北京四中高中数学 集合与函数综合提高知识讲解 新人教A版必修1

1 集合与函数综合集合与函数综合 学习目标学习目标 1 1 集合集合 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 3 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 4 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 2 2 函数函数 1 会用集合与对应的语言刻画函数 会求一些简单函数的定义域和值域 初步掌握换元法的简单 运用 2 能正确认识和使用函数的三种表示法 解析法 列表法和图象法 了解每种方法的优点 在实 际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 3 求简单分段函数的解析式 了解分段函数及其简单应用 4 理解函数的单调性 最大 小 值及其几何意义 集合具体函数了解奇偶性的含义 5 能运用函数的图象理解和研究函数的性质 知识网络知识网络 2 要点梳理要点梳理 一 集合一 集合 1 1 集合含义与表示 集合含义与表示 1 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 简称集 其中每个对象叫做元素 集合中的元素 具有确定性 互异性和无序性 2 集合常用的表示方法有 列举法 描述法 图示法 它们各有优点 要根据具体需要选择恰 当的方法 2 2 集合间的关系 集合间的关系 1 若集合中 A 的任何元素都是集合 B 的元素 则称集合 A 是集合 B 的子集 记为 AB 或 BA 2 若 AB 且 B 中至少存在一个元素不是 A 的元素 则 A 是 B 的真子集 记为 AB 或 3 BA 3 若两个集合的元素完全一样 则这两个集合相等 记为 A B 判断集合相等还可以用下面 两种方法 且A B AB AB ABABAB 要点诠释 要点诠释 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 换言之 任何集合至少有一个子集 3 3 集合的基本运算 集合的基本运算 1 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素构成的集合 叫 A 与 B 的并集 记作 A B 用数 学语言表示为 A B x x A 且 x B 2 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合 叫 A 与 B 的交集 记作 A B 用数 学语言表示为 A B x x A 且 x B 3 若已知全集 U A 是 U 的子集 则由所有 U 中不属于 A 的元素构成的集合称为集合 A 在 U 中 的补集 记作 用数学语言表示为 UA UA xUxA 且 要点诠释 要点诠释 ABAAB ABAAB 二 函数及其表示二 函数及其表示 1 1 两个函数相等的条件 两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数 与初中的 用变量的观点描述函数 实质上是一致的 函数有三 要素 定义域 值域 对应关系 它们是不可分割的一个整体 当且仅当两个函数的三要素完全相 同时 这两个函数相等 2 2 函数的常用表示方法 函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有 图象法 列表法 解析法 注意领会在实际情境中根据不同的需要选择 恰当的方法表示函数 3 3 映射 映射 设 A B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个元素 x 原象 在集合 B 中都有唯一确定的元素 象 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A f x 到集合 B 的一个映射 由映射定义知 函数是一种特殊的映射 即函数是两个非空的数集间的映射 三 函数的性质三 函数的性质 1 1 函数的单调性 函数的单调性 1 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 那么就说函数在区间 D 上是增函数 12 f xf x f x 2 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 