苏教版等比数列的前n项和2

第十课时 等比数列的前 n 项和 二 教学目标 综合运用等比数列的定义式 通项公式 性质及前 n 项求和公式解决相关问题 提高学 生分析 解决问题的能力 教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 教学难点 灵活使用有关知识解决问题 教学过程 复习回顾 前面我们学习了哪些有关等比数列的知识 定义式 q q 0 n 2 an an 1 通项公式 an a1qn 1 a1 q 0 若 m n p q 则 am an ap aq Sn q 1 a1 1 qn 1 q a1 anq 1 q Sn na1 q 1 an Sn Sn 1 n 2 a1 S1 n 1 讲授新课 我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们 例 1 求和 x x2 xn 其中 x 0 x 1 y 1 1 y 1 y2 1 yn 分析 上面各个括号内的式子均由两项组成 其中各括号内的前一项与后一项分别组成 等比数列 分别求出这两个等比数列的和 就能得到所求式子的和 解 当 x 0 x 1 y 1 时 x x2 xn x x2 xn 1 y 1 y2 1 yn 1 y 1 y2 1 yn x 1 xn 1 x x xn 1 1 x yn 1 yn 1 yn 此方法为求和的重要方法之一 分组求和法 例 2 已知 Sn是等比数列 an 的前 n 项和 S3 S9 S6成等差数列 求证 a2 a8 a5 成等差数列 分析 由题意可得 S3 S6 2S9 要证 a2 a8 a5成等差数列 只要证 a2 a5 2a8即可 证明 S3 S9 S6成等差数列 S3 S6 2S9 若 q 1 则 S3 3a1 S6 6a1 S9 9a1 由等比数列中 a1 0 得 S3 S6 2S9 与题设 矛盾 q 1 S3 S6 S9 且 a1 1 q3 1 q a1 1 q6 1 q a1 1 q9 1 q a1 1 q3 1 q a1 1 q6 1 q 2a1 1 q9 1 q 整理得 q3 q6 2q9 由 q 0 得 1 q3 2q6 又 a2 a5 a1q a1q4 a1q 1 q3 a2 a5 a1q 2q6 2a1q7 2a8 a2 a8 a5成等差数列 评述 要注意题中的隐含条件与公式的应用条件 例 3 某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨 如果平均每年的产量比上一年增加 10 那么从 第 1 年起 约几年内可使总产量达到 30 万吨 保留到个位 分析 由题意可知 每年产量比上一年增加的百分率相同 所以从第 1 年起 每年的产 量组成一个等比数列 总产量则为等比数列的前 n 项和 解 设每年的产量组成一个等比数列 an 其中 a1 5 q 1 10 1 1 Sn 30 30 整理可得 1 1n 1 6 5 1 1 1n 1 1 1 两边取对数 得 nlg1 1 lg1 6 即 n 5 lg1 6 lg1 1 答 约 5 年内可以使总产量达到 30 万吨 评述 首先应根据题意准确恰当建立数学模型 然后求解 课堂练习 课本 P58练习 1 2 3 课时小结 通过本节学习 应掌握等比数列的定义式 通项公式 性质以及前 n 项求和公式的灵活 应用 利用它们解决一些相关问题时 应注意其特点 课后作业 课本 P58习题 3 4 5 等比数列的前n项和 二 1 数列 an 为正数的等比数列 它的前 n 项和为 80 且前 n 项中数值最大的项为 54 它的 前 2n 项的和为 6560 求此数列的首项和公比 2 已知数列 an 是等比数列 试判断该数列依次 k 项的和组成的数列 bn 是否仍为等比数列 3 求数列 1 a a2 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a6 的前 n 项和 Sn 4 数列 an 中 Sn 1 kan k 0 k 1 1 证明数列 an 为等比数列 2 求通项 an 3 当 k 1 时 求和 a12 a22 an2 5 已知一个项数是偶数的等比数列的首项为 1 其奇数项的和为 85 偶数项的和为 170 求这个数列的公比和项数 6 等比数列 an 中 S4 1 S8 3 求 a17 a18 a19 a20的值 7 求和 x 2 x2 2 xn 2 1 x 1 x2 1 xn 8 求数列 2x2 3x3 4x4 nxn 的前 n 项和 等比数列的前n项和 二 答案 1 数列 an 为正数的等比数列 它的前 n 项和为 80 且前 n 项中数值最大的项为 54 它的 前 2n 项的和为 6560 求此数列的首项和公比 分析 利用等比数列的前 n 项和公式 Sn 解题 a1 1 qn 1 q 解 若 q 1 则应有 S2n 2Sn 与题意不合 故 q 1 当 