河南省中考数学专题复习专题四与圆有关的计算训练

专题四专题四 与圆有关的计算与圆有关的计算 类型一 与切线有关的简单证明与计算 2018 2018 昆明 如图 AB 是 O 的直径 ED 切 O 于点 C AD 交 O 于点 F AC 平分 BAD 连接 BF 1 求证 AD ED 2 若 CD 4 AF 2 求 O 的半径 分析 1 连接 OC 先证明 OC AD 然后利用切线的性质得 OC DE 从而得到 AD ED 2 OC 交 BF 于 H 如解图 利用圆周角定理得到 AFB 90 再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FH CD CHF 90 利用垂径定理得到 BH FH 在 Rt ABF 中 利用勾股定理计算出 AB 从而得到 O 的半径 自主解答 1 证明 连接 OC 如解图 AC 平分 BAD 1 2 OA OC 1 3 2 3 OC AD ED 切 O 于点 C OC DE AD ED 例 1 题解图 2 解 OC 交 BF 于点 H 如解图 AB 为直径 AFB 90 易得四边形 CDFH 为矩形 FH CD 4 CHF 90 OH BF BH FH 4 BF 8 在 Rt ABF 中 AB 2 AF2 BF222 8217 O 的半径为 17 1 1 2018 2018 河南说明与检测 如图 AB 为半圆 O 的直径 点 C 为半圆上任一点 1 若 BAC 30 过点 C 作半圆 O 的切线交直线 AB 于点 P 求证 PBC AOC 2 若 AB 6 过点 C 作 AB 的平行线交半圆 O 于点 D 当以点 A O C D 为顶点的四边形为菱形时 求 的长 BC 2 2 2018 2018 河南说明与检测 如图 在 O 中 AOB 120 点 C 为的中点 延长 OC 到点 D 使 AB CD OC AB 交 OC 于点 E 1 求证 DA 是 O 的切线 2 若 OA 6 求弦 AB 的长 3 3 2018 2018 河南说明与检测 如图 ABC 中 ACB 90 D 为 AB 上一点 以 CD 为直径的 O 交 BC 于 点 E 连接 AE 交 CD 于点 P 交 O 于点 F CAE ADF 1 判断 AB 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 PF PC 1 2 AF 5 求 CP 的长 4 4 2018 2018 金华 如图 在 Rt ABC 中 点 O 在斜边 AB 上 以 O 为圆心 OB 为半径作圆 分别与 BC AB 相交于点 D E 连接 AD 已知 CAD B 1 求证 AD 是 O 的切线 2 若 BC 8 tan B 求 O 的半径 1 2 5 5 2018 2018 玉林 如图 在 ABC 中 以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D DAC B 1 求证 AC 是 O 的切线 2 点 E 是 AB 上一点 若 BCE B tan B O 的半径是 4 求 EC 的长 1 2 6 6 2018 2018 天津 已知 AB 是 O 的直径 弦 CD 与 AB 相交 BAC 38 如图 若 D 为的中点 求 ABC 和 ABD 的大小 AB 如图 过点 D 作 O 的切线 与 AB 的延长线交于点 P 若 DP AC 求 OCD 的大小 图 图 7 7 2018 2018 信阳一模 如图 AB 是 O 的弦 D 为半径 OA 的中点 过 D 作 CD OA 交弦 AB 于点 E 交 O 于点 F 且 CE CB 1 求证 BC 是 O 的切线 2 连接 AF BF 求 ABF 的度数 8 8 2018 2018 河南说明与检测 如图 AB 是 O 的直径 C 是的中点 O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 AB D E 是 OB 的中点 CE 的延长线交切线 BD 于点 F AF 交 O 于点 H 连接 BH 1 求证 AC CD 2 若 OB 2 求 BH 的长 类型二 与四边形判定结合的证明与计算 2018 2018 河南 如图 AB 是 O 的直径 DO AB 于点 O 连接 DA 交 O 于点 C 过点 C 作 O 的切线 交 DO 于点 E 连接 BC 交 DO 于点 F 1 求证 CE EF 2 连接 AF 并延长 交 O 于点 G 填空 当 D 的度数为 时 四边形 ECFG 为菱形 当 D 的度数为 时 四边形 ECOG 为正方形 例 2 题图 分析 1 连接 OC 如解图 利用切线的性质得 1 4 90 再利用等腰三角形的性质和互余证 明 1 2 然后根据等腰三角形的判定定理得到结论 2 要证明四边形 ECFG 为菱形 可知 CEF 为等边三角形 ACB 90 CFE 60 D 可求 四边形 ECOG 为正方形 COG 90 COF 45 则 COA 45 根据 ACO 是等腰三角形 在 Rt AOD 中 已知 DAO 则 D 可求 自主解答 1 证明 连接 OC 如解图 