2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解学案 新人教A版必修第一册

1 4 4 5 15 1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 1 理解函数的零点 方程的解与图象交点三者之间的关系 2 会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间 3 能借助函数单调性及图象判断零点个数 1 函数的零点 对于一般函数 y f x 我们把使 f x 0 的实数 x 叫做函数 y f x 的零点 温馨提示 同二次函数的零点一样 一般函数的零点也不是一个点 而是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 方程 函数 图象之间的关系 方程 f x 0 有实根 函数 y f x 的图象与 x 轴有 交点 函数 y f x 有零点 3 函数零点的存在性定理 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 并且有 f a f b 0 那么 函数 y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 即存在 c a b 使得 f c 0 这个 c 也就是方程 f x 0 的解 温馨提示 定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况 要求 具备两条 1 函数在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 2 f a f b 0 1 给定二次函数 y x2 2x 3 其图象如下 2 1 方程 x2 2x 3 0 的解是什么 2 函数的图象与 x 轴的交点是什么 3 方程的解与交点的横坐标有什么关系 4 通过图象观察 在每一个交点附近 两侧函数值符号有什么特点 答案 1 3 1 2 3 0 1 0 3 相等 4 在每一个交点附近两侧函数值符号异号 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 所有的函数都有零点 2 若方程 f x 0 有两个不等实数解 x1 x2 则函数 y f x 的零点为 x1 0 x2 0 3 若函数 y f x 在区间 a b 上有零点 则一定有 f a f b 0 4 在 a b 上函数 f x 是连续并且单调的函数 若 f a f b 1 时 令 1 log2x 0 得 x 此 1 2 时无解 综上所述 函数零点为 0 选 d 答案 d 2 若 2 是函数 f x x2 m 的一个零点 则 m 解析 2 是函数 f x x2 m 的一个零点 f 2 0 得 4 m 0 m 4 答案 4 题型二判断函数零点所在的区间 典例 2 函数 f x lnx 的零点所在的大致区间是 2 x a 1 2 b 2 3 c 3 4 d e 解析 f 1 2 0 f 2 ln2 10 f 2 f 3 0 2 3 f x 在 2 3 内有零点 答案 b 4 判断函数零点所在区间的 3 个步骤 1 代入 将区间端点值代入函数求出函数的值 2 判断 把所得的函数值相乘 并进行符号判断 3 结论 若符号为正且函数在该区间内是单调函数 则在该区间内无零点 若符号为 负且函数连续 则在该区间内至少有一个零点 针对训练 3 在下列区间中 函数 f x ex 4x 3 的零点所在的区间为 a b 1 4 0 0 1 4 c d 1 4 1 2 1 2 3 4 解析 f 20 f f 0 1 2 e 1 4 1 2 零点在上 1 4 1 2 答案 c 4 若函数 f x x a r r 在区间 1 2 上有零点 则 a 的值可能是 a x a 2b 0 c 1d 3 解析 f x x a r r 的图象在 1 2 上是连续不断的 逐个选项代入验证 当 a x a 2 时 f 1 1 2 10 故 f x 在区间 1 2 上有零点 同理 其他选项不符合 选 a 答案 a 题型三判断函数零点的个数 典例 3 1 f x error 的零点个数为 a 3b 2 c 1d 0 2 求函数 f x log2x x 2 的零点个数 5 思路导引 1 直接求 f x 0 的解 2 利用图象法判断 解析 1 当 x 0 时 由 x2 2x 3 0 得 x 3 当 x 0 时 由 2 lnx 0 得 x e2 故函数 f x 有 2 个零点 选 b 2 令 f x 0 得 log2x x 2 0 即 log2x x 2 令 y1 log2x y2 x 2 画出两个函数的大致图象 如图所示 由图可知 两个函数有两个不同的交点 所以函数 f x log2x x 2 有两个零点 答案 1 b 2 2 个 变式 若本例 1 中的函数改为 f x error 则函数的零点个数为 a 3b 2 c 1d 0 解析 解法一 当 x 0 时 由 x2 2x 3 0 得 x 3 当 x 0 时 函数对应的方程为 lnx x2 3 0 所以原函数零点的个数即为函数 y lnx 与 y 3 x2的图象交点个数 在同一坐标系下 作出两函数的图象 如图 由图象知 函数 y 3 x2与 y lnx 的图象只有一个交点 