那么就说函数在区间 D 上是减函数 12 f xf x f x 3 若函数在某个区间上总是递增 或递减 的 则该区间是函数的一个单调增 或减 f x 区间 若函数在整个定义域上总是递增 或递减 的 则称该函数为单调增 或减 函数 f x 2 2 函数的奇偶性 函数的奇偶性 1 若一个函数具有奇偶性 则它的定义域一定关于原点对称 如果一个函数的定义域不关于原 4 点对称 那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件 即这个函数既不是奇函数也不是偶函数 2 若奇函数的定义域内有零 则由奇函数定义知 即 yf x 0 0 ff 0 0 ff 所以 0 0f 3 3 奇 偶性图象的特点 奇 偶性图象的特点 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如 果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以 y 轴为对称轴的对称图形 反之 如果一个函数的图象 是 y 轴为对称轴的轴对称图形 则这个函数是偶函数 典型例题典型例题 类型一 类型一 集合的关系及运算集合的关系及运算 例 1 已知全集 U R 集合 M x 2 x 1 2 和 N x x 2k 1 k 1 2 的关系的韦恩 Venn 图如下图所示 则阴影部分所示的集合的元素区有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 无穷多个 答案 B 解析 阴影部分为 M N x 2 x 1 2 x x 2k 1 k 1 2 x 1 x 3 x x 2k 1 k 1 2 1 3 阴影部分所示的集合的元素区有 2 个 故选 B 项 总结升华 具体集合 给出或可以求得元素的集合 的交 并 补运算 以及集合间关系的判 定 子集的个数问题是每年高考重点考查的对象 因而也是高考命题的热点 举一反三 举一反三 高清课堂 集合与函数性质综合高清课堂 集合与函数性质综合 377492377492 例例 4 4 变式 1 设全集为 R 73 xxA 102 xxB 求及 AB R AB R 答案 AB R 210 x xx 或 AB R 2310 xxx 或7 例例 2 2 设非空集合满足 当x S时 有x2 S 给出如下三个命题 Sx mxl 若m 1 则S 1 若 则 l 1 则 1 2 m 1 4 1 2 l 2 0 2 m 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 思路点拨 根据题中条件 当 x S 时 有 x2 S 对三个命题一一进行验证即可 对于 5 m 1 得 对于 则 对于 若 则 最后解出不等式 2 1 ll l 1 2 m 2 1 4 ll l 1 2 l 2 1 2 1 2 m m 根据解出的结果与四个命题的结论对照 即可得出正确结果有几个 答案 D 解析 若 m 1 则 x x2 可得 x 1 或 x 0 舍去 则 S 1 因此命题 正确 若 1 2 m 当时 故 当时 则 可得或 舍 1 2 x 2 1 4 xS min 1 4 l xl 22 xlS 2 ll 1l 0l 去 故 因此命题 正确 若 则 得 因 max 1l 1 1 4 l 1 2 l 2 1 2 1 2 m mm 2 0 2 m 此命题 正确 类型二 类型二 映射映射 例 3 设集合 f 是 A 到 B 的映射 并满足 ABx yxy RR fx yxy xy 1 求 B 中元素 3 4 在 A 中的原象 2 试探索 B 中有哪些元素在 A 中存在原象 3 求 B 中元素 a b 在 A 中有且只有一个原象时 a b 所满足的关系式 思路点拨 本例是一道与方程综合的题目 关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识 答案 1 1 3 或 3 1 2 b2 4a 0 3 b2 4a 解析 1 设 x y 是 3 4 在 A 中的原象 于是 解得或 3 4 xy xy 1 3 x y 3 1 x y 3 4 在 A 中的原象是 1 3 或 3 1 2 设任意 a b B 在 A 中有原象 x y 应满足 xya xyb 由 可得 y x b 代入 得 x2 bx a 0 当且仅当 b2 4a 0 时 方程 有实根 