CE 为切线 OC CE OCE 90 即 1 4 90 DO AB 3 B 90 2 3 2 B 90 又 OB OC 4 B 1 2 CE FE 2 解 当 D 30 时 四边形 ECFG 为菱形 解法提示 四边形 ECFG 为菱形 CE CF FG EG 由 1 知 CE EF ECF 是等边三角形 CFD 60 ACB 90 DCF 90 D 90 60 30 当 D 22 5 时 四边形 ECOG 为正方形 解法提示 例 2 题解图 四边形 ECOG 为正方形 CO CE OCE 90 COE 是等腰直角三角形 COE 45 DO AB DOA 90 COA DOA COE 45 OA OC CAB 67 5 D 90 62 5 22 5 1 1 2016 2016 河南 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 点 M 是 AC 的中点 以 AB 为直径作 O 分别交 AC BM 于点 D E 1 求证 MD ME 2 填空 若 AB 6 当 AD 2DM 时 DE 连接 OD OE 当 A 的度数为 时 四边形 ODME 是菱形 2 2 2015 2015 河南 如图 AB 是半圆 O 的直径 点 P 是半圆上不与点 A B 重合的一个动点 延长 BP 到点 C 使 PC PB D 是 AC 的中点 连接 PD PO 1 求证 CDP POB 2 填空 若 AB 4 则四边形 AOPD 的最大面积为 连接 OD 当 PBA 的度数为 时 四边形 BPDO 是菱形 3 3 2014 2014 河南 如图 CD 是 O 的直径 且 CD 2 cm 点 P 为 CD 的延长线上一点 过点 P 作 O 的切 线 PA PB 切点分别为点 A B 1 连接 AC 若 APO 30 试证明 ACP 是等腰三角形 2 填空 当 DP cm 时 四边形 AOBD 是菱形 当 DP cm 时 四边形 AOBP 是正方形 4 4 2018 2018 驻马店一模 如图 AC 是 O 的直径 点 P 在线段 AC 的延长线上 且 PC CO 点 B 在 O 上 且 CAB 30 1 求证 PB 是 O 的切线 2 若 D 为圆 O 上任一动点 O 的半径为 5 cm 时 当弧 CD 长为 时 四边形 ADPB 为菱形 当弧 CD 长为 时 四边形 ADCB 为矩形 5 5 2018 2018 濮阳一模 如图 已知 ABC 内接于 O AB 是直径 OD AC AD OC 1 求证 四边形 OCAD 是平行四边形 2 探究 当 B 时 四边形 OCAD 是菱形 当 B 满足什么条件时 AD 与 O 相切 请说明理由 6 6 2017 2017 河南模拟 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 O 是经过 A B C 三点的圆 CD 与 O 相切 于点 C 点 P 是上的一个动点 点 P 不与 B C 点重合 连接 PA PB PC BC 1 求证 CA CB 2 当点 P 满足 时 CPA ABC 请说明理由 当 ABC 的度数为 时 四边形 ABCD 是菱形 7 7 2018 2018 河南说明与检测 如图 ABC 内接于圆 O 且 AB AC 延长 BC 到点 D 使 CD CA 连接 AD 交 圆 O 于点 E 1 求证 ABE CDE 2 填空 当 ABC 的度数为 时 四边形 AOCE 是菱形 若 AE AB 2 则 DE 的长为 32 8 8 2018 2018 河南说明与检测 如图 半圆 O 的直径为 AB 点 M 为半圆上一动点 不与点 A B 重合 点 N 为的中点 ND AB 于点 D 过点 M 的切线交 DN 的延长线于点 C AM 1 若 MC AB 求证 AD CN 填空 四边形 OMCD 是何种特殊的四边形 2 填空 当 ANM 时 四边形 ANMO 为菱形 9 9 2018 2018 河南说明与检测 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 以 AB 为直径的 O 与 AC 边交于点 D 过点 D 作 O 的切线交 BC 于点 E 连接 OE 1 求证 OE AD 2 填空 BAC 时 四边形 ODEB 是正方形 当 BAC 时 AD 3DE 1010 2017 2017 濮阳一模 如图 AB 是 O 的直径 点 P 是 AB 下方的半圆上不与点 A B 重合的一个动点 点 C 为 AP 中点 延长 CO 交 O 于点 D 连接 AD 过点 D 作 O 的切线交 PB 的延长线于点 E 连 CE 交 AB 于点 F 连接 DF 1 求证 DAC ECP 2 填空 四边形 ACED 是何种特殊的四边形 在点 P 运动过程中 线段 DF AP 的数量关系是 1111 如图 已知 A 的半径为 4 EC 是 A 的直径 点 B 是 A 的切线 CB 上的一个动点 连接 AB 交 A 于点 D 弦 EF 平行于 AB 连接 DF AF 1 试判断直线 BF 与 A 的位置关系 并说明理由 2 填空 当 CAB 时 