《二次根式》专题练习(含答案)

参考 初二数学专题练习 二次根式 一 选择题一 选择题 1 式子在实数范围内有意义 则 x 的取值范围是 A x 1 B x 1 C x 1 D x 1 2 若 1 x 2 则的值为 A 2x 4 B 2 C 4 2x D 2 3 下列计算正确的是 A 2 B C xD x 4 实数 a b 在数轴上对应点的位置如图所示 化简 a 的结果是 A 2a b B 2a b C b D b 5 化简 的结果为 A 0 B 2 C 2 D 2 6 已知 x 1 则化简的结果是 A x 1 B x 1 C x 1 D 1 x 7 下列式子运算正确的是 A B C D 8 若 则 x3 3x2 3x 的值等于 A B C D 二 填空题二 填空题 9 要使代数式有意义 则 x 的取值范围是 10 在数轴上表示实数 a 的点如图所示 化简 a 2 的结果为 11 计算 12 化简 13 计算 14 观察下列等式 第 1 个等式 a1 1 第 2 个等式 a2 第 3 个等式 a3 2 第 4 个等式 a4 2 按上述规律 回答以下问题 1 请写出第 n 个等式 an 2 a1 a2 a3 an 参考 15 已知 a b 为有理数 m n 分别表示的整数部分和小数部分 且 amn bn2 1 则 2a b 16 已知 a 0 化简 17 设 设 则 S 用含 n 的代数式表示 其中 n 为正整数 三 解答题三 解答题 18 计算或化简 3 19 计算 3 3 2 20 先化简 再求值 其中 x 3 3 0 21 计算 22 计算 2 3 23 计算 1 1 0 24 如图 实数 a b 在数轴上的位置 化简 25 阅读材料 解答下列问题 例 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它本身 当 a 0 时 a 0 故此时 a 的绝对值是零 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它的相反数 综合起来一个数的绝对值要分三种情况 即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 问 1 请仿照例中的分类讨论的方法 分析二次根式的各种展开的情况 2 猜想与 a 的大小关系 参考 26 已知 a b 求代数式的值 27 阅读下列材料 然后回答问题 在进行二次根式的化简与运算时 我们有时会碰上如 一样的式子 其实我们还可以 将其进一步化简 一 二 1 三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简 1 四 1 请用不同的方法化简 2 参照 三 式得 参照 四 式得 3 化简 28 化简求值 其中 参考 参考答案与解析参考答案与解析 一 选择题一 选择题 1 2016 贵港 式子在实数范围内有意义 则 x 的取值范围是 A x 1B x 1C x 1D x 1 分析 被开方数是非负数 且分母不为零 由此得到 x 1 0 据此求得 x 的取值范围 解答 解 依题意得 x 1 0 解得 x 1 故选 C 点评 考查了二次根式的意义和性质 概念 式子 a 0 叫二次根式 性质 二次根式中的 被开方数必须是非负数 否则二次根式无意义 注意 本题中的分母不能等于零 2 2016 呼伦贝尔 若 1 x 2 则的值为 A 2x 4B 2 C 4 2xD 2 分析 已知 1 x 2 可判断 x 3 0 x 1 0 根据绝对值 二次根式的性质解答 解答 解 1 x 2 x 3 0 x 1 0 原式 x 3 x 3 x 1 3 x x 1 2 故选 D 点评 解答此题 要弄清以下问题 1 定义 一般地 形如 a 0 的代数式叫做二次根式 当 a 0 时 表示 a 的算术平方根 当 a 0 时 0 当 a 小于 0 时 非二次根式 若根号下为负数 则无实数根 2 性质 a 3 2016 南充 下列计算正确的是 参考 A 2B C xD x 分析 直接利用二次根式的性质分别化简求出答案 解答 解 A 2 正确 B 故此选项错误 C x 故此选项错误 D x 故此选项错误 故选 A 点评 此题主要考查了二次根式的化简 正确掌握二次根式的性质是解题关键 4 2016 潍坊 实数 a b 在数轴上对应点的位置如图所示 化简 a 的结果是 A 2a b B 2a bC b D b 分析 直接利用数轴上 a b 的位置 进而得出 a 0 a b 0 再利用绝对值以及二次根式的性 质化简得出答案 解答 解 如图所示 a 0 a b 0 则 a a a b 2a b 故选 A 点评 此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴 正确得出各项符号是解题关键 5 2016 营口 化简 的结果为 A 0B 2C 2D 2 分析 根据根式的开方 可化简二次根式 根据二次根式的加减 可得答案 解答 解 3 2 2 故选 D 点评 本题考查了二次根式的加减 先化简 再加减运算 参考 6 已知 x 1 则化简的结果是 A x 1B x 1 C x 1 D 1 x 分析 先进行因式分解 x2 2x 