只有当 B 中元素满足 b2 4a 0 时 才在 A 中有原象 3 由以上 2 的解题过程知 只有当 B 中元素满足 b2 4a 时 它在 A 中有且只有一个原象 总结升华 高考对映射考查较少 考查时只涉及映射的概念 因此我们必须准确地把握映射的 概念 并灵活地运用它解决有关问题 举一反三 举一反三 6 变式 1 已知 a b 为两个不相等的实数 集合 2 4 1 Maa 2 41 2 Nbb 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x 则 a b 等于 fxx A 1 B 2 C 3 D 4 答案 D 解析 由已知可得 M N 故 a b 是方程 x2 4x 2 0 22 22 42420 411420 aaaa bbbb 的两根 故 a b 4 类型三 类型三 函数的概念及性质函数的概念及性质 例例 高清课堂 集合与函数性质综合高清课堂 集合与函数性质综合 377492377492 例例 2 2 例 4 设定义在R上的函数y f x 是偶函数 且f x 在 0 为增函数 若对于 且 则有 12 0 xx 12 0 xx A B 12 fxfx 21 fxfx C D 12 f xfx 12 fxf x 答案 D 解析 因为 且 所以 画出y f x 的图象 数形结合 12 0 xx 12 0 xx 21 xx 知 只有选项 D 正确 总结升华 对函数性质的综合考查是高考命题热点问题 这类问题往往涉及函数单调性 奇偶 性 函数图象的对称性 以及题目中给出的函数性质 解决这类问题的关键在于 各个击破 也就是 涉及哪个性质 就利用该性质来分析解决问题 举一反三 举一反三 变式 1 1 已知定义在 R 上的奇函数满足 且在区间 0 2 上是增 f x 4 f xf x 函数 则 A B 25 11 80 fff 80 11 25 fff C D 11 80 25 fff 25 80 11 fff 2 定义在 R 上的偶函数 f x 对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 21 21 0 f xf x xx 则 A B 3 2 1 fff 1 2 3 fff C D 2 1 3 fff 3 1 2 fff 答案 1 D 2 A 解析 1 由函数是奇函数且在 0 2 上是增函数可以推知在 2 2 上递 f x f x f x 7 增 又 故函数以 8 为周期 4 8 4 f xf xf xf xf x f x 25 1 ff 11 3 34 1 ffff 80 0 ff 故 故选 D 25 80 11 fff 2 由题知 为偶函数 故 又知 x 0 时 为减函数 且 f x 2 2 ff f x 3 2 1 即 故选 A 3 2 1 fff 3 2 1 fff 例 5 设偶函数满足 则 f x 3 8 0 f xxx 2 0 x f x A x x 2 或 x 4 B x x 0 或 x 4 C x x 0 或 x 6 D x x 2 或 x 2 思路点拨 先求的解析式 即 然后再去解这个 f x 3 3 8 0 8 0 xx f x xx 2 0f x 不等式 答案 B 解析 当 x 0 时 x 0 33 88fxxx 又是偶函数 f x 3 8f xfxx 3 3 8 0 8 0 xx f x xx 3 3 2 8 0 2 2 8 0 xx f x xx 或 3 0 2 80 x x 3 0 2 80 x x 解得 x 4 或 x 0 故选 B 例 6 设函数的定义域为 若所有点 构成一 2 0 f xaxbxc a D s f t s tD 个正方形区域 则的值为 a A 2 B 4 C 8 D 不能确定 答案 B 解析 依题意 设关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 a 0 的解集是 x1 x2 x1 x2 且 的最大值是 12 0f xf x 2 2 21 4 40 bac xxbac a 2 f xxbxc 8 依题意 当 s x1 x2 的取值一定时 取遍中的每 22 44 44 acbbac aa f t 2 4 0 4 bac a 一个组 相应的图形是一条线段 当 s 取遍 x1 x2 中的每一个值时 所形成的图形是一个正方形区 域 即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得 