从而 lnx x2 3 0 有一 个解 6 即函数 y lnx x2 3 有一个零点 综上 函数 f x 有 2 个零点 解法二 当 x 0 时 由 x2 2x 3 0 得 x 3 当 x 0 时 由于 f 1 ln1 12 3 20 f 1 f 2 0 又 f x lnx x2 3 的图象在 1 2 上是不间断的 所以 f x 在 1 2 上必有零点 又 f x 在 0 上是递增的 所以零点只有一个 综上 函数 f x 有 2 个零点 答案 b 判断函数零点个数的 3 个方法 1 直接法 直接求出函数的零点进行判断 2 图象法 结合函数图象进行判断 即转化为两函数图象的交点个数问题 3 单调性法 借助函数的单调性进行判断 若函数 f x 在区间 a b 上的图象是一 条连续不断的曲线 且在区间 a b 上单调 满足 f a f b 0 则函数 f x 在区间 a b 上有且仅有一个零点 如图所示 针对训练 5 函数 f x x 1 x2 3x 10 的零点个数是 a 1b 2 c 3d 4 解析 f x x 1 x2 3x 10 x 1 x 5 x 2 由 f x 0 得 x 5 或 x 1 或 x 2 故函数 f x 的零点有 3 个 选 c 7 答案 c 6 函数 f x 2x log0 5x 1 的零点个数为 a 1b 2 c 3d 4 解析 令 f x 2x log0 5x 1 0 可得 log0 5x x 1 2 设 g x log0 5x h x x 在同一坐标系下分别画出函数 g x h x 的图象 1 2 可以发现两个函数图象一定有 2 个交点 因此函数 f x 有 2 个零点 答案 b 课堂归纳小结 1 函数的零点 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 根据函数零点定义可知 函数 f x 的零点就是 f x 0 的解 因此判断一个函数 是否有零点 有几个零点 就是判断方程 f x 0 是否有实数解 有几个实数解 3 函数 f x f x g x 的零点就是方程 f x g x 的实数解 也就是函数 y f x 的 图象与 y g x 的图象交点的横坐标 2 判断函数 y f x 零点的存在性的两个条件 1 函数的图象在区间 a b 上是一条连续不断的曲线 2 由 f a f b 0 就可判断函数 y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 但应用时应注意以下问题 并非函数所有的零点都能用这种方法找到 如 y x2的零点在 x 0 附近就没有这样 的区间 只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法 利用上述结论只能判别函数 y f x 在区间 a b 上零点的存在性 但不能确定其 零点的个数 1 函数 y 4x 2 的零点是 8 a 2b 2 0 c d 1 2 0 1 2 解析 令 y 4x 2 0 得 x 1 2 函数 y 4x 2 的零点为 1 2 答案 d 2 对于函数 f x 若 f 1 f 3 0 则 a 方程 f x 0 一定有实数解 b 方程 f x 0 一定无实数解 c 方程 f x 0 一定有两实数解 d 方程 f x 0 可能无实数解 解析 函数 f x 的图象在 1 3 上未必连续 故尽管 f 1 f 3 0 但未必 函数 y f x 在 1 3 上有实数解 答案 d 3 函数 y lgx 的零点所在的大致区间是 9 x a 6 7 b 7 8 c 8 9 d 9 10 解析 因为 f 9 lg9 10 所以 f 9 f 10 0 所以 y lgx 在区间 9 10 上有 9 10 9 10 9 x 零点 故选 d 答案 d 4 函数 f x lnx 3x 2 的零点个数是 解析 解法一 由 f x lnx 3x 2 0 得 lnx 2 3x 设 g x lnx h x 2 3x 图象 如图所示 两个函数的图象有一个交点 故函数 f x lnx 3x 2 有一个零点 解法二 函数 f x 在 0 单调递增 且 f 30 所以函数 f x 在内有唯一零点 1 e 1 答案 1 5 已知函数 f x 2x x2 问方程 f x 0 在区间 1 0 内是否有解 为什么 解 因为 f 1 2 1 1 2 0 而函数 f x 2x x2的图象是连续曲线 所以 f x 在区间 1 0 内有零点 即方程 f x 0 在区间 1 0 内有解 课内拓展 课外探究 一元二次方程根的分布情况 依据函数零点与方程实数根的联系 可以用函数零点的存在性定理及二次函数 f x ax2 bx c a 0 的图象来讨论一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根的分布情况 设 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a b c r r 且 a 0 的两实数根 则 x1 x2 的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表 m n p 为常数 且 m n p 10 典例 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两实根 