极表面电场强度负号表示阳极电势高于阴极电势 阴极表面电场强度 rr R R R V R eeE 1 2 1 10 ln 2 电子在阴极表面受力电子在阴极表面受力 N1037 4 14 r eeEF 这个力尽管很小 但作用在质量为 这个力尽管很小 但作用在质量为 1 10 3 kg 的电子上 电 的电子上 电 子获得的加速度可达重力加速度的子获得的加速度可达重力加速度的5 10 10 5 倍 倍 6 1212 一导体球半径为一导体球半径为R 外罩一半径为 外罩一半径为R2 2 的同心薄导体球壳 的同心薄导体球壳 外球壳所带总电荷为外球壳所带总电荷为Q 而内球的电势为 而内球的电势为V 求此系统的电势和电 求此系统的电势和电 场的分布 场的分布 分析分析 若若 内球电势等于外球壳的电势 则外球壳内必定 内球电势等于外球壳的电势 则外球壳内必定 20 0 4R Q V 为等势体 电场强度处处为零 内球不带电 为等势体 电场强度处处为零 内球不带电 若若 内球电势不等于外球壳电势 则外球壳内电场强 内球电势不等于外球壳电势 则外球壳内电场强 20 0 4R Q V 度不为零 内球带电 一般情况下 假设内导体球带电度不为零 内球带电 一般情况下 假设内导体球带电q 导体达到 导体达到 静电平衡时电荷的分布如图所示 依照电荷的这一分布 利用高斯静电平衡时电荷的分布如图所示 依照电荷的这一分布 利用高斯 定理可求得电场分布 并由定理可求得电场分布 并由或电势叠加求出电势的分或电势叠加求出电势的分 p p VlE d 布 最后将电场强度和电势用已知量布 最后将电场强度和电势用已知量V0 Q R R2 2表示 表示 解解 根据静电平衡时电荷的分布 可知电场分布呈球对称 取同心根据静电平衡时电荷的分布 可知电场分布呈球对称 取同心 球面为高斯面 由高斯定理球面为高斯面 由高斯定理 根据不 根据不 0 2 4d qrErrESE 同半径的高斯面内的电荷分布 解得各区域内的电场分布为同半径的高斯面内的电荷分布 解得各区域内的电场分布为 r R 时 时 0 1 rE R r R2 2 时 时 2 0 2 4r q rE r R2 2 时 时 2 0 2 4r qQ rE 由电场强度与电势的积分关系 可得各相应区域内的电势分布 由电场强度与电势的积分关系 可得各相应区域内的电势分布 r R 时 时 2010 3211 4 4 dddd 2 2 1 1 R Q R q V R R R R rr lElElElE R r R2 2 时 时 200 322 4 4 ddd 2 2 R Q r q V R R rr lElElE r R2 2 时 时 r Qq V r 0 3 4 d lE3 也可以从球面电势的叠加求电势的分布 在导体球内 也可以从球面电势的叠加求电势的分布 在导体球内 r R 2010 1 4 4R Q R q V 在导体球和球壳之间 在导体球和球壳之间 R r R2 2 200 2 4 4R Q r q V 在球壳外 在球壳外 r R2 2 r Qq V 0 3 4 由题意由题意 1020 01 4 4R Q R q VV 得得 1020 01 4 4R Q R q VV 代入电场 电势的分布得代入电场 电势的分布得 r R 时 时 0 1 E 01 VV R r R2 2 时 时 2 20 1 2 01 2 4rR QR r VR E rR QRr r VR V 20 101 2 4 r R2 2 时 时 2 20 12 2 01 3 4 rR QRR r VR E rR QRR r VR V 20 1201 3 4 6 13 两线输电线 其导线半径为两线输电线 其导线半径为3 3 2626 mm 两线中心相距 两线中心相距0 0 5050 m 导线位于地面上空很高处 因而大地影响可以忽略 求输电线 导线位于地面上空很高处 因而大地影响可以忽略 求输电线 单位长度的电容 单位长度的电容 解解 由教材第六章由教材第六章6 6 4 4 节例节例3 3 可知两输电线的电势差可知两输电线的电势差 R Rd U ln 0 因此 输电线单位长度的电容因此 输电线单位长度的电容 R d R Rd U Cln ln 00 代入数据代入数据 F1052 5 12 C 6 14 在在A A 点和点和B B 点之间有点之间有5 个电容器 其连接如图所示 个电容器 其连接如图所示 1 1 求求A A B B 两点之间的等效电容 两点之间的等效电容 2 2 若若A A B B 之间的电势差为之间的电势差为1212 V 求 求UA AC UCD 和和UDB B 解解 1 1 由电容器的串 并联 有由电容器的串 并联 有 F12 21 CCCAC F