用导数法求函数的最值的练习题解析

用导数法求函数的最值的练习题解析用导数法求函数的最值的练习题解析 一 选择题 1 函数 y f x 在区间 a b 上的最大值是 M 最小值是 m 若 M m 则 f x A 等于 0 B 大于 0 C 小于 0 D 以上都有可能 答案 A 解析 M m y f x 是常数函数 f x 0 故应选 A 2 设 f x x4 x3 x2在 1 1 上的最小值为 1 4 1 3 1 2 A 0 B 2 C 1 D 13 12 答案 A 解析 y x3 x2 x x x2 x 1 令 y 0 解得 x 0 f 1 f 0 0 f 1 5 12 13 12 f x 在 1 1 上最小值为 0 故应选 A 3 函数 y x3 x2 x 1 在区间 2 1 上的最小值为 A B 2 22 27 C 1 D 4 答案 C 解析 y 3x2 2x 1 3x 1 x 1 令 y 0 解得 x 或 x 1 1 3 当 x 2 时 y 1 当 x 1 时 y 2 当 x 时 y 当 x 1 时 y 2 1 3 22 27 所以函数的最小值为 1 故应选 C 4 函数 f x x2 x 1 在区间 3 0 上的最值为 A 最大值为 13 最小值为 3 4 B 最大值为 1 最小值为 4 C 最大值为 13 最小值为 1 D 最大值为 1 最小值为 7 答案 A 解析 y x2 x 1 y 2x 1 令 y 0 x f 3 13 f f 0 1 1 2 1 2 3 4 5 函数 y 在 0 1 上的最大值为 x1 x A B 1 2 C 0 D 不存在 答案 A 解析 y 1 2 x 1 2 1 x 1 2 1 x x x 1 x 由 y 0 得 x 在上 y 0 在上 1 2 0 1 2 1 2 1 y 0 x 时 y极大 1 22 又 x 0 1 ymax 2 6 函数 f x x4 4x x 1 A 有最大值 无最小值 B 有最大值 也有最小值 C 无最大值 有最小值 D 既无最大值 也无最小值 答案 D 解析 f x 4x3 4 4 x 1 x2 x 1 令 f x 0 得 x 1 又 x 1 1 该方程无解 故函数 f x 在 1 1 上既无极值也无最值 故选 D 7 函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值和最小值分别 是 A 5 15 B 5 4 C 4 15 D 5 16 答案 A 解析 y 6x2 6x 12 6 x 2 x 1 令 y 0 得 x 2 或 x 1 舍 f 0 5 f 2 15 f 3 4 ymax 5 ymin 15 故选 A 8 已知函数 y x2 2x 3 在 a 2 上的最大值为 则 a 等于 15 4 A B 3 2 1 2 C D 或 1 2 1 2 3 2 答案 C 解析 y 2x 2 令 y 0 得 x 1 当 a 1 时 最大值为 f 1 4 不合题意 当 1 a 2 时 f x 在 a 2 上单调递减 最大值为 f a a2 2a 3 15 4 解得 a 或 a 舍去 1 2 3 2 9 若函数 f x x3 12x 在区间 k 1 k 1 上不是单调函数 则实数 k 的取值范围是 A k 3 或 1 k 1 或 k 3 B 3 k 1 或 1 k 3 C 2 k0 得函数的增区间是 2 和 2 由 y 0 得函数的减区间是 2 2 由 于函数在 k 1 k 1 上不是单调函数 所以有 k 1 2 k 1 或 k 1 2 k 1 解得 3 k 1 或 1 k0 得 x 由 y 0 得 x 时 函数为增函数 当 3 2 3 2 2 x 时 函数为减函数 所以无最大值 又因为 f 2 57 f 3 2 28 所以最小值为 28 3 2 3 4 3 4 13 若函数 f x a 0 在 1 上的最大值为 则 a x x2 a 3 3 的值为 答案 1 3 解析 f x x2 a 2x2 x2 a 2 a x2 x2 a 2 令 f x 0 解得 x 或 x 舍去 aa 当 x 时 f x 0 当 0 x0 aa 当 x 时 f x 0 得 x 2 或 x 2 由 f x 0 得 2 x 2 f x 在 3 2 