四边形 ADFE 为菱形 当 EF 时 四边形 ACBF 为正方形 1212 2018 2018 河南说明与检测 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D 交 AC 于点 E 过点 D 作 DF AC 于点 F 1 求证 DF 为 O 的切线 2 若过点 A 且与 BC 平行的直线交 BE 延长线于点 G 连接 CG 设 O 的半径为 5 当 CF 时 四边形 ABCG 为菱形 当 BC 4时 四边形 ABCG 的面积是 5 参考答案 类型一 针对训练 1 1 证明 AB 是 O 的直径 ACB 90 BAC 30 ABC 60 OB OC OBC 是等边三角形 OC BC OBC BOC 60 AOC PBC 120 CP 是 O 的切线 OC CP OCP 90 ACO PCB 在 AOC 和 PBC 中 PBC AOC AOC PBC OC BC AOC PCB 2 解 如解图 四边形 AOCD 为菱形 OA AD CD OC 连接 OD 则 OA OD OC AOD 和 COD 都是等边三角形 AOD COD 60 BOC 60 的长为 BC 60 3 180 如解图 同理 BOC 120 的长为 2 BC 120 3 180 综上可知 的长为 或 2 BC 图 图 第 1 题解图 2 1 证明 如解图 连接 AC C 是的中点 AB AC BC 第 2 题解图 AOB 120 AOC BOC 60 OA OC AOC 是等边三角形 OAC OCA 60 AC OC CD OC CD AC DAC D OCA 30 1 2 DAO OAC DAC 90 OA 是 O 的半径 DA 是 O 的切线 2 解 OA OC AOC BOC 60 AE BE OE AB 在 Rt AOE 中 AE OA sin 60 6 3 3 23 AB 2AE 6 3 3 1 证明 AB 与 O 相切 理由如下 ACB 90 CAE AEC 90 CAE ADF AEC FDC ADF FDC 90 即 ADC 90 CD AB 又 CD 为 O 的直径 AB 与 O 相切 第 3 题解图 2 解 连接 FC DE 如解图 CD 为 O 的直径 DEC 90 ACB 90 DE AC CAE DEA DEA DCF CAE DCF 即 CAP FCP CPA FPC CAP FCP PC PF PA PC PC PA PF PC 1 2 PA 2PC 4PF PF AF 1 3 5 3 CP 2PF 10 3 4 1 证明 连接 OD OB OD 3 B B 1 1 3 在 Rt ACD 中 1 2 90 4 180 2 3 90 第 4 题解图 OD AD OD 为 O 的半径 AD 为 O 的切线 2 解 设 O 的半径为 r 在 Rt ABC 中 AC BC tan B 4 根据勾股定理得 AB 4 42 825 OA 4 r 5 在 Rt ACD 中 tan 1 tan B 1 2 CD AC tan 1 2 根据勾股定理得 AD2 AC2 CD2 16 4 20 在 Rt ADO 中 OA2 OD2 AD2 即 4 r 2 r2 20 5 解得 r 35 2 5 1 证明 AB 是直径 ADB 90 B BAD 90 DAC B DAC BAD 90 BAC 90 BA AC AC 是 O 的切线 2 解 BCE B EC EB 设 EC EB x 在 Rt ABC 中 tan B AB 8 AC AB 1 2 AC 4 在 Rt AEC 中 EC2 AE2 AC2 x2 8 x 2 42 解得 x 5 CE 5 6 解 AB 是 O 的直径 弦 CD 与 AB 相交 BAC 38 ACB 90 ABC 52 D 为的中点 AOB 180 AB AOD 90 ABD 45 连接 OD 如解图 DP 切 O 于点 D OD DP 即 ODP 90 由 DP AC 又 BAC 38 P BAC 38 AOD 是 ODP 的一个外角 AOD P ODP 128 ACD 64 OC OA BAC 38 OCA BAC 38 OCD ACD OCA 64 38 26 第 6 题解图 7 1 证明 连接 OB 如解图 CE CB CBE CEB CD OA DAE AED 90 又 CEB AED DAE CBE 90 OA OB OAB OBA OBA CBE 90 即 OBC 90 OB BC OB 是 O 的半径 BC 是 O 的切线 2 解 连接 OF 交 AB 于点 H 如解图 DF OA AD OD FA FO 又 OF OA OAF 为等边三角形 AOF 60 ABF AOF 30 1 2 第 7 题解图 8 1 证明 连接 OC 如解图 第 8 题解图 C 是的中点 AB 是 O 的直径 AB CO AB BD 是 O 的切线 BD AB OC BD OA OB AC CD 2 解 E 是 OB 的中点 OE BE 在 COE 和 FBE 中 CEO FEB OE BE COE FBE COE FBE CO BF OB 2 BF 2 AF 2 AB2 