知识讲解_双曲线及其标准方程_基础

双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 编稿 张林娟 责编 孙永钊 学习目标学习目标 1 知识与技能 从具体情境中抽象出双曲线的模型 掌握双曲线的定义 标准方程及几何图形 能正确推导双曲线的 标准方程 2 过程与方法 学生亲自动手尝试画图 发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义 图像和标准方程 3 情感态度与价值观 了解双曲线的实际背景 感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 进一步感受数形结合 的基本思想在解析几何中的作用 要点梳理要点梳理 要点一 双曲线的定义要点一 双曲线的定义 把平面内到两定点 的距离之差的绝对值等于常数 大于零且小于 的点的集合叫作双曲 1 F 2 F 12 FF 线 定点 叫双曲线的焦点焦点 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距焦距 1 F 2 F 要点诠释 要点诠释 1 双曲线的定义中 常数应当满足的约束条件 常数 这可以借助于三角形中边的 1212 PFPFFF 相关性质 两边之差小于第三边 来理解 2 若常数分别满足以下约束条件 则动点的轨迹各不相同 若 常数 常数 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支 1212 PFPFFF 0 2 F 若 常数 常数 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支 2112 PFPFFF 0 1 F 若 常数 则动点轨迹是以 F1 F2为端点的两条射线 包括端点 1212 PFPFFF 若 常数 则动点轨迹不存在 1212 PFPFFF 若 常数 则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线 12 0PFPF 要点二 双曲线的标准方程要点二 双曲线的标准方程 1 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 当焦点在轴上时 其中 x 22 22 1 xy ab 0 0 ab 222 cab 当焦点在轴上时 其中y 22 22 1 yx ab 0 0 ab 222 cab 2 标准方程的推导标准方程的推导 如何建立双曲线的方程 根据求曲线方程的一般步骤 可分为 4 步 建系 设点 列式 化简 1 建系 取过焦点 F1 F2的直线为 x 轴 线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 2 设点 设 M x y 为双曲线上任意一点 双曲线的焦距是 2c c 0 那么 F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 3 列式 设点 M 与 F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 2a 由定义可知 双曲线就是集合 P M M F1 M F2 2a M M F1 M F2 2a 2222 12 MFxcyMFxcy 2222 2xcyxcya 4 化简 将这个方程移项 得 2222 2xcyxcya 两边平方得 2222222 44 xcyaaxcyxcy 化简得 222 cxaaxcy 两边再平方 整理得 22222222 caxa yaca 以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导 由于方程 形式较复杂 继续化简 由双曲线定义 即 所以 22ca ca 22 0ca 令 222 0 cab b 代入上式得 222222 b xa ya b 两边同除以 得 22 a b 即 其中 22 22 1 xy ab 0 0 ab 222 cab 这就是焦点在轴的双曲线的标准方程 x 要点诠释 要点诠释 若在第 1 步中以 过焦点 F1 F2的直线为 y 轴 线段 F1F2的垂直平分线为 x 轴建立平面 直角坐标系 就可以得到焦点在 y 轴的双曲线方程 其中 22 22 1 yx ab 0 0 ab 222 cab 3 两种不同双曲线的相同点与不同点两种不同双曲线的相同点与不同点 定义定义 平面内到两定点 的距离之差的绝对值等于常数 大于 1 F 2 F 零且小于 的点的集合 12 FF 图形图形 标准方程标准方程 22 22 1 xy ab 0 0 ab 22 22 1 yx ab 0 0 ab 不不 同同 点点 焦点坐标焦点坐标 1 0Fc 2 0Fc 1 0Fc 2 0Fc a b c 的关系的关系 222 cab 相相 同同 点点 焦点位置的判断焦点位置的判断哪项为正 项的未知数就是焦点所在的轴 要点诠释 要点诠释 1 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点 对称轴是坐标轴 双曲线的方程才是标准方程形式 