上单调递增 在 2 2 上单调递减 在 2 3 上单调递增 又 f 3 17 f 2 24 f 2 8 f 3 1 最大值 M 24 最小值 m 8 M m 32 三 解答题 15 求下列函数的最值 1 f x sin2x x 2 x 2 2 f x x 1 x2 解析 1 f x 2cos2x 1 令 f x 0 得 cos2x 1 2 又 x 2x 2 2 2x x 3 6 函数 f x 在上的两个极值分别为 2 2 f f 6 3 2 6 6 3 2 6 又 f x 在区间端点的取值为 f f 2 2 2 2 比较以上函数值可得 f x max f x min 2 2 2 函数 f x 有意义 必须满足 1 x2 0 即 1 x 1 函数 f x 的定义域为 1 1 f x 1 1 x2 1 x2 1 1 2 1 2 x 1 x2 令 f x 0 得 x 2 2 f x 在 1 1 上的极值为 f 2 2 2 2 1 2 2 22 又 f x 在区间端点的函数值为 f 1 1 f 1 1 比较以上 函数值可得 f x max f x min 1 2 16 设函数 f x ln 2x 3 x2 求 f x 在区间上的最大值 3 4 1 4 和最小值 解析 f x 的定义域为 3 2 f x 2x 2 2x 3 4x2 6x 2 2x 3 2 2x 1 x 1 2x 3 当 x0 3 2 当 1 x 时 f x 时 f x 0 1 2 所以 f x 在上的最小值为 3 4 1 4 f ln2 1 2 1 4 又 f f ln ln ln ln2 1 且 x 0 时 ex x2 2ax 1 分析 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调区间 求函数的极值和证明函数不等式 考查运算能力 综合分析和解决 问题的能力 解题思路是 1 利用导数的符号判定函数的单调性 进而求出 函数的极值 2 将不等式转化构造函数 再利用函数的单调性证 明 解析 1 解 由 f x ex 2x 2a x R 知 f x ex 2 x R 令 f x 0 得 x ln2 于是当 x 变化时 f x f x 的变化情 况如下表 x ln 2 ln2 ln2 f x 0 f x 单调递减 2 1 ln2 a 单调递增 故 f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在 x ln2 处取得极小值 极小值为 f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设 g x ex x2 2ax 1 x R 于是 g x ex 2x 2a x R 由 1 知当 a ln2 1 时 g x 最小值为 g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意 x R 都有 g x 0 所以 g x 在 R 内单调递增 于是当 a ln2 1 时 对任意 x 0 都有 g x g 0 而 g 0 0 从而对任意 x 0 g x 0 即 ex x2 2ax 1 0 故 ex x2 2ax 1 18 已知函数 f x x 0 1 4x2 7 2 x 1 求 f x 的单调区间和值域 2 设 a 1 函数 g x x3 3a2x 2a x 0 1 若对于任意 x1 0 1 总存在 x0 0 1 使得 g x0 f x1 成立 求 a 的取值范 围 解析 1 对函数 f x 求导 得 f x 4x2 16x 7 2 x 2 2x 1 2x 7 2 x 2 令 f x 0 解得 x 或 x 1 2 7 2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x0 0 1 2 1 2 1 1 2 1 f x 0 f x 7 2 4 3 所以 当 x 0 时 f x 是减函数 1 2 当 x 时 f x 是增函数 1 2 1 当 x 0 1 时 f x 的值域为 4 3 2 g x 3 x2 a2 因为 a 1 当 x 0 1 时 g x 0 因此当 x 0 1 时 g x 为减函数 从而当 x 0 1 时有 g x