1 x 1 2 再根据二次根式的性质来解题即可 解答 解 x 1 x 1 原式 x 1 1 x 故选 D 点评 根据完全平方公式 绝对值的运算解答此题 7 下列式子运算正确的是 A B C D 分析 根据二次根式的性质化简二次根式 a 根据二次根式分母有理化的方法 同乘分母的有理化因式 进行分母有理化 二次根式的加减实质是合并同类二次根式 解答 解 A 和不是同类二次根式 不能计算 故 A 错误 B 2 故 B 错误 C 故 C 错误 D 2 2 4 故 D 正确 故选 D 点评 此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算 能够熟练进行二 次根式的分母有理化 8 若 则 x3 3x2 3x 的值等于 A B C D 分析 把 x 的值代入所求代数式求值即可 也可以由已知得 x 1 2 3 即 x2 2x 2 0 则 x3 3x2 3x x x2 2x 2 x2 2x 2 3x 2 3x 2 代值即可 参考 解答 解 x3 3x2 3x x x2 3x 3 当时 原式 3 3 3 1 故选 C 点评 代数式的三次方不好求 就先提取公因式 把它变成二次方后再代入化简合并求值 二 填空题二 填空题 9 2016 贺州 要使代数式有意义 则 x 的取值范围是 x 1 且 x 0 分析 根据二次根式和分式有意义的条件 被开方数大于等于 0 分母不等于 0 列不等式组求 解 解答 解 根据题意 得 解得 x 1 且 x 0 点评 本题考查的知识点为 分式有意义 分母不为 0 二次根式的被开方数是非负数 本题应注意在求得取值范围后 应排除不在取值范围内的值 10 2016 乐山 在数轴上表示实数 a 的点如图所示 化简 a 2 的结果为 3 分析 直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案 解答 解 由数轴可得 a 5 0 a 2 0 则 a 2 5 a a 2 3 故答案为 3 点评 此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质 正确掌握掌握相关性质是解题关键 11 2016 聊城 计算 12 分析 直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案 解答 解 参考 3 3 12 故答案为 12 点评 此题主要考查了二次根式的乘除运算 正确化简二次根式是解题关键 12 2016 威海 化简 分析 先将二次根式化为最简 然后合并同类二次根式即可 解答 解 原式 3 2 故答案为 点评 此题考查了二次根式的加减运算 属于基础题 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及 同类二次根式的合并 13 2016 潍坊 计算 12 分析 先把化简 再本括号内合并 然后进行二次根式的乘法运算 解答 解 原式 3 4 12 故答案为 12 点评 本题考查了二次根式的计算 先把各二次根式化为最简二次根式 再进行二次根式的乘除 运算 然后合并同类二次根式 在二次根式的混合运算中 如能结合题目特点 灵活运用二次根式 的性质 选择恰当的解题途径 往往能事半功倍 14 2016 黄石 观察下列等式 第 1 个等式 a1 1 第 2 个等式 a2 第 3 个等式 a3 2 第 4 个等式 a4 2 参考 按上述规律 回答以下问题 1 请写出第 n 个等式 an 2 a1 a2 a3 an 1 分析 1 根据题意可知 a1 1 a2 a3 2 a4 2 由此得出第 n 个等式 an 2 将每一个等式化简即可求得答案 解答 解 1 第 1 个等式 a1 1 第 2 个等式 a2 第 3 个等式 a3 2 第 4 个等式 a4 2 第 n 个等式 an 2 a1 a2 a3 an 1 2 2 1 故答案为 1 点评 此题考查数字的变化规律以及分母有理化 要求学生首先分析题意 找到规律 并进行推 导得出答案 15 已知 a b 为有理数 m n 分别表示的整数部分和小数部分 且 amn bn2 1 则 2a b 2 5 分析 只需首先对估算出大小 从而求出其整数部分 a 其小数部分用 a 表示 再分 别代入 amn bn2 1 进行计算 解答 解 因为 2 3 所以 2 5 3 故 m 2 n 5 2 3 把 m 2 n 3 代入 amn bn2 1 得 2 3 a 3 2b 1 化简得 6a 16b 2a 6b 1 等式两边相对照 因为结果不含 所以 6a 16b 1 且 2a 6b 0 解得 a 1 5 b 0 5 参考 所以 2a b 3 0 5 2 5 故答案为 2 5 点评 本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算 能够正确估算出一个较复杂的 无理数的大小是解决此类问题的关键 16 已知 a 0 化简 2 分析 根据二次根式的性质化简 解答 解 原式 又 二次根式内的数为非负数 a 0 a 1 或 1 a 0 a 1 原式 0 2 2 点评 解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到 