其中一实根在区间 1 0 内 另一实根在区间 1 2 内 求 m 的 取值范围 2 若方程有两个不相等的实根 且均在区间 0 1 内 求 m 的取值范围 解 11 1 令 f x x2 2mx 2m 1 依题意得函数 f x x2 2mx 2m 1 的图象与 x 轴的 交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 画出函数的大致图象如右图所示 由图象得error 即error m 5 6 1 2 即 m 的取值范围是 5 6 1 2 2 根据函数图象与 x 轴的两个交点均在区间 0 1 内 画出函数的大致图象如右图所 示 由图象得error 即error m 1 1 22 即 m 的取值范围是 1 2 1 2 点评 解决一元二次方程根的分布问题 要利用数形结合思想 根据判别式 对称 轴 区间端点的函数值的正负等情况进行求解 课后作业 三十四 复习巩固 一 选择题 1 已知二次函数 y ax2 bx c ac 0 则函数的零点个数是 a 1b 2 12 c 0d 无法确定 解析 因为 ac0 所以二次方程 ax2 bx c 0 有两个不等的实 根 故函数有 2 个零点 答案 b 2 下列函数不存在零点的是 a y x b y 1 x2x2 x 1 c y error d y error 解析 由 x 0 得 x 1 故选项 a 不适合 由 2x2 x 1 0 得 x 1 或 1 x x 故选项 b 不适合 由error 得 x 1 error 得 x 1 故选项 c 不适合 选项 d 1 2 中函数无零点 故选 d 答案 d 3 函数 f x x x 2 的零点所在的一个区间是 1 2 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 由 f x x x 2 得 f 2 2 2 2 0 f 3 1 2 1 2 3 3 2 0 f 2 f 3 0 则不存在实数 c a b 使得 f c 0 b 若 f a f b 0 则有可能存在实数 c a b 使得 f c 0 d 若 f a f b 0 也可能成立 因此 a 不正确 c 正 确 若 y f x 满足零点存在性定理的两个条件 则在该区间内必存在零点 但个数不能 确定 故 b d 都不正确 答案 c 5 方程 log3x x 3 的解所在的区间为 a 0 2 b 1 2 c 2 3 d 3 4 13 解析 令 f x log3x x 3 则 f 2 log32 2 3 log30 所以方程 log3x x 3 的解所在的区间为 2 3 答案 c 二 填空题 6 函数 y x2 4 的零点是 解析 令 x2 4 0 解得 x 2 所以函数 y x2 4 的零点是 2 答案 2 7 若 f x x b 的零点在区间 0 1 内 则 b 的取值范围为 解析 解法一 f x x b 是增函数 又 f x x b 的零点在区间 0 1 内 error error 1 b 0 解法二 由 x b 0 得 x b 又 f x x b 的零点在区间 0 1 内 0 b 1 1 b 0 答案 1 0 8 函数 f x log2x 2x 7 的零点个数为 它的一个大致区间是 解析 设 y1 log2x y2 2x 7 可将 y1 y2的图象作出 由图可知 y1与 y2只有一个交点 则 log2x 2x 7 0 只有一个实数根 函数 f x 只 有一个零点 f 2 log22 22 7 20 f 2 f 3 0 零点的一个大致区间为 2 3 答案 1 2 3 三 解答题 9 判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x x 3 x 2 f x x2 2x 4 3 f x 1 log3x 14 4 f x 2x 3 x2 4 解 1 令 0 解得 x 3 x 3 x 所以函数 f x 存在零点 且零点为 x 3 x 3 x 2 令 x2 2x 4 0 由于 22 4 1 4 12 0 所以方程 x2 2x 4 0 无实数根 所以函数 f x x2 2x 4 不存在零点 3 令 1 log3x 0 解得 x 3 所以函数 f x 1 log3x 存在零点 且零点为 x 3 4 令 2x 3 x2 4 0 得 2x 3 或 x2 4 所以 x log23 或 x 2 所以函数 f x 2x 3 x2 4 存在零点 且零点为 log23 2 与 2 10 求函数 f x lnx x 2 的零点个数 解 令 f x 0 得 lnx x 2 0 即 lnx x 2 令 y1 lnx y2 x 2 在同一坐标系中作出函数 y1 lnx 和 y2 x 2 的图象 如图所示 由两图象有 2 个交点 可知函数 f x lnx x 2 有 2 个零点 综合运用 11 若 x0是方程 x 的解 则 x0属于区间 1 2 a b 2 3 1 1 2 2 3 c d 1 3 1 2 0 1 3 15 所以 f f 0 1 3 1 2 故函数 f x 的零点所在的区间为 1 3 1 2 即方程 x 的解 x0属于区间 1 2 1 3 1 2 答案 c 12 函数 f x 2x a 的一个零点在区间 1 2 内 则实数 a 的取值范围是 2 x a 1 3 b 1 2 c 0 3 d 0 2 解析 根据指数函数