BF25 AB 是直径 BH AF ABF BHF AB BH AF BF 即 AB BF AF BH BH AB BF AF 4 2 25 45 5 类型二 针对训练 1 1 证明 ABC 90 AM MC BM AM MC A ABM 四边形 ABED 是圆内接四边形 ADE ABE 180 又 ADE MDE 180 MDE MBA 同理证明 MED A MDE MED MD ME 2 解 由 1 可知 A MDE DE AB DE AB MD MA AD 2DM DM MA 1 3 DE AB 6 2 1 3 1 3 故答案为 2 第 1 题解图 当 A 60 时 四边形 ODME 是菱形 理由如下 如解图 四边形 ODME 是菱形 OD OE DM MG DM ME DME 是等边三角形 EDM 60 DE AB A MDE 60 2 1 证明 PC PB D 是 AC 的中点 DP AB DP AB CPD PBO 1 2 BO AB 1 2 DP BO 在 CDP 与 POB 中 DP BO CPD PBO PC PB CDP POB SAS 2 4 解法提示 当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积 AB 4 OA 2 最大 面积为 2 2 4 第 2 题解图 60 解法提示 连接 OD 如解图 DP AB DP BO 四边形 BPDO 是平行四边形 四边形 BPDO 是菱形 PB BO PO BO PB BO PO PBO 是等边三角形 PBA 的度数为 60 第 3 题解图 3 1 证明 连接 OA 如解图 PA 是 O 的切线 OA PA 在 Rt AOP 中 AOP 90 APO 90 30 60 ACP 30 APO 30 ACP APO AC AP ACP 是等腰三角形 2 解 DP 1 理由如下 四边形 AOBD 是菱形 OA AD OD AOP 60 OP 2OA DP OD DP 1 DP 1 理由如下 2 四边形 AOBP 是正方形 AOP 45 OA PA 1 OP 2 DP OP 1 DP 1 2 4 1 证明 如解图 连接 OB BC OA OB OAB OBA 30 COB OAB OBA 60 OB OC OBC 是等边三角形 BC OC PC OC BC CO CP PBO 90 OB PB OB 是 O 的半径 PB 是 O 的切线 图 图 图 第 4 题解图 2 解 的长为 cm 时 四边形 ADPB 是菱形 理由如下 CD 5 3 如解图 四边形 ADPB 是菱形 CAB 30 DAC 30 COD 2 CAD 60 的长为 cm CD 60 5 180 5 3 当弧 CD 的长为 cm 时 10 3 四边形 ADCB 为矩形 理由如下 如解图 当四边形 ADCB 是矩形时 易知 COD 120 的长为 cm CD 120 5 180 10 3 5 1 证明 OA OC AD OC OA AD AOD ADO OD AC OAC AOD OAC OCA AOD ADO AOC OAD OC AD 四边形 OCAD 是平行四边形 2 解 30 解法提示 四边形 OCAD 是菱形 OC AC 又 OC OA OC OA AC AOC 60 B AOC 30 1 2 当 B 45 时 AD 与 O 相切 理由如下 AD 与 O 相切 OAD 90 AD OC AOC 90 B AOC 45 1 2 6 1 证明 连接 CO 并延长交 AB 于点 E 如解图 CD 与 O 相切于点 C CE CD 四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD CE AB AE BE BC AC 2 解 当 AC AP 时 CPA ABC 理由如下 AC BC AC AP ABC BAC APC ACP ABC APC BAC ACP 在 CPA 与 ABC 中 APC ABC ACP CAB AC CA CPA ABC 图 图 第 6 题解图 当 ABC 的度数为 60 时 四边形 ABCD 是菱形 理由如下 如解图 连接 OC OB ABC 60 BCD 120 CD 与 O 相切于点 C OCD 90 BCO 30 OB OC OBC 30 ABO 30 BO 垂直平分 AC AB BC 四边形 ABCD 是菱形 7 1 证明 AB AC CD CA ABC ACB AB CD 四边形 ABCE 是圆内接四边形 ABC AEC 180 BAE BCE 180 CED AEC 180 ECD BCE 180 CED ABC ECD BAE CED ACB ACB AEB CED AEB 在 ABE 和 CDE 中 AB CD CED AEB DCE BAE ABE CDE 2 解 60 5 33 8 解 1 连接 ON 如解图 点 N 为的中点 AN MN AM OA OM ON ON AON MON OAN OMN CM 为 O 的切线 CM OM 第 8 题解图 CMN OMN 90 ND AB NAD AND 90 AND CMN MC AB CD