此 时 双曲线的焦点在坐标轴上 2 双曲线标准方程中 a b c 三个量的大小与坐标系无关 是由双曲线本身所确定的 分别表示双 曲线的实半轴长 虚半轴长和半焦距长 均为正数 且三个量的大小关系为 c a c b 且 c2 b2 a2 3 双曲线的焦点总在实轴上 因此已知标准方程 判断焦点位置的方法是 看 x2 y2的系数 如果 x2项的系数是正的 那么焦点在 x 轴上 如果 y2项的系数是正的 那么焦点在 y 轴上 4 对于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标 轴上 要点三 椭圆 双曲线的区别和联系要点三 椭圆 双曲线的区别和联系 1 椭圆 双曲线的标准方程对照表 椭圆 双曲线的标准方程对照表 椭圆双曲线 图象图象 定义定义根据 MF1 MF2 2a根据 MF1 MF2 2a a b c 关系关系 a2 c2 b2 a 最大 a c 0 b 0 c2 a2 b2 c 最大 0 a c b 0 标准方程标准方程 焦点在 x 轴 22 22 1 xy ab 焦点在 y 轴 22 22 1 yx ab 其中 a b 0 焦点在 x 轴 22 22 1 xy ab 焦点在 y 轴 22 22 1 yx ab 其中 a 0 b 0 a 不一定大于 b 标准方程的标准方程的 统一形式统一形式 22 1 xy mn 当时 表示椭圆 当时 表示双曲线 0 0 mnmn 0mn 2 方程方程 Ax2 By2 C A B C 均不为零 表示双曲线的条件均不为零 表示双曲线的条件 方程 Ax2 By2 C 可化为 即 22 1 AxBy CC 22 1 xy CC AB 所以只有 A B 异号 方程表示双曲线 当时 双曲线的焦点在 x 轴上 0 0 CC AB 当时 双曲线的焦点在 y 轴上 0 0 CC AB 要点四 求双曲线的标准方程要点四 求双曲线的标准方程 待定系数法 由题目条件确定焦点的位置 从而确定方程的类型 设出标准方程 再由条件确定方 程中的参数 的值 其主要步骤是 先定型 再定量 abc 定义法 由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形 然后再根据定义确定方程 要点诠释 要点诠释 若定义中 差的绝对值 中的绝对值去掉 点的集合成为双曲线的一支 先确定方程类型 再确定参数 a b 即先定型 再定量 若两种类型都有可能 则需分类讨论 典型例题典型例题 类型一 双曲线的定义类型一 双曲线的定义 例例 1 已知点 F1 4 0 和 F2 4 0 曲线上的动点 P 到 F1 F2距离之差为 6 则曲线方程为 A 22 1 97 xy B 1 y 0 22 1 97 xy C 或 22 1 97 xy 22 1 79 xy D x 0 22 1 97 xy 答案 D 解析 由双曲线的定义知 点 P 的轨迹是以 F1 F2为焦点 实轴长为 6 的双曲线的右支 其方程 为 x 0 22 1 97 xy 总结升华 对于双曲线的定义必须抓住两点 一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常 数 二是这个常数要小于 若不满足这些条件 则其轨迹不是双曲线 而是双曲线的一支或射线或 12 FF 轨迹不存在 举一反三 举一反三 变式 1 已知定点 F1 2 0 F2 2 0 平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹为双曲线的是 A PF1 PF2 3 B PF1 PF2 4 C PF1 PF2 5 D PF1 2 PF2 2 4 答案 A 变式 2 已知点 F1 0 13 F2 0 13 动点 P 到 F1与 F2的距离之差的绝对值为 26 则动点 P 的 轨迹方程为 A y 0 B y 0 x 13 或 x 13 C x 0 y 13 D 以上都不对 答案 C 变式 3 动圆与圆 x2 y2 1 和 x2 y2 8x 12 0 都相外切 则动圆圆心的轨迹为 A 双曲线的一支 B 圆 C 抛物线 D 双曲线 答案 A 例例 2 已知 P 是双曲线上一点 双曲线的两个焦点 且求值 22 1 6436 xy 12 FF 1 17 PF 2 PF 解析 利用双曲线的定义求解 答案 在双曲线中 故 22 1 164 xy 8 6 ab 10c 由 P 是双曲线上一点 得 12 16PFPF 或 2 1 PF 2 33 PF 又得 2 2 PFca 2 33 PF 总结升华 本题容易忽略这一条件 而得出错误的结论或 2 2 PFca 2 1 PF 2 33PF 举一反三 举一反三 变式 1 双曲线的两个焦点为 点在双曲线上 若 求的 22 1 916 xy 12 F FP 12 PFPF 12 PFF 面积 S 答案 16 解析 中 a2 9 b2 16 c2 9 16 25 所以 a 3 b 4 c 5 22 1 916 xy 设 由题意可知 11 PFr 22 PFr 11 22 12 6 100 rr rr 所以 2 22 1 11211 1 32 2 rrrrrr 因为是直角三角形 所以 12 PFF 1 1 1 16 2 