因此有 22 44 0 4 bacbac aa 又 a 0 因此 a 4 选 B 项 4aa 举一反三 举一反三 变式 1 若函数的定义域是 0 2 则函数的定义域是 yf x 2 1 fx g x x A 0 1 B 0 1 C 0 1 1 4 D 0 1 答案 B 解析 要使有意义 则 解得 0 x 1 故定义域为 0 1 选 B g x 22 10 xx x 例例 7 7 设函数 24 1f xx 1 画出函数的图象 yf x 2 若不等式的解集非空 求 a 的取值范围 f xax 答案 1 右图 2 1 2 2 解析 1 由于 则函数的图象如图所示 25 2 23 3 xx f x xx yf x 2 由函数与函数 y ax 的图象可知 当且仅当或 a 2 时 函数与 yf x 1 2 a yf x 函数 y ax 的图象有交点 故不等式的解集非空时 a 的取值范围为 f xax 1 2 2 举一反三 举一反三 变式 1 直线 y 1 与曲线 y x2 x a 有四个交点 则 a 的取值范围是 答案 5 1 4 a 解析 如图 作出 y x2 x a 的图象 若要使 y 1 与其有四个交点 则需满足 1 1 4 aa 解得 5 1 4 a 9 例 8 已知函数 x 0 常数 a R 2 a f xx x 1 讨论函数的奇偶性 并说明理由 f x 2 若函数在 x 2 上为增函数 求 a 的取值范围 f x 思路点拨 1 对进行分类讨论 然后利用奇函数的定义去证明即可 2 由题意知 任取a 2 x1 x2 则有恒成立 即可得的取值范围 12 0f xf x a 答案 1 当 a 0 时 为偶函数 当 a 0 时 既不是奇函数 也不是偶函数 2 16 解析 1 当 a 0 时 对任意 x 0 0 2 f xx 为偶函数 22 fxxxf x f x 当 a 0 时 a 0 x 0 2 a f xx x 取 x 1 得 1 1 20ff 1 1 ff 1 1 ff 函数既不是奇函数 也不是偶函数 1 1 ff 2 解法一 设 2 x1 x2 要使函数在 x 2 22 12 12121212 1212 xxaa f xf xxxx x xxa xxx x f x 上为增函数 必须恒成立 12 0f xf x x1 x2 0 x1 x2 4 即 a x1 x2 x1 x2 恒成立 又 x1 x2 4 x1x2 x1 x2 16 a 的取值范围是 16 解法二 当 a 0 时 显然在 2 上为增函数 2 f xx 当 a 0 时 反比例函数在 2 上为增函数 a x 在 2 上为增函数 2 a f xx x 当 a 0 时 同解法一 总结升华 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质 因而也是高考命题的热点 应运用研究 函数的奇偶性与单调性的基本方法 来分析解决问题 举一反三 举一反三 高清课堂 集合与函数性质综合高清课堂 集合与函数性质综合 377492377492 例例 5 5 10 变式 1 已知函数 且f 1 1 1 f xkx x 1 求实数k的值及函数的定义域 2 判断函数在 0 上的单调性 并用定义加以证明 答案 1 2 2 单调递增 00 解析 1 定义域为 1 1 11 2fkk 1 2f xx x 00 2 在 0 上任取 则 1212 x xxx 且 1212 12 11 22f xf xxx xx 12 12 1 2 xx x x 1212 12 1 0 20 xxxx x x 12 f xf x 所以函数在上单调递增 1 2 2fx x 0 例 9 请先阅读下列材料 然后回答问题 对于问题 已知函数 问函数是否存在最大值或最小值 若存在 求出 2 1 32 f x xx f x 最大值或最小值 若不存在 说明理由 一个同学给出了如下解答 解 令 u 3 2x x2 则 u x 1 2 4 当 x 1 时 u 有最大值 umax 4 显然 u 没有最小值 当 x 1 时 有最小值 没有最大值 f x 1 4 1 你认为上述解答正确吗 若不正确 说明理由 并给出正确的解答 2 对于函数 试研究其最值情况 2 1 0 f xa axbxc 答案 1 不正确 2 当 0 时 既无最大值 也无最小值 当 0 时 f x 有最大值 此时 没有最小值 f x 2 4 4 a acb 2 b x a 解析 1 不正确 没有考虑到 u 还可以小于 0 正确解答如下 