q 1 时 由已知得 由 得 82 即 q2n 82qn 81 0 1 q2n 1 qn 得 qn 81 或 qn 1 舍 qn 81 故 q 1 an 的前 n 项中最大 有 an 54 将 qn 81 代入 得 a1 q 1 由 an a1qn 1 54 得 a1qn 54q 即 81a1 54q 由 得 a1 2 q 3 评述 在数学解题中还应有一个整体观念 如本题求出 qn 81 应保留 qn为一个整体 求解方便 2 已知数列 an 是等比数列 试判断该数列依次 k 项的和组成的数列 bn 是否仍为等比数列 分析 应对 an 的公比 q 分类讨论 解 设 bn a n 1 k 1 a n 1 k 2 ank 且数列 an 的公比为 q 则当 q 1 时 b1 b2 bn ka1 bn 为公比是 1 的等比数列 当 q 1 时 bn qk a n 1 k 1 1 qk 1 q bn 1 bn ank 1 a n 1 k 1 bn 为公比是 qk的等比数列 当 q 1 时 若 k 为偶数 则 bn 0 此时 bn 不能为等比数列 若 k 为奇数 数列 bn 为公比为 1 的等比数列 综上 当 an 的公比不为 1 时 数列 bn 仍为等比数列 当 an 的公比为 1 时 若 k 为偶数 则 bn 不是等比数列 当 k 为奇数时 数列 bn 为公比为 1 的等比数列 3 求数列 1 a a2 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a6 的前 n 项和 Sn 解 1 a 0 时 Sn 1 2 a 1 时 Sn n n 1 1 2 3 a 1 时 Sn 4 a 1 a 0 时 Sn 1 an 1 an 1 1 a 1 a2 4 数列 an 中 Sn 1 kan k 0 k 1 1 证明数列 an 为等比数列 2 求通项 an 3 当 k 1 时 求和 a12 a22 an2 分析 由于条件中涉及 Sn与 an的关系 因此 要考虑 Sn Sn 1 an n 2 的运用 然后 回答定义 1 证明 Sn 1 kan Sn 1 1 kan 1 得 Sn Sn 1 kan kan 1 n 2 k 1 an kan 1 常数 n 2 an an 1 k k 1 an 是公比为的等比数列 k k 1 2 解 S1 a1 1 ka1 a1 1 1 k an n 1 1 1 k k k 1 n n k k 1 1 3 解 an 中 a1 q 1 1 k k k 1 an2 为首项为 2 公比为 2的等比数列 1 k 1 k k 1 当 k 1 时 等比数列 an2 的首项为 公比为 1 4 1 4 a12 a22 an2 1 n 1 3 1 4 评述 应注意 an 的应用 S1 n 1 Sn Sn 1 n 2 5 已知一个项数是偶数的等比数列的首项为 1 其奇数项的和为 85 偶数项的和为 170 求这个数列的公比和项数 解 设数列的公比为 q 项数为 2n 则 得 q a1 a3 a2n 1 170 q 2 a1 a3 a2n 1 85 a2 a4 a2n 170 又 85 即 85 a1 1 q2n 1 q2 1 22n 1 22 22n 256 28 2n 8 评述 在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中 共涉及到 a1 n q an Sn5 个量 其中 a1和 q 是基本量 利用这两个公式 可知三求二 6 等比数列 an 中 S4 1 S8 3 求 a17 a18 a19 a20的值 分析 关键是确定首项和公比 解 设此数列的首项和公比为 a1和 q 则 由 得 q4 2 a17 a18 a19 a20 S20 S16 q16 24 16 a1 1 q20 1 q a1 1 q16 1 q a1 q16 1 q4 1 q 评述 在研究等比数列的问题中 要确定基本量 a1和 q 仍然离不开方程思想 在具体 求解时 得到的方程往往是高次方程 因此 要注意优化与化简 7 求和 x 2 x2 2 xn 2 1 x 1 x2 1 xn 分析 注意到 xn 2 an x2n 2 且 x2n 与 2n 为等比数列 故可考虑拆 1 xn 1 x2n 1 x 项法 解 Sn x2 x4 x2n 1 x2 1 x4 1 x2n 2 2 22 个n 当 x 1 时 Sn n n 2n 4n 当 x 1 时 Sn 2n x2 1 x2n 1 x2 2n x2n 1 x2n 2 1 x2n x2 1 评述 在运用等比数列的求和公式时 要注意分析公比是否为 1 8 求数列 2x2 3x3 4x4 nxn 的前 n 项和 分析 可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题 解 1 当 x 0 时 Sn 0 2 当 x 1 时 Sn 2 3 4 n 1 n n