Srr 变式 2 过双曲线的左焦点与左支相交的弦的长为 另一焦点 22 22 1 0 0 xy ab ab 1 FABm 求的周长 2 F 2 ABF 解析 且 2121 2 2AFAFa BFBFa 11 AFBFm 2211 2 2 4AFBFaAFaBFam 的周长为 2 ABF 22 42AFBFABam 变式 3 已知点 P x y 的坐标满足 则动点 P 的轨迹 2222 1 1 3 3 4xyxy 是 A 椭圆 B 双曲线中的一支 C 两条射线 D 以上都不对 答案 B 类型二 双曲线的标准方程类型二 双曲线的标准方程 例例 3 判断下列方程是否表示双曲线 若是 求出 a b c 22 1 1 42 xy 22 2 4936yx 22 3 638xy 2222 4 5 5 8xyxy 22 5 1 34 xy 22 6 1515xy 思路点拨 先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式 若不能 则不能表示双曲线 反之 找出相应 的 a2 b2 再利用 c2 a2 b2得到 c 的值 解析 1 能 该双曲线焦点在 x 轴上 4 2 6 所以 a 2 b c 2 a 2 b 222 cab 26 2 能 双曲线可化为 它的焦点在 x 轴上 9 4 13 所以 22 1 94 xy 2 a 2 b 222 cab a 3 b 2 c 13 3 能 双曲线可化为 它的焦点在 x 轴上 4 所以 22 1 48 33 xy 2 a 4 3 2 b 8 3 222 cab a b c 2 2 6 3 4 3 3 4 能 该方程表示到定点 5 0 和 5 0 的距离为 8 由于 80 时 双曲线的标准方程为 此时 解得 k 1 22 1 18 xy kk 2222 183 3abcab kkk 当 k 0 时 双曲线的标准方程为 此时 解得 22 1 81 xy kk 2222 813 3abcab kkk k 1 所以 k 的值为 1 例例 4 已知双曲线的两个焦点 F1 F2之间的距离为 26 双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24 求双曲线的标准方程 解析 由题意得 2a 24 2c 26 a 12 c 13 b2 132 122 25 当双曲线的焦点在 x 轴上时 双曲线的方程为 22 1 14425 xy 当双曲线的焦点在 y 轴上时 双曲线的方程为 22 1 14425 yx 总结升华 求双曲线的标准方程就是求 a2 b2的值 同时还要确定焦点所在的坐标轴 双曲线所在 的坐标轴 不像椭圆那样看 x2 y2的分母的大小 而是看 x2 y2的系数的正负 举一反三 举一反三 高清课堂 高清课堂 双曲线的方程 357256 例 1 变式 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 已知两焦点 双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于 8 12 5 0 5 0 FF 2 双曲线的一个焦点坐标为 经过点 0 6 5 6 A 答案 1 2 22 1 169 xy 22 1 1620 yx 变式 2 求与双曲线有公共焦点 且过点的双曲线的标准方程 22 1 164 xy 3 2 2 答案 22 1 128 xy 解析 解法一 解法一 依题意设双曲线方程为 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 2 a x 2 2 b y 由已知得 222 20abc 又双曲线过点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 2 2 2 22 3 2 4 1 ab 22 2 2 2 22 20 12 3 2 4 81 ab a b ab 故所求双曲线的方程为 22 1 128 xy 解法二 解法二 依题意设双曲线方程为 22 1 164 xy kk 将点代入 解得 3 2 2 22 1 164 xy kk 4k 所以双曲线方程为 22 1 128 xy 类型三 双曲线与椭圆类型三 双曲线与椭圆 例例 5 讨论表示何种圆锥曲线 它们有何共同特征 22 1 259 xy kk 思路点拨 观察题目所给方程是关于 x y 的二次形式 故只可能表示椭圆或双曲线 对于 22 1 xy mn 当时 方程表示椭圆 当时 方程表示双曲线 0 0 m n mn 0mn 解析 1 当 k0 9 k 0 所给方程表示椭圆 由于 25 k 9 k c2 a2 b2 16 所以这些椭圆的焦点都在 x 轴上 且焦点坐标都为 4 0 和 4 0 2 当 9 k0 9 k25 时 所给方程没有轨迹 总结升华 椭圆和双曲线都是二次曲线系 注意它们各自定义在方程中的区别 它们 a b c 的关 系区别 举一反三 举一反三 变式 1 设双曲线方程与椭圆有共同焦点 且与椭圆相交 在第一象限的交点为 A 且 22 1 2736 xy A 的纵坐标为 4 求双曲线的方程 答案 22 1 45 yx 变式 2 若双曲线 M 0 n 0 和椭圆