令 u 3 2x x2 则 u x 1 2 4 4 11 当 0 u 4 时 即 当 u 0 时 即 11 4u 1 4 f x 1 0 u 0f x 或 即既无最大值 也无最小值 0f x 1 4 f x f x 2 对于函数 令 u ax2 bx c a 0 2 1 0 f xa axbxc 当 0 时 u 有最小值 2 min 4 0 4 acb u a 当时 即 当 u 0 时 即 2 4 0 4 acb u a 2 14 4 a uacb 2 4 4 a f x acb 0f x 或 即既无最大值 也无最小值 0f x 2 4 4 a f x acb f x 当 0 时 u 有最小值 2 min 4 0 4 acb u a 此时 u 0 即 既无最大值 也无最小值 1 0 u 0f x f x 当 0 时 u 有最小值 2 min 4 0 4 acb u a 即 2 4 0 4 acb u a 即 2 14 0 4 a uacb 2 4 0 4 a f x acb 当时 有最大值 没有最小值 2 b x a f x 2 4 4 a acb 综上 当 0 时 既无最大值 也无最小值 f x 当 0 时 有最大值 此时 没有最小值 f x 2 4 4 a acb 2 b x a 总结升华 研究性学习是新课标所倡导的教学理念 是培养创新能力的重要途径 因而也是新 课标高考的重点考查对象 解决像本例这样的研究性问题 关键是透彻理解题目中所提供的材料 准 确地把握题意 灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题 举一反三 举一反三 变式 1 1 已知函数的最大值为 M 最小值为 m 则的值为 13yxx m M A B C D 1 4 1 2 2 2 3 2 答案 C 解析 函数的定义域为 3 1 12 又 222 42 1 3 422342 4 1 yx xxxx 而 4 y2 8 2 04 1 2x 又 y 0 m 2 22 2y 2 2M 故选 C 项 2 2 m M 2 设 是二次函数 若的值域是 0 则的值 2 1 1 xx f x xx g x f g x g x 域是 A 1 1 B 1 0 C 0 D 1 答案 C 解析 要使的值域是 0 则可取 1 0 又是二 f g x g x g x 次函数 定义域连续 故不可能同时取 1 和 0 结合选项只能选 C 项 g x 总结升华 函数的值域问题每年高考必考 而且既有常规题型 如本例 1 也有创新题 如本例 2 解答这类问题 既要熟练掌握求函数值域的基本方法 更要根据具体问题情景 灵活 地处理 如本例 2 中 其背景函数属常规函数 分段函数 二次函数 复合函数 但给出 的值域 要求的值域 就在常规题型基础上有所创新 解答这类问题 应利用基本方法 f g x g x 基本知识来分析解决问题 类型四 类型四 函数的综合问题函数的综合问题 例 10 1 已知函数在区间 1 2 上最大值为 4 求实数 a 的值 2 21f xaxax 2 已知函数 x 1 1 求函数的最小值 2 22f xxax f x 思路点拨 第 1 小题中应对二次项系数进行全面讨论 即按 a 0 a 0 a 0 三种情况分析 第 2 小题中的抛物线开口方向确定 对称轴不稳定 答案 1 3 或 2 略 3 8 解析 1 2 1 1f xa xa 当 a 0 时 函数在区间 1 2 上的值为常数 1 不合题意 f x 当 a 0 时 函数在区间 1 2 上是增函数 最大值为 f x 2 814fa 3 8 a 13 当 a 0 时 函数在区间 1 2 上是减函数 最大值为 a 3 f x 1 14fa 综上 a 的值为 3 或 3 8 2 对称轴为直线 x a 且抛物线的开口向上 如下图 222 22 2f xxaxxaa 所示 当 a 1 时 函数在区间 1 1 上是减函数 最小值为 f x 1 32fa 当 1 a 1 时 函数在区间 1 1 上是先减后增 最小值为 f x 2 2f aa 当 a 1 时 函数在区间 1 1 上是增函数 最小值为 f x 1 32fa 总结升华 求二次函数在闭区间上的最值的方法是 一看抛物线的开口方向 二看对称轴与已 知闭区间的相对位置 作出二次函数相关部分的简图 利用数形结合方法就可得到问题的解 对于 定区间 动对称轴 这一类型 依对称轴在定区间左侧 右侧和在区间内三种情况 运用函数的单 调性进行讨论 即可得到函数