a 的值 17 设 设 则 S 用含 n 的代数式表示 其中 n 为正整数 分析 由 Sn 1 求 得出一般规律 解答 解 Sn 1 1 1 S 1 1 1 1 n 1 参考 故答案为 点评 本题考查了二次根式的化简求值 关键是由 Sn变形 得出一般规律 寻找抵消规律 三 解答题 共三 解答题 共 1111 小题 小题 18 2016 泰州 计算或化简 3 分析 先化成最简二次根式 再去括号 合并同类二次根式即可 解答 解 1 3 点评 本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算 正确化简是解题的关键 19 2016 盐城 计算 3 3 2 分析 利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算 解答 解 原式 9 7 2 2 2 点评 本题考查了二次根式的计算 先把各二次根式化为最简二次根式 再进行二次根式的乘除 运算 然后合并同类二次根式 在二次根式的混合运算中 如能结合题目特点 灵活运用二次根式 的性质 选择恰当的解题途径 往往能事半功倍 20 2016 锦州 先化简 再求值 其中 x 3 3 0 分析 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简 再把化简后 x 的值代入进行计算即可 解答 解 参考 x 3 3 0 4 1 2 1 1 把 x 1 代入得到 即 点评 本题考查的是分式的化简求值 在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用 21 计算 分析 首先应用乘法分配律 可得 然后根据二次根式的 混合运算顺序 先计算乘法 再计算加法 求出算式 的值是多少即可 解答 解 1 9 10 点评 此题主要考查了二次根式的混合运算 要熟练掌握 解答此题的关键是要明确 与有理 数的混合运算一致 运算顺序先乘方再乘除 最后加减 有括号的先算括号里面的 在运算中每 个根式可以看做是一个 单项式 多个不同类的二次根式的和可以看作 多项式 22 计算 2 3 分析 根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式 2 8 然后化简后合 并即可 解答 解 原式 2 8 3 2 8 8 参考 点评 本题考查了二次根式的计算 先把各二次根式化为最简二次根式 再进行二次根式的乘除 运算 然后合并同类二次根式 也考查了负整数整数幂 23 计算 1 1 0 分析 先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式 3 1 2 1 然后进行加减运算 解答 解 原式 3 1 2 1 1 2 点评 本题考查了二次根式的计算 先把各二次根式化为最简二次根式 再进行二次根式的乘除 运算 然后合并同类二次根式 也考查了零指数幂 24 如图 实数 a b 在数轴上的位置 化简 分析 本题综合性较强 不仅要结合图形 还需要熟悉算术平方根的定义 解答 解 由数轴知 a 0 且 b 0 a b 0 a b a b a b a b 2b 点评 本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围 二次根式的化简 代数式的恒等变形等基础 知识 考查基本的代数运算能力 观察数轴确定 a b 及 a b 的符号是解答本题的关键 本题巧用数轴给出了每个数的符号 渗透了 数形结合的思想 这也是中考时常考的知识点 本题考查算术平方根的化简 应先确定 a b 及 a b 的符号 再分别化简 最后计算 25 阅读材料 解答下列问题 例 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它本身 参考 当 a 0 时 a 0 故此时 a 的绝对值是零 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它的相反数 综合起来一个数的绝对值要分三种情况 即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 问 1 请仿照例中的分类讨论的方法 分析二次根式的各种展开的情况 2 猜想与 a 的大小关系 分析 应用二次根式的化简 首先应注意被开方数的范围 再进行化简 解答 解 1 由题意可得 2 由 1 可得 a 点评 本题主要考查二次根式的化简方法与运用 当 a 0 时 a 当 a 0 时 a 当 a 0 时 0 26 已知 a b 求代数式的值 分析 先求得 a b 10 ab 1 再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式 将整体代入求值即 可 解答 解 由已知 得 a b 10 ab 1 点评 本题关键是先求出 a b ab 的值 再将被开方数变形 整体代值 27 阅读下列材料 然后回答问题 在进行二次根式的化简与运算时 我们有时会碰上如 一样的式子 其实我们还可以 将其进一步化简 一 二 参考 1 三 以